Funkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5

Transkrypt

1 Funkcje elementarne Ksenia Hladysz Spis treści 1 Funkcje elementarne. 1 Własności 3 Zadania 5 1 Funkcje elementarne. Są to funkcje określone wzorami zawierającymi skończoną ilość operacji algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie oraz operacje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne),wykonanych na zmiennej niezaleźnej, na funkcji i na pewnych stałych. Funkcje elementarne dzielimy na algebraiczne i przestępne. Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Definicja 1 Funkcja homograficzna jest postaci:,gdzie 0 i D = [ a1 b 1 b ] 0 y = a 1x + b 1 x + b Wykres: hiperbola równoramienna o asymptotach y = a 1 i x = b współrzędnych),środek c = ( b, a 1 ) x + b 0 w przeciwnym wypadku redukuje się do funkcji stałej. 1 (równoległych do osi

2 Rysunek 1: Hiperbola równoramienna Własności Opis funkcji: 1. Funkcja liniowa: ( y = ax + b) Wykres: linia prosta. Rysunek : funkcja liniowa Dla a>0 funkcja monotoniczna wzrasta Dla a<0 monotonicznie maleje Dla a=0 jest stała Przecięcie z osią następuje gdy: Ox : A( b/a, 0), jeżeli a 6= 0, zaś z osią Oy : B(0, b). A jest współczynnikiem kierunkowym. Funkcja liniowa jest ciągła i różnowartościowa. Jeśli funkcje liniowe mają ten sam współczynnik kierunkowy,to ich wykresy są prostymi równoległymi. Jeśli ich współczynniki kierunkowe w iloczynie dają 1,to ich wykresy są prostymi prostopadłymi. Współczynnik a odpowiada za kierunek,zaś b za miejsce przecięcia się z osią.

3 Rysunek 3: funkcja liniowa.. Funkcje potęgowe (y = ax n ) gdzie n jest liczbą naturalną większą od 1. Gdy a = 1,krzywa y = x n przechodzi przez punkty O(0, 0) i A(1, 1) i jej styczna do osi Ox w początku współrzędnych. Rysunek 4: Parabola Dla n parzystego krzywa jest symetryczna względem osi Oy i osiąga minimum w początku układu współrzędnych. Dla n nieparzystego krzywa jest symetryczna względem początku współrzędnych,który jest punktem przegięcia krzywej. Asymptot nie ma. Gdy a > 0 krzywą y = ax n otrzymuję się z krzywej y = x n mnożąc wszystkie jej rzędne przez a. Gdy a < 0,krzywa jest zwierciadlanym odbiciem krzywej y = a x n względem osi Ox. W przypadku,gdzie a jest liczbą całkowitą niedodatnią,to dziedziną tej funkcji jest R\{0} 3

4 Rysunek 5: wielomian stopnia 3 3. Funkcje wykładnicze ( y = a x = e bx ). gdy a > 0,a 1,b = lna. Wykres : krzywa wykładnicza. Rysunek 6: funkcja wykładnicza e x Funkcja przybiega tylko w wartościach dodatnich,zawsze przechodzi przez punkt (0, 1) i ma asymptotę y = 0, do której zbliża się tym szybciej,im większa jest wartość lna. Przy a > 1 (czyli b > 0) funkcja wzrasta od 0 do +,natomiast przy a < 1 (czyli b < 0) funkcja maleje od do 0.Funkcja y = a x = ( 1 a )x wzrasta przy a < 1 i maleje przy a > Funkcje logarytmiczne (y = log a x) gdzie a > 0 i a 1 Wykres:krzywa logarytmiczna,która jest zwierciadlanym odbiciem krzywej wykładniczej względem prostej y = x. Funkcja istnieje tylko przy x > 0. Zawsze przechodzi przez punkt (1, 0). Ma asymptotę x = 0 do której zbliża się tym szybciej im większa jest wartość lna. Przy a > 1 funkcja wzrasta od do +, a przy a < 1 maleje od = + do, tym szybciej im większa jest wartość lna. 4

5 Rysunek 7: funkcja logarytmiczna Dziedziną tej funkcji jest R. Wartością jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja jest różnowartościowa. Funkcją odwrotną jest funkcja wykładnicza. 3 Zadania Zadanie Opisz w jaki sposób należy przekształcić wykres funkcji y = x, aby otrzymać wykres funkcji f(x) = x 6 Zadanie 3 Podane trzy liczby ustaw w kolejności rosnącej: 3 3, 1 3 3, ( 1 3 ) 3 Zadanie 4 Dana jest homografia f(x) = x+1 x 1. Wyznaczyć: (a) odwrotność tej homografii (b) homografię odwrotną (c) f = f f, f 3 = f f, f 11 5