Program nauczania z matematyki rozszerzony i poradnik dla nauczyciela klasa III szkoły ponadgimnazjalnej

Transkrypt

1

2 Program nauczania z matematyki rozszerzony i poradnik dla nauczyciela klasa III szkoły ponadgimnazjalnej

3 Spis treści Wstęp.4 Program nauczania z matematyki rozszerzony....5 Poradnik dla nauczyciela 7

4 Wstęp Ważnym celem nauczania matematyki w liceum i technikum jest wyposażenie przyszłego absolwenta w umiejętności matematyczne niezbędne do sprostania wymogom egzaminu maturalnego z matematyki na wybranym przez niego poziomie. Dodatkowo zakres podstawowy powinien dać absolwentowi umiejętności przydatne w codziennym życiu, zaś zakres rozszerzony stworzyć solidny undament do kontynuowania nauki na wymagających tego wyższych studiach. Nauczanie matematyki w sposób szczególny stymuluje rozwój intelektualny ucznia, między innymi wykształca: umiejętność czytania tekstu ze zrozumieniem, w tym również tekstu zawierającego dane statystyczne prezentowane w różny sposób; umiejętność logicznego myślenia i argumentowania; nawyku krytycznej analizy inormacji; umiejętność ormułowania hipotez i ich uzasadniania; wyobraźnię przestrzenną; umiejętność planowania strategii rozwiązania problemu; postawę wykorzystywania narzędzi matematycznych w życiu codziennym, budowania modelu matematycznego dla danego kontekstu praktycznego z uwzględnieniem ograniczeń i zastrzeżeń z niego wynikających 4

5 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna. Granica unkcji w punkcie. Obliczanie granic unkcji w punkcie. Pojęcie granicy niewłaściwej unkcji w punkcie. Granice jednostronne unkcji w punkcie. zna deinicję granicy unkcji w punkcie przedstawia geometryczną interpretacją granicy unkcji w punkcie oblicza z deinicji granicę unkcji w punkcie zna twierdzenia dotyczące sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu granic oblicza granice unkcji w punkcie, korzystając z własności zna deinicję granicy niewłaściwej unkcji w punkcie potrai obliczać granice niewłaściwe unkcji wymiernych w punkcie oblicza granice prawostronne i lewostronne unkcji w punkcie podaje interpretację geometryczną granic jednostronnych w punkcie. GRANICA FUNKCJI Uczeń: oblicza, na podstawie deinicji, granice unkcji w punkcie podaje przykłady unkcji, które nie mają granicy w punkcie potrai uzasadnić istnienie granicy unkcji w punkcie lub jej braku rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności Uczeń: podaje przykłady unkcji, które mają granice niewłaściwe w punkcie np. y a/ rozumie pojęcie symbolu nieoznaczonego podaje przykłady unkcji, które mają granicę lewostronną, a nie maję granicy prawostronnej w tym samym punkcie i wspak szkicuje wykresy unkcji, znając równania asymptot poziomych Liczba godzin 5

6 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna. Asymptoty poziome wykresu unkcji odczytuje z wykresu unkcji jej granice jednostronne w danym punkcie wyznacza równania asymptot pionowych Uczeń: Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności Liczba godzin 4. Granica unkcji w nieskończoności. oblicza granice unkcji wielomianowych i wymiernych w nieskończoności, korzystając z poznanych własności o granicach przedstawia geometrycznie uzyskane wyniki obliczonych granic unkcji w nieskończoności oblicza równania asymptot poziomych i rysuje ich wykresy Uczeń: rysuje wykresy unkcji, znając równania asymptot poziomych rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności 5. Ciągłość unkcji w punkcie przedstawia geometrycznie ciągłość unkcji w punkcie przedstawia geometrycznie unkcję, która nie jest ciągła w punkcie Uczeń: oblicza ciągłość unkcji w danych punktach 6

7 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna 6. Ciągłość unkcji w przedziale liczbowym 7. Pojęcie pochodnej unkcji w punkcie 8. Geometryczna interpretacja pochodnej unkcji w punkcie 9.Pochodna unkcji i jej własności oblicza punkty nieciągłości unkcji liczy ciągłość unkcji przedziale liczbowym, w którym jest ona określona zna pojęcie ilorazu różnicowego oblicza wartość ilorazu różnicowego unkcji w punkcie oblicza, korzystając z deinicji pochodne znanych unkcji w danym punkcie przedstawia pochodną unkcji w punkcie jako tangens kąta nachylenia stycznej do osi OX wyznacza równanie stycznej do wykresu unkcji zna pojęcie pochodnej unkcji w zbiorze wyznacza na podstawie twierdzeń o działaniach na pochodnych, pochodne unkcji wielomianowych i wymiernych w zbiorze Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności Uczeń: wyznacza pochodną unkcji wielomianowych i wymiernych w dowolnym punkcie rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności Uczeń: podaje interpretację izyczną pochodnej unkcji w punkcie prędkość ruchu ciała w chwili t 0 jako pochodna unkcji będącej drogą st w punkcie t 0 stosuje do rozwiązywania zadań interpretację geometryczną i izyczną pochodnej unkcji w punkcie Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności Liczba godzin 7

8 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna 0. Pochodna unkcji a monotoniczność unkcji. Pojęcie ekstremum unkcji. Najmniejsza i największa wartość unkcji w przedziale liczbowym zna warunki, jakie musi spełniać pochodna unkcji, aby dana unkcja była monotoniczna w przedziale liczbowym na podstawie określenia znaku pochodnej wyznacza przedziały, w których unkcja jest: rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca wyznacza na wykresie unkcji jej ekstrema zna i sprawdza warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego unkcji wyznacza minimum lokalne oraz maksimum lokalne unkcji w przedziale liczbowym wyznacza najmniejszą i największą wartość unkcji w przedziale liczbowym, korzystając z wyznaczonych ekstremów oraz monotoniczności unkcji wyznacza zbiór wartości unkcji Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące związku monotoniczności unkcji z jej pochodną Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności Uczeń: rozróżnia ekstrema lokalne unkcji od ekstremów globalnych unkcji rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności Liczba godzin 8

9 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna. Zastosowanie pochodnej unkcji do badania własności unkcji 4. Zastosowanie pochodnej unkcji w zadaniach. Powtórzenie wiadomości. Praca klasowa i jej omówienie rysuje wykresy unkcji wielomianowych i wymiernych, korzystając z wyznaczonych granic unkcji, asymptot oraz własności pochodnej unkcji stosuje pochodne unkcji wielomianowych i wymiernych do rozwiązywania zadań Uczeń: przedstawia interpretację i geometryczną przebiegu zmienności unkcji Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące związku monotoniczności unkcji z pochodną unkcji Liczba godzin. Prezentacja danych statystycznych. STATYSTYKA OPISOWA. PODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA 0 przedstawia dane statystyczne w postaci tabeli, diagramu słupkowego lub kołowego, wykresu w układzie współrzędnych potrai odczytać dane statystyczne z tabel, diagramów i wykresów porównuje dane statystyczne przedstawione na różny sposób określa zależności między odczytanymi danymi Uczeń: rozwiązuje zadania, o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące prezentacji danych statystycznych analizuje i interpretuje otrzymane wyniki 9

10 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna. Liczby charakteryzujące dane zebrane w badaniu statystycznym, miary centralne. Analiza rozproszenia wyników oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną skończonego zbioru danych interpretuje otrzymaną średnią arytmetyczną i średnią ważoną rozróżnia pojęcia mediany i mody oblicza medianę i modę skończonego zbioru danych oblicza średnie, gdy dane są odpowiednio pogrupowane rozwiązuje zadania, w których wykorzystuje deinicje średniej arytmetycznej, średniej ważonej, mediany i mody zna pojęcia wariancji i odchylenia standardowego skończonego zbioru danych oblicza wariancję i odchylenie standardowe, interpretuje wariancję i odchylenie standardowe wyznacza rozstęp danych liczbowych Uczeń: rozwiązuje zadania, w których wykorzystuje deinicje i własności średniej arytmetycznej, średniej ważonej, mediany i mody Uczeń: rozwiązuje nietypowe problemy, w których wykorzystuje deinicje poznanych pojęć statystycznych interpretuje poznane parametry statystyczne rozwiązuje zadania, w których wykorzystuje deinicje i własności wariancji i odchylenia standardowego Liczba godzin 0

11 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna 4. Częstość występowania oblicza częstość występowania określonych wyników na podstawie przeprowadzonego doświadczenia lub danych lub wyliczonych inormacji Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności analizuje otrzymane wyniki Liczba godzin

12 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna 5. Doświadczenie losowe opisuje możliwe do uzyskania wyniki danego doświadczenia losowego zna pojęcia: zdarzenie elementarne, zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, zdarzenie losowe podaje przykłady zdarzenia elementarnego danego doświadczenia losowego podaje przykłady zdarzenia losowego w danym doświadczeniu losowym zna pojęcie moc zbioru wyznacza liczbę możliwych wyników oraz liczbę wyników zdarzenia losowego stosuje drzewo do opisywania wyników doświadczenia losowego podaje przykłady zdarzenia niemożliwego i zdarzenia pewnego opisuje doświadczenia losowe, używając drzewa Uczeń: opisuje zdarzenia elementarne, przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe rozwiązuje zadania złożone Liczba godzin

13 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna 6. Działania na zdarzeniach losowych 7. Reguła mnożenia i reguła dodawania 8. Pojęcie permutacji i wariacji zna pojęcia: suma, iloczyn i różnica zdarzeń losowych, zdarzenie przeciwne do danego wyznacza sumę, iloczyn i różnicę zdarzeń losowych wyznacza zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia losowego wskazuje zdarzenia losowe wykluczające się zna regułę mnożenia i regułę dodawania stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania do zliczania obiektów w zadaniach kombinatorycznych wyznacza liczbę permutacji zbioru n- elementowego wyznacza liczbę k - elementowych wariacji bez powtórzeń i z powtórzeniami zbioru n - elementowego rozwiązuje zadania kombinatoryczne Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności Uczeń: rozwiązuje zadania złożone Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności rozwiązuje nietypowe zadania, w których wykorzystuje poznane pojęcia Liczba godzin

14 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna 9. Pojęcie kombinacji 0. Prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza wartość symbolu Newtona wyznacza liczbę k - elementowych kombinacji zbioru n- elementowego rozwiązuje równania i nierówności, w których występują liczby zapisane przy użyciu symbolu Newtona wyznacza prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, wykorzystując deinicję prawdopodobieństwa wyznacza prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, stosując drzewa Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności rozwiązuje nietypowe zadania, w których wykorzystuje poznane własności i deinicje Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności Liczba godzin 4

15 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna. Różne metody obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń.prawdopodobieństwo warunkowe.prawdopodobieństwo całkowite oblicza prawdopodobieństwo zdarzeń losowych, wykorzystując różne metody oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia, wykorzystując prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do danego oblicza prawdopodobieństwo sumy, iloczynu zdarzeń, korzystając z drzewa oblicza prawdopodobieństwo zdarzeń, w których opisie występują sormułowania co najmniej, co najwyżej zna pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego wyznacza prawdopodobieństwo warunkowe za pomocą drzewa wyznacza prawdopodobieństwo warunkowe, korzystając z deinicji opisuje doświadczenia wieloetapowe oblicza prawdopodobieństwo całkowite za pomocą drzewa Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności wyznacza prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, wykorzystując wzory na liczbę permutacji, wariacji bez powtórzeń, wariacji z powtórzeniami i kombinacji rozwiązuje nietypowe zadania, w których wykorzystuje klasyczną deinicję prawdopodobieństwa i twierdzenie o sumie zdarzeń Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności rozwiązuje nietypowe problemy, w których wykorzystuje prawdopodobieństwo warunkowe Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności rozwiązuje nietypowe zadania, w których wykorzystuje prawdopodobieństwo całkowite Liczba godzin 5

16 Temat lekcji Zakres treści Uczeń zna 4. Własności prawdopodobieństwa 5. Powtórzenie wiadomości 6. Praca klasowa i jej omówienie 7. Przygotowanie do matury zna deinicję i własności prawdopodobieństwa rozwiązuje zadania, w których wykorzystuje własności prawdopodobieństwa Uczeń: rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności Liczba godzin RAZEM

17 . Granica unkcji Scenariusze klasa III Temat : Granica unkcji w punkcie. Obliczanie granic unkcji w punkcie Cel lekcji: poznanie pojęcia granicy unkcji w punkcie, interpretacji geometrycznej i sposobów jej obliczania Cele edukacyjne: uczeń powinien: Znać deinicję granicy unkcji w punkcie i jej interpretację geometryczną Wyznaczać z deinicji proste granice unkcji w punkcie Znać twierdzenia dotyczące granic unkcji w punkcie Obliczać na postawie poznanych twierdzeń granicę unkcji w punkcie Wiedzieć, co to są symbole nieoznaczone Podawać przykłady unkcji, które nie mają granicy Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Zdeiniowanie pojęcia granicy unkcji w punkcie oraz podanie jej interpretacji geometrycznej: Deinicja Heinego granicy unkcji w punkcie: Niech unkcja będzie określona w pewnym sąsiedztwie S 0 punktu 0. Granicą unkcji w punkcie nazywamy taką liczbę g, że: lim g de [ n S 0 lim n 0 lim n g] 0 n n n Deinicja Cauchy ego granicy unkcji w punkcie: Niech unkcja będzie określona w pewnym sąsiedztwie S 0 punktu 0. Granicą unkcji w punkcie nazywamy taką liczbę g, że: lim g 0 < 0 < δ g < ε 0 ε>0 δ>0 S 0. Wprowadzenie twierdzeń dotyczących obliczania granic w punkcie: Jeśli istnieją granice: lim 0 i lim 0 g oraz c jest dowolną liczbą rzeczywistą, to: lim [c ] c lim 0 0 lim [ g] lim lim g lim [ g] lim lim g lim [ g] lim lim g

18 lim 0 g lim 0 lim 0 g 4. Rozwiązywanie zadań Zad. Wskaż unkcje, które nie mają granic w podanych punktach:: sin Zad. Czy podana unkcja ma granicę? 0 Zad. Oblicz granicę unkcji w podanym punkcie: 0 Oblicz granice unkcji we wskazanych punktach:

19 Wskaż granicę unkcji: 0 cos sin 0 tg Zad. 6 Oblicz granicę unkcji w podanym punkcie: 0 Temat : Granica unkcji w punkcie. Obliczanie granic unkcji w punkcie Zad. Oblicz granicę unkcji w podanym punkcie: 0 0 Zad. Czy podana unkcja ma granicę? 0 Zad. Oblicz granicę unkcji w podanym punkcie: 0 Oblicz granice unkcji we wskazanych punktach:. 0 4 sin 0. 0 sin 9 0 9

20 tg. tg 0 0 Wskaż granicę unkcji: π cos Zad. 6 Oblicz granicę unkcji w punkcie: sin sin 0 0 Temat : Granica niewłaściwa unkcji w punkcie. Granice jednostronne unkcji w punkcie Cel lekcji: wprowadzenie pojęcia granicy niewłaściwej unkcji w punkcie oraz pojęcia granicy jednostronnej unkcji w punkcie i sposobów ich obliczania Cele edukacyjne: uczeń powinien: Znać deinicję granicy niewłaściwej unkcji w punkcie i granicy jednostronnej unkcji w punkcie Obliczać granice niewłaściwe unkcji wymiernych w punkcie Obliczać granice jednostronne: lewostronne i prawostronne unkcji w punkcie oraz podawać interpretację geometryczną tych granic szkicujący wykresy unkcji i zaznaczając asymptoty pionowe Podawać przykłady unkcji, które mają granice niewłaściwe Rozumieć pojęcie symbolu nieoznaczonego i podawać przykłady symboli nieoznaczonych Szkicuje prawdopodobne wykresy unkcji na podstawie granic jednostronnych unkcji w punkcie i asymptot pionowych Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Zdeiniowanie pojęcia granicy niewłaściwej unkcji punkcie i podanie przykładów unkcji, które mają granice niewłaściwe np. a przy dążącym do nieskończoności. Zdeiniowanie pojęcia granicy jednostronnej unkcji w punkcie 4. Wprowadzenie pojęcia symbolu nieoznaczonego i podanie przykładów: 0,, 0, 0, 0 0,, 0 0

21 5. Rozwiązywanie zadań Zad. Sprawdź, czy podana granica istnieje, jeśli tak, oblicz ją: lim Zad. Oblicz granicę unkcji we wskazanym punkcie: 4 0 Zad. Oblicz podane granice: lim. 9 lim. 0 lim Zaznacz te unkcje, których granice nie istnieją: Czy podana granica istnieje?

22 lim 0 Temat 4: Granica niewłaściwa unkcji w punkcie. Granice jednostronne unkcji w punkcie Zad. Sprawdź, czy podana granica istnieje, jeśli tak, oblicz ją:, <, > 0 Zad. Oblicz podane granice:. lim 0 4. lim Zad. Czy unkcja ma granicę w podanym punkcie?, <, > 0 Oblicz granicę jednostronną unkcji w punkcie: 4 4 lim 8 6 Oblicz podane granice: 8. lim. lim Zad. 6 Oblicz granicę jednostronną unkcji w punkcie: cos lim 0

23 Zad. 7 Na podstawie wykresu unkcji podaj jej granicę lewostronną w punkcie Temat 5: Asymptoty pionowe wykresu unkcji Cel lekcji: omówienie pojęcia asymptot pionowych wykresu unkcji i sposobów ich obliczania, szkicowanie hipotetycznych wykresów unkcji Cele edukacyjne: uczeń powinien: Znać pojęcie asymptoty pionowej wykresu unkcji i umieć wyznaczać jej równanie Odczytywać z wykresu unkcji jej granice jednostronne punkcie Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Zdeiniowanie pojęcia asymptoty pionowej i wyznaczanie jej równania. Rozwiązywanie zadań

24 Zad. Dane są wykresy pewnych unkcji. Odczytaj granice jednostronne unkcji w podanych punktach: A. B. C. 4

25 Zad. Czy unkcja 4 5 ma asymptotę pionową daną równaniem 4? Zad. Wyznacz asymptoty pionowe unkcji: Wyznacz asymptoty pionowe podanych unkcji: Na podstawie wykresu wskaż równania asymptot unkcji: Zad. 6 Zaznacz te unkcje, które nie mają asymptot pionowych: cos 5

26 Temat 6: Asymptoty pionowe wykresu unkcji Zad. Wyznacz asymptoty pionowe unkcji: Zad. Czy unkcja 4 ma asymptotę jedyną pionową? 8 Zad. Na podstawie wykresów odczytaj asymptoty pionowe unkcji: A. C. B. Wyznacz równania asymptot pionowych podanych unkcji: 4.. 6

27 Na podstawie wykresu pewnej unkcji wskaż równania jej asymptot: Temat 7: Granica unkcji w nieskończoności Cel lekcji: poznanie pojęcia granicy unkcji w nieskończoności i obliczanie tej granicy Cele edukacyjne: uczeń powinien: Znać deinicję granicy unkcji w nieskończoności i podawać jej interpretację geometryczną Odczytywać z wykresu unkcji jej granicę w nieskończoności Obliczać granice unkcji kwadratowych, wielomianowych dowolnego stopnia, wymiernych w nieskończoności stosując poznane twierdzenia Wyznaczać równania asymptot poziomych unkcji za pomocą obliczania granicy unkcji w plus i minus nieskończoności Szkicować wykresy unkcji na podstawie poznanych własności granice unkcji w nieskończoności, asymptoty pionowe i poziome Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Zdeiniowanie pojęcia granicy unkcji w nieskończoności i jej interpretacja geometryczna 7

28 . Wyznaczanie asymptoty poziomej wykresu unkcji i szkicowanie wykresów unkcji 4. Rozwiązywanie zadań Zad. Oblicz podane granice:. lim 4. lim. 4. lim lim 4 5 Zad. Czy podane granice są równe? lim lim Zad. Sprawdź, czy podana granica istnieje, jeśli tak, oblicz ją: lim 4 Oblicz wskazaną granicę: lim 0 Oblicz podane granice: 9. lim 5. lim 0. lim 5 4. lim 5 8

29 Zad. 6 Na rysunku obok przedstawiony jest wykres pewnej unkcji. Na podstawie wykresu wskaż granicę tej unkcji w plus nieskończoności. Zad. 7 Ile wynosi granica: lim Temat 8: Granica unkcji w nieskończoności Zad. Oblicz podane granice: 4. lim. lim. lim lim Zad. Ile wynosi granica: lim? 9

30 Zad. Czy podana unkcja ma asymptotę poziomą? Jeśli tak - oblicz ją: 4 Wskaż asymptoty poziome podanych unkcji: lim Oblicz asymptotę poziomą podanej unkcji: Zad. 6 Czy prosta y 0 jest asymptotą poziomą danej unkcji? 0 Zad. 7 Wskaż najbardziej prawdopodobny wykres unkcji A. B. 0

31 C. D.

32 Temat 9: Ciągłość unkcji w punkcie Cel lekcji: intuicyjne rozumienie ciągłości unkcji w punkcie i jej interpretacja geometryczna Cele edukacyjne: uczeń powinien: Wskazywać unkcje, które nie są ciągłe w danym punkcie Badać ciągłość unkcji w punkcie Wskazywać na podstawie wykresu unkcje ciągłe i te, które nie są ciągłe we wskazanym punkcie Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Zdeiniowanie pojęcia ciągłości w punkcie i jej interpretacja geometryczna. Omówienie warunku, jaki musi spełniać unkcja, aby była ciągła w danym punkcie wartość unkcji w punkcie musi być równa granicy unkcji w tym punkcie 4. Rozwiązywanie zadań Zad. Sprawdź, czy unkcja 4 jest ciągła w podanym punkcie Zad. Sprawdź ciągłość podanych unkcji w punkcie Zad. Zbadaj ciągłość unkcji w podanym punkcie: Zbadaj ciągłość unkcji w podanym punkcie: 4,, 5 8,, 0 0

33 Czy unkcja jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny? 4, 4, 0 Zad. 6 Czy podana unkcja jest ciągła?,,,,4 4, 4, Zad. 7 Dla jakiego parametru m podana unkcja jest ciągła? m Temat 0: Ciągłość unkcji w punkcie Zad. Sprawdź, czy podana unkcja jest ciągła. Naszkicuj jej wykres:,, 4 6,, 0 Zad. Zbadaj ciągłość unkcji w podanym punkcie: 4, 4, Zad. Dla jakiej wartości parametru a unkcja jest ciągła w danym punkcie:

34 a,, 4 6, 4,0 6a, 0, Dla jakiej wartości parametrów a i b unkcja jest ciągła w danych punktach: a, b, 0 Dana jest pewna unkcja. Sprawdź, czy jest ciągła w podanych punktach, a następnie naszkicuj jej wykres.,,,, 4,, 0 Zad. 6 Sprawdź, czy unkcja jest ciągła w podanym punkcie. π, 4 cos sin π, cos 4 π 0 4 Temat : Ciągłość unkcji w przedziale liczbowym Cel lekcji: rozszerzenie pojęcia ciągłości unkcji w punkcie do ciągłości unkcji w przedziale liczbowym Cele edukacyjne: uczeń powinien: Badać ciągłość unkcji w przedziale liczbowym Wskazywać punkty nieciągłości danej unkcji w przedziale liczbowym Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć 4

35 . Podanie warunków, jakie musi spełniać unkcja, aby była ciągła w przedziale liczbowym. Wyznaczanie parametrów, dla których unkcja jest ciągła w przedziale liczbowym 4. Uczniowie podają przykłady unkcji, które nie są ciągłe w danym przedziale 5. Rozwiązywanie zadań Zad. Sprawdź, czy unkcja jest ciągła w podanym zbiorze: 4,, 4 4,, 4,, Zad. Zbadaj ciągłość unkcji w podanym zbiorze: 9, R \{} 7, Zad. Czy podane unkcje są ciągłe? 4 8, R \{}. 8, 4 4, R \{,}., 4, Dla jakiej wartości parametru m podana unkcja jest ciągła? 6 8,,, m 4, Zaznacz te unkcje, które są ciągłe w podanym zbiorze:,, , 4, 9,, 5

36 . 4,,, 6 4,, Temat : Ciągłość unkcji w przedziale liczbowym Zad. Dla jakiej wartości parametru m unkcja jest ciągła w przedziale liczbowym? m,, 5 5, 5, Zad. Dla jakiej wartości parametru a unkcja jest ciągła? a,, 0, 4 a,, Zad. Wyznacz parametr a, dla którego podana unkcja jest ciągła. 4a 8, 4, Wyznacz wartość parametrów m i k, dla których podana obok unkcja jest ciągła: m,, 9,,4 k, 4, Wyznacz wartość parametrów a i b, dla których podana unkcja jest ciągła: a,, 4,, b,, 6

37 Temat : Pochodna unkcji w punkcie Cel lekcji: wprowadzenie pojęcia ilorazu różnicowego i obliczanie pochodnej unkcji w punkcie Cele edukacyjne: uczeń powinien: Znać deinicję ilorazu różnicowego Wyznaczać z deinicji pochodną unkcji w punkcie Znać interpretację geometryczną pochodnej unkcji w punkcie Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Zdeiniowanie pojęcia ilorazu różnicowego: Niech unkcja będzie określona w pewnym otoczeniu U 0 punktu 0, natomiast h 0 będzie liczbą, dla której 0 h U 0. Ilorazem różnicowym tej unkcji w punkcie 0, odpowiadającym przyrostowi h argumentu nazywamy liczbę: 0 h 0 h. Zdeiniowanie pojęcia pochodnej unkcji w punkcie: Niech unkcja będzie określona w pewnym otoczeniu U 0 punktu 0, natomiast h 0 będzie liczbą, dla której 0 h U 0. Jeśli istnieje skończona granica 0 h 0 lim h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną unkcji w punkcie 0, a o unkcji powiemy, że jest różniczkowalna w punkcie 0. Jeśli ta granica nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że unkcji nie jest różniczkowalna w punkcie Rozwiązywanie zadań Zad. Wykorzystując deinicję, oblicz pochodną unkcji w danym punkcie: 0 Zad. Oblicz pochodne następujących unkcji w podanych punktach korzystając z deinicji pochodnej:

38 Zad. Korzystając z deinicji oblicz pochodną unkcji: Czy unkcja ma pochodna w danym punkcie?,,, 4, 0 Czy unkcja ma pochodna w danym punkcie?,, 9 0 Zad. 6 Wyznacz pochodne unkcji w podanych punktach:

39 Temat 4: Pochodna unkcji w punkcie Zad. Czy unkcja ma pochodną w danym punkcie? 4,, 4,, 0 Zad. Zbadaj, czy istnieje pochodna unkcji w punkcie: 0 0 Zad. Dla jakiej wartości parametru m unkcja ma pochodną w punkcie? 9, 9 m, Wyznacz wartości parametrów a i b, dla których podana unkcja jest różniczkowalna: a,, b 4,, Wskaż te wykresy, na których jest przedstawiona unkcja różniczkowalna w punkcie A. 9

40 B. C. D. 40

41 Temat 5: Interpretacja geometryczna i izyczna pochodnej unkcji w punkcie Cel lekcji: praktyczne zastosowanie pochodnej unkcji w punkcie do wyznaczania stycznej do wykresu tej unkcji w danym punkcie Cele edukacyjne: uczeń powinien: Interpretować pochodną unkcji w punkcie jako tangens kąta nachylenia stycznej do osi OX Wyznaczać równanie stycznej do wykresu unkcji Analizować interpretację izyczną pochodnej w punkcie jako prędkość ruchu ciała w danej chwili Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Interpretacja pochodnej unkcji w punkcie jako tangens kąta nachylenia stycznej do osi OX. Wyznaczanie stycznej do wykresu unkcji w danym punkcie: Niech unkcja będzie określona w pewnym otoczeniu U 0 punktu 0 i różniczkowalna w tym punkcie. Styczną do wykresu unkcji w punkcie 0, 0 nazywamy prostą opisaną równaniem y Rozwiązywanie zadań Zad. Znajdź równanie stycznej do wykresu unkcji 8 w punkcie A, Zad. Dana jest unkcja 6. Znajdź równanie stycznej do unkcji przechodzącej przez punkt P 0,6. Zad. Znajdź równania stycznej do wykresu unkcji P., y0 przechodzącej przez punkt Wyznacz współrzędne punktu P tak, aby styczna do wykresu unkcji była jednocześnie równoległa do unkcji g 9. 4

42 Wyznacz punkt, w którym styczna do wykresu unkcji 9 jest równoległa do osi OX Temat 6: Interpretacja geometryczna i izyczna pochodnej unkcji w punkcie Zad. Jaki kąt tworzy z osią OX styczna do wykresu unkcji 8 w punkcie P,6 Zad. Wyznacz tangens kąta nachylenia stycznej przechodzącej przez punkt 0,- do wykresu unkcji Zad. Wydajność pracy robotnika, który rozpoczyna pracę o godzinie 7:00 przedstawia unkcja w n 4n 9n n 00. O której godzinie wydajność jego pracy jest największa? W pewnej abryce całkowity koszt wytworzenia jednostek towaru przedstawia unkcja K Przy jakiej wielkości produkcji koszt, który przypada na jednostkę wytworzonego towaru będzie najmniejszy? Temat 7: Pochodna unkcji i jej własności Cel lekcji: zapoznanie z metodami obliczania pochodnej unkcji Cele edukacyjne: uczeń powinien: Znać pojęcie pochodnej unkcji w zbiorze Wyznaczać na podstawie poznanych twierdzeń pochodne unkcji wielomianowych i wymiernych w zbiorze Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Wprowadzenie twierdzeń o działaniach na pochodnych c 0 c 0 g 0 0 g 0 g 0 0 g 0 g 0 0 g 0 0 g 0 : g 0 0 g 0 0 g 0 [g 0 ] n, to n n c, to 0 sin, to cos 4

43 . Rozwiązywanie zadań Zad. Wyznacz pochodne podanych unkcji: cos, to sin tg, to cos ctg, to sin a, to a lna log a, to lna Zad. Oblicz pochodną unkcji: 4 5 Zad. Oblicz pochodną, a następnie doprowadź otrzymane wyrażenie do najprostszej postaci: 4 Wyznacz pochodną unkcji: Oblicz pochodne: 0,5 0, Zad. 6 Oblicz pochodną unkcji: 6 4

44 Temat 8: Pochodna unkcji i jej własności Zad. Wyznacz pochodne unkcji: sin cos Zad. Oblicz pochodną unkcji: 6 Zad. Oblicz pochodną, a następnie doprowadź otrzymane wyrażenie do najprostszej postaci: 4 4 Wyznacz pochodną unkcji: 8 9 Oblicz pochodne: 5.. sin. cos sin Zad. 6 Oblicz pochodną unkcji: 4sin cos Temat 9: Pochodna unkcji a monotoniczność unkcji Cel lekcji: zastosowanie pochodnej unkcji do wyznaczania przedziałów monotoniczności unkcji Cele edukacyjne: uczeń powinien: Znać warunki, jakie musi spełniać pochodna unkcji, aby unkcja była monotoniczna w przedziale liczbowym Wyznaczać na podstawie znaku pochodnej przedziały, w których unkcja jest rosnąca, nierosnąca, malejąca, niemalejąca Stosować poznane twierdzenia do wyznaczania pochodnej unkcji 44

45 Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Wprowadzenie twierdzeń: Jeśli unkcja jest różniczkowalna w przedziale a, b i rosnąca w tym przedziale, to dla każdego a, b prawdziwa jest nierówność 0. Jeśli unkcja jest różniczkowalna w przedziale a, b i malejąca w tym przedziale, to dla każdego a, b prawdziwa jest nierówność 0.. Rozwiązywanie zadań Zad. Wyznacz przedziały, w których unkcja maleje: 8 Zad. 4 9 Czy unkcja 8 jest rosnąca w przedziale 4,,? Zad. Wyznacz przedziały, w których podana unkcja rośnie W jakim przedziale unkcja maleje: Czy unkcja jest malejąca w przedziale,? Zad. 6 Zaznacz te unkcje, które są malejące w całej swojej dziedzinie: 4 A. B. 4 C. D

46 Temat 0: Pochodna unkcji a monotoniczność unkcji Zad. Czy unkcja 4 jest malejąca w przedziale,,0? Zad. Wyznacz przedziały, w których podana unkcja rośnie: Zad. Zaznacz te unkcje, które są rosnące w całej swojej dziedzinie: 4 A. B. C. D. 4 Czy unkcja 5 4 jest malejąca w przedziale 0,6? 5 4 Wyznacz przedziały, w których unkcja rośnie: Zad. 6 Wyznacz przedziały, w których unkcja jest rosnąca: A. B. 9 C. 4 Temat : Ekstrema unkcji Cel lekcji: poznanie pojęcia ekstremum unkcji i sposobu jego wyznaczania Cele edukacyjne: uczeń powinien: Wskazywać na wykresie unkcji jej ekstrema Znać warunki konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego unkcji Rozumieć pojęcie ekstremum lokalnego i globalnego unkcji 46

47 Wyznaczać minimum lokalne i maksimum lokalne unkcji w przedziale liczbowym Stosować poznane twierdzenia do wyznaczania ekstremum unkcji Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Zdeiniowanie pojęcia ekstremum lokalnego unkcji Niech unkcja będzie określona na przedziale otwartym a, b. unkcja ma w punkcie 0 a, b maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U 0 zawarte w tym przedziale tego punktu, że: 0. U 0 Jeśli S 0 < 0, gdzie S 0 jest pewnym sąsiedztwem punktu 0, zawartym w przedziale a, b, to unkcja ma w punkcie 0 maksimum lokalne właściwe. Niech unkcja będzie określona na przedziale otwartym a, b. unkcja ma w punkcie 0 a, b minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U 0 zawarte w tym przedziale tego punktu, że: 0. U 0 Jeśli S 0 < 0, gdzie S 0 jest pewnym sąsiedztwem punktu 0, zawartym w przedziale a, b, to unkcja ma w punkcie 0 minimum lokalne właściwe. Jeśli unkcja ma w punkcie 0 ekstremum lokalne właściwe, jeśli ma tam minimum lokalne właściwe albo maksimum lokalne właściwe.. Wprowadzenie warunku koniecznego istnienia ekstremum unkcji oraz warunku wystarczającego tzn. zmiana znaku pochodnej w danym punkcie Warunek konieczny: Jeżeli unkcja, określona w pewnym otoczeniu punktu 0 jest różniczkowalna w tym punkcie i ma w nim ekstremum, to Rozwiązywanie zadań Zad. Dany jest wykres unkcji. Odczytaj ekstrema danej unkcji: 47

48 Zad. Wyznacz ekstrema unkcji: 6 Zad. Sprawdź, czy dane unkcje mają ekstrema. Jeśli tak, wyznacz je: Zaznacz te unkcje, które mają ekstrema: A. 0 B. C. D. 9 Czy uczeń poprawnie obliczył ekstremum unkcji? 0 ma 48

49 Temat : Ekstrema unkcji Zad. Wskaż wykres unkcji, która ma ekstrema: A. B. C. 49

50 D. Zad. Wyznacz ekstrema unkcji Zad. Sprawdź, czy dane unkcje mają ekstrema. Jeśli tak, wyznacz je:.. 4. Wyznacz ekstrema unkcji: Zaznacz te unkcje, które mają jedynie maksima: A. B. C. D. 4 50

51 Zad. 6 Wykres przedstawia pewną unkcję, czy ma ona ekstrema? Temat : Najmniejsza i największa wartość unkcji w przedziale liczbowym Cel lekcji: zastosowanie pochodnej do wyznaczania wartości najmniejszej i największej unkcji w danym przedziale liczbowym Cele edukacyjne: uczeń powinien: Wyznaczać najmniejszą i największą wartość unkcji w podanym przedziale korzystając z wyznaczonych ekstremów unkcji oraz przedziałów monotoniczności unkcji Stosować poznane twierdzenia do obliczania pochodnej unkcji Wyznaczać zbiór wartości unkcji Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Omówienie sposobu wyznaczania wartości najmniejszej i największej unkcji w danym przedziale liczbowym. Rozwiązywanie zadań Zad. Wyznacz najmniejszą m i największą M wartość unkcji w podanym przedziale liczbowym: 0,4 5

52 Zad. Na podstawie wykresu wyznacz najmniejszą wartość unkcji w przedziale [0,] A. B. C. 5

53 Zad. Jaka jest największa wartość unkcji 4 4 w przedziale 0, Podaj największą M i najmniejszą m wartość unkcji 4 w przedziale 0, Czy uczeń poprawnie wyznaczył najmniejszą m i największą M wartość unkcji w podanym przedziale? 4 4, m 6 M Temat 4: Najmniejsza i największa wartość unkcji w przedziale liczbowym Zad. Wyznacz najmniejszą m i największą M wartość unkcji w przedziale: 4 4,8 Zad. Czy poprawnie wyznaczono najmniejszą m i największą M wartość unkcji w przedziale? 4 4, m M Zad. Wskaż największą wartość unkcji w przedziale:.,4 5

54 .., 4 4, Jaka jest największa wartość unkcji w przedziale 0, 6? 4 Podaj największą M i najmniejszą m wartość unkcji 4 w przedziale 0, Temat 5: Zastosowanie pochodnej unkcji do badania własności unkcji Cel lekcji: zastosowanie własności pochodnej unkcji do badania przebiegu zmienności unkcji Cele edukacyjne: uczeń powinien: Szkicować wykresy unkcji na podstawie: obliczania granic unkcji w nieskończoności, wyznaczania asymptot unkcji, miejsc zerowych i wyznaczania dziedziny unkcji, ekstremum, monotoniczności unkcji Dopasowywanie wykresu unkcji do jej wzoru Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Przypomnienie wiadomości o granicy i zastosowaniach pochodnej unkcji. Szkicowanie wykresów unkcji podanie kolejności obliczeń Wyznaczanie dziedziny unkcji Obliczanie miejsc zerowych i punktów przecięcia z osią OY Obliczanie granicy unkcji w punktach wyłączonych z dziedziny unkcji 4 Wyznaczanie granicy unkcji w nieskończoności 5 Podanie równań asymptot unkcji 6 Wyznaczanie przedziałów monotoniczności i ekstremum unkcji na podstawie obliczania pochodnej unkcji 7 Określanie parzystości, okresowości bądź innych charakterystycznych własności unkcji 8 Szkicowanie hipotetycznego wykresu unkcji 4. Rozwiązywanie zadań 54

55 Zad. 0,5 Dana jest unkcja. Zaznacz prawidłowe odpowiedzi: A. D : R \{0} B. : R D C. lim 0 D. lim 0 E. lim 0 F. 0, 5 ma G. min, 5 H. unkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie I. J. Zad. Naszkicuj wykres unkcji

56 Zad. Dany jest wykres pewnej unkcji. Wskaż wzór tej unkcji. 9 A. B. 9 9 C. 9 9 D. 9 Dopasuj wykres unkcji do jej wzoru:

57 A. B. C. 57

58 4 Dana jest unkcja 8, zaznacz prawidłowe odpowiedzi A. D : R \{0} B. C. D. : R D E. lim F. lim G. lim H. lim I. 0 8 ma J. 0 8 min 58

59 Temat 6: Zastosowanie pochodnej unkcji do badania własności unkcji Zad. 4 W jakich przedziałach unkcja 4 jest rosnąca? Zad. Dana jest unkcja. Zaznacz prawidłową odpowiedź: lim A. lim B. C. D. lim 0 lim 0 lim 0 lim 0 lim lim Zad. Naszkicuj wykresy unkcji:.. 4. Dana jest unkcja A. D : R \{ }. Które odpowiedzi są prawdziwe? 59

60 B. C. D. 60

61 E. :,0, F. :,0 4 Zaznacz ałszywe odpowiedzi, mając daną unkcję A. 0 B. lim C. lim D. 4 0 : Temat 7: Zastosowanie pochodnej unkcji w zagadnieniach optymalizacyjnych Cel lekcji: zastosowanie wiadomości o pochodnej do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych Cele edukacyjne: uczeń powinien: Stosować pochodną unkcji wymiernej i wielomianowej do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych Przebieg zajęć:. Wstępna organizacja i przygotowanie do zajęć. Wyjaśnienie istoty zadań optymalizacyjnych. Rozwiązywanie zadań Zad. Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratu. Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi 6 cm. Dla jakiej długości krawędzi podstawy prostopadłościan będzie miał największą objętość? Zad. Tomek musi wykonać szkielet prostopadłościanu wykorzystując drut o długości 0 cm. Stosunek długości krawędzi podstawy wynosi :. Przy jakich wymiarach podstawy objętość prostopadłościanu będzie największa? Zad. W kulę wpisano stożek o największej objętości. Ile wynosi długość wysokości tego stożka, jeśli promień kuli jest równy 6 cm? 6

62 Wydajność pracy pewnego robotnika można przedstawić za pomocą unkcji F t t 6t t 4. Wiedząc, że robotnik zaczyna pracę o godzinie 8:00, oblicz o której godzinie jego wydajność jest największa. Temat 8: Zastosowanie pochodnej unkcji w zagadnieniach optymalizacyjnych Zad. Dodano do siebie kwadraty trzech kolejnych parzystych liczb całkowitych. Oblicz te liczby wiedząc, że ich suma ma być najmniejsza. Zad. W półkole o promieniu 4 wpisano prostokąt. Znajdź wymiary tego prostokąta tak, aby jego pole było największe. Zad. Prosta przechodząca przez punkt A,6 tworzy z dodatnimi osiami układu współrzędnych trójkąt. Znajdź równanie prostej tak, aby pole trójkąta było najmniejsze. Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratu. Ile wynosi największa suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu, jeśli długość jego przekątnej wynosi 6? Powtórzenie wiadomości Zad. Wyznacz podane granice: lim 4 4. lim 0 sin. lim 0 4 Zad. Oblicz pochodną unkcji: 4 Zad. Wyznacz ekstrema unkcji: 4 9 6

63 Czy unkcja jest ciągła?,,,,4 4, 4, Naszkicuj wykres unkcji 4 Zad. 6 Dany jest wykres unkcji. Na podstawie wykresu zaznacz prawidłowe odpowiedzi: A. unkcja ma asymptotę pionową w i B. unkcja ma asymptotę pionową 0 C. lim D. lim E. lim F. D : R \{0, } G. : R \{, } D Sprawdzian Zad. Oblicz pochodną unkcji: Zad. Wyznacz podane granice: 4 6. lim 4 6

64 sin. lim 0 sin 5 6. lim 4 Zad. Naszkicuj wykres unkcji 4 Dany jest wykres unkcji. Na podstawie wykresu zaznacz prawidłowe odpowiedzi: A. unkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie B. unkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie C. lim 0 D. lim 0 E. lim F. D : R \{0, } G. D : R \{0} Czy unkcja jest ciągła? 4,,,, 4,, 64

65 Zad. 6 4 Wyznacz ekstrema unkcji: 4 4 Poprawa pracy klasowej Zad. 4 Odp. Zad Zad. ' Odp. C, G Odp. Tak, jest ciągła Zad. 6 Odp. min min ma

66 . Przygotowanie do matury Cel zajęć: Powtórzenie materiału z I, II i III klasy, przypomnienie podstawowych twierdzeń i wzorów i zastosowanie ich do rozwiązywania zadań maturalnych Temat : Przygotowanie do matury Zad. 0 Dany jest wielomian W 7. W jest liczbą: A. pierwszą B. ujemną C. niewymierną D. dodatnią Zad. Suma kolejnych liczb parzystych mniejszych od 00 jest równa: A B. 450 C. 55 D. 000 Zad. Buty kosztowały 68 zł, ale ich cena wzrosła o 4 zł. O ile procent wzrosła cena naszyjnika? Pole igury ograniczonej prostymi y 6 y 8 0 y 4 y jest równe: A. 8 B. C. 6 D. 9 Dana jest unkcja 4. Osią symetrii tej unkcji jest prosta: A. B. C. y D. y 66

67 Zad. 6 Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 6 cm, a krawędź podstawy jest równa 6. Wyznacz cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy. Zad. 7 Jaką liczbą jest liczba a 9 8? Zad. 8 Przez które ćwiartki układu współrzędnych przechodzi prosta y a b, jeśli: a > 0 b < 0 Temat : Przygotowanie do matury Zad. Marcin przygotowuje się do matury z matematyki. Musi rozwiązać 500 zadań, do tej pory rozwiązał już 00. Dzisiaj rozwiązał 0 zadań i codziennie będzie rozwiązywał o 0 zadań więcej. Ile dni zajmie Marcinowi rozwiązanie pozostałych zadań? Zad. Różnica między polem koła opisanego na kwadracie a polem koła wpisanego w kwadrat jest równa 7π. Wyznacz pole kwadratu. Zad. Liczba log4 jest równa: A. log 4 log B. log 4 log C. 4log log8 D. log8 log 6 Ile miejsc zerowych ma unkcja 4, >? - - 4, Dany jest ciąg: n n an 4 Wyznacz wyraz czwarty. Zad. 6 6% liczby jest równe 4. Wyznacz liczbę. 67

68 Zad. 7 Rozwiąż równanie 5 8 Zad. 8 Liczby 5, y, 4, y tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz. Zad. 9 Wskaż unkcję, której zbiorem wartości jest przedział, 6 A. 5 6 B. 6 C. 6 D. 6 Temat : Przygotowanie do matury Zad. Kąt wpisany i środkowy są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar wynosi 40. Ile wynosi miara kąta wpisanego? Zad. Na ile sposobów Maciek i Ania mogą usiąść na dwóch spośród 6 miejsc w kinie? Zad. Wyznacz medianę danych: 5,4,0,,,9,,4 O pewnych zdarzeniach losowych A i B wiadomo: A Ω B Ω A B P A 0, P B 0,5 Wyznacz prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B. Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz objętość sześcianu. Zad. 6 Kąt β jest ostry, a sinβ 0,. Oblicz wartość wyrażenia: tg β Zad. 7 Średnia arytmetyczna liczb, 4, 8, 0, 6,, 6 jest równa 7. Wyznacz. 68

69 Zad. 8 Magda przeczytała książkę, która ma 60 stron każdego dnia taką samą liczbę stron. Gdyby codziennie czytała o 6 stron więcej, to przeczytałaby książkę o 6 dni wcześniej. Ile dni Magda czytała książkę? Temat 4: Przygotowanie do matury Zad. Oblicz wartość wyrażenia: Zad. Dla jakich wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu 0 7 W k k 4k k przez dwumian jest równa 4? Zad. Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S,, stycznego do prostej o równaniu: y 0 Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek: m m 0 Ze zbioru A { C : 4 0} losujemy kolejno trzy liczby całkowite a, b, c i tworzymy unkcję a b c. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymana unkcja będzie malejąca? Temat 5: Przygotowanie do matury Zad. Znajdź równania prostych, w których zawierają się dwusieczne kątów, pod jakimi przecinają się następujące proste: y 0 y 7 0 Zad. W kulę o promieniu 4 wpisano sześcian, w którego wpisano kolejną kulę, a w nią kolejny sześcian i tak dalej. Oblicz sumę powierzchni wszystkich kul. Zad. Rozwiąż równanie:

70 W trójkącie prostokątnym z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość, która podzieliła przeciwprostokątną na odcinki długości 4 i 0. Oblicz pole tego trójkąta. Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, a liczby, y, z ciąg geometryczny. Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego. a y b z b a c Temat 6: Przygotowanie do matury Zad. Rozwiąż równanie: sin cos 0,π Zad. Dany jest trójkąt ABC, w którym miara kąta ABC jest równa 5, a kąta ACB 0. Ponadto wiadomo, że bok BC ma długość 400. Wyznacz długość boku AB. Zad. 6 4 Dane są dwie unkcje i g. Oblicz, dla jakich argumentów wartości unkcji g są nie mniejsze niż wartości unkcji. Wyznacz wartości parametru m, dla których pierwiastki wielomianu W 5 4 m są trzema kolejnymi wyrazami malejącego ciągu arytmetycznego. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ABC kąt prosty przy wierzchołku C ma długość. Wyznacz długość odcinka CD, gdzie D jest punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną, jeśli jeden z kątów ostrych trójkąta ma miarę 0. 70

71 Temat 7: Przygotowanie do matury Zad. Podstawa AB trapezu ABCD ma długość, wierzchołek D jest punktem przecięcia paraboli z osią OY. Wiedząc, że pozostałe wierzchołki trapezu leżą na tej paraboli, oblicz pole trapezu. Zad. 4 Rozwiąż równanie: log log Zad. Boki trójkąta ABC mają długości: 8, 0, 4. Wyznacz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka C do boku Dla jakiej wartości parametru m równanie m m 5 0 ma dwa różne pierwiastki ujemne? Dla jakiej wartości parametru m równanie m nie ma rozwiązań? 6 Temat 8: Przygotowanie do matury Zad. Wierzchołki trójkąta ABC należą do paraboli 8, a punkt C jest jej wierzchołkiem. Podstawa trójkąta AB jest równoległa do osi OX. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta. 7

72 Zad. Suma n początkowych wyrazów ciągu dana jest wzorem: S n n n Wyznacz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych. Zad. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy równej 6 ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma miarę 0. Wyznacz objętość ostrosłupa. W urnie znajdują się kule czarne, białe i zielone. Kul czarnych jest dwa razy więcej niż kul białych, a kul zielonych - cztery razy więcej niż białych. Losujemy jednocześnie kule. Ile jest kul białych jeśli prawdopodobieństwo wylosowania kul w różnych kolorach jest równe 8 p. 89 Rozwiąż nierówność: 4 4 Temat 9: Przygotowanie do matury Zad. sin sin Rozwiąż równanie: cos Zad. W okrąg o promieniu równym wpisano kwadrat i trójkąt równoboczny, które mają wspólny wierzchołek. Wyznacz pole części wspólnej trójkąta i kwadratu. Zad. Okrąg jest styczny do prostej k : y 0 w punkcie A 7,8 oraz do prostej m : y 6 0 w punkcie B 9,. Wyznacz promień okręgu. Rozwiąż równanie: 4sin cos 0,π Dla jakich wartości parametru k równanie pierwiastki? k 9 4 k ma dwa różne 7

73 Temat 0: Przygotowanie do matury Zad. Dla jakich wartości n suma n-początkowych wyrazów danego ciągu jest równa 60? a y a y a4 5y a 7 6 Zad. Wyznacz pierwiastki wielomianu W, jeśli przy dzieleniu W przez dwumian otrzymujemy iloraz Q 6 i resztę. R 48 Zad. W stożek wpisano kule o promieniu 4. Wyznacz pole powierzchni całkowitej stożka, jeśli tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45. Rozwiąż równanie: Dany jest trójkąt ABC, gdzie A 4, i B 8,5. Wyznacz współrzędne wierzchołka C leżącego na prostej y 6 0 tak, aby pole trójkąta było równe 9. Temat : Przygotowanie do matury Zad. Środek okręgu przechodzącego przez punkty A4, i B5, 4 leży na osi OX. Wyznacz równanie okręgu. Zad. Dla jakiej wartości parametru m podane równanie Zad. Trzy liczby Wyznacz. 4 4 sin cos m ma rozwiązania? log 5, log4, log tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Znajdź równanie okręgu, który jest obrazem okręgu 8 y w jednokładności o środku P, i skali k. 7

74 Tomek i Kamil grają w koszykówkę i traiają do kosza z prawdopodobieństwem odpowiednio: 0,6 i 0,8. Wyznacz prawdopodobieństwo, że gdy każdy z nich wykona po jednym rzucie do kosza to piłka wpadnie dokładnie raz. Temat : Przygotowanie do matury Zad. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości jest oddalony od krawędzi bocznej o 4. Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli kat nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 45. Zad. Naszkicuj wykres unkcji: a sin sin sin b sin c sin sin d sin sin e sin Zad. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, A 8, i B,9. Wyznacz współrzędne wierzchołka C, jeśli leży on na prostej y 0. Długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym są równe odpowiednio i 5. Wyznacz obwód trójkąta. Rozwiąż nierówność: 4 < Temat : Przygotowanie do matury Zad. Dla jakiej wartości parametru m ciąg sin m, cos m, cos m jest arytmetyczny, m 0,π? Zad. Na prostej 8 y 0 0 znajdź taki punkt C, aby pole trójkąta ABC było równe 8. A 4,5 B, 74

75 Zad. Z cyr od do 9 losujemy bez zwracania cyry i tworzymy z nich liczbę trzycyrową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymana liczba jest mniejsza od 666? Wyznacz : 9 Dla jakiej wartości parametru k unkcja k 5k 6 k ma dwa miejsca zerowe i osiąga maksimum? Temat 4: Przygotowanie do matury Zad. Czy liczba a... jest całkowita? Zad. Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian - wynosi 5, przez wynosi, a przez wynosi 7. Ile jest równa reszta z dzielenia tego wielomianu przez wielomian Q? Zad. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów pierwiastków równania a a 4 jest równa? Podstawy trapezu mają długości 4 i. Wyznacz długość odcinka równoległego po podstawy trapezu, który dzieli trapez na dwie igury o równych polach. Ile wynosi długość krawędzi czworościanu oremnego, jeśli jego wysokość jest równa 8? Temat 5: Przygotowanie do matury Zad. Czy jeśli liczby i y spełniają następujące warunki: > y 6y y 0, to log y log y log Zad. Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę 60. Wiedząc, że pole ściany bocznej jest równe oblicz objętość ostrosłupa. 75

76 Zad. W trapez można wpisać i opisać na nim okrąg. Przekątna trapezu ma długość 7, a dłuższa podstawa 6. Oblicz pole tego trapezu. Dla jakiej wartości parametru m równanie Czy prawdziwa jest tożsamość Temat 6: Przygotowanie do matury 4 m ma dwa pierwiastki rzeczywiste? 6 6 sin α cos α sin α cos α? Zad. Trzy liczby, y, z są większe od zera i tworzą ciąg arytmetyczny. Czy podane obok liczby również tworzą ciąg arytmetyczny?,, y z z y Zad. m Dla jakich wartości parametru m dziedziną unkcji jest zbiór m 8 wszystkich liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości przedział y 0,? Zad. Dane są trzy liczby a, b, c tworzące ciąg arytmetyczny. Kwadraty liczb a, b i c tworzą ciąg geometryczny. Ile wynosi iloraz ciągu geometrycznego? Dla jakich wartości parametrów m i k krzywe y m y k k m mają jeden punkt wspólny? Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła o promieniu 4. Wyznacz stosunek pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła. Temat 7: Przygotowanie do matury Zad. Przekątne trapezu dzielą go na 4 trójkąty. Pola trójkątów, których bokami są podstawy trapezu wynoszą odpowiednio 9 i 6. Wyznacz pole trapezu. Zad. Dla jakiej wartości parametru k nierówność k 4 k > 0 nie ma rozwiązań? 76

77 Zad. Dane są cztery kolejne liczby całkowite takie, że suma kwadratów najmniejszej i największej z nich jest równa potrojonej różnicy kwadratów dwóch pozostałych liczb. Wyznacz największą z tych liczb. Rozwiąż nierówność: 4 < 0 Temat 8: Przygotowanie do matury Zad. Podaj rozwiązanie równania cos cos 0,π w przedziale: Zad. Dane są liczby a, b, c tworzące ciąg geometryczny. Jeśli do b dodamy 8, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeśli do liczby c nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64 to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby. Zad. Funkcja i prosta k przechodząca przez punkt 5,0 ograniczają trójkąt o polu. Podaj równanie prostej k. Liczby a, b, c, d tworzą ciąg geometryczny, a liczby a, b, c 9, d 5 ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby. Ze zbioru liczb {,,, 4, 5, 8} wybieramy losowo. Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymane liczby są długościami boków trójkąta rozwartokątnego? Temat 9: Przygotowanie do matury Zad. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość. Środek kuli opisanej na tym ostrosłupie dzieli jego wysokość w stosunku 5:. Wyznacz objętość ostrosłupa. Zad. Dany jest prostokąt ABCD, odcinek AE jest wysokością trójkąta ABD. Wyznacz pole trójkąta AED. 77

78 Zad. Wyznacz wartość wyrażenia cos sin, jeśli: sin cos Ze zbioru liczb naturalnych dwucyrowych losujemy jedną liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej na 8 lub? Na prostej y 4 znajdź taki punkt C, aby podane wyrażenie miało jak najmniejszą wartość: AC BC A,9 B, Temat 0: Przygotowanie do matury Zad. Wyznacz miarę kąta między stycznymi do okręgu y 4 y 4 0 przechodzącymi przez punkt 8,. Zad. Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Wiemy, że za drugim razem wypadła 6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy czterokrotnym rzucie kostką wypadnie suma oczek większa od? Zad. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 6. Przekątna podstawy tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt 60. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Dla jakiej wartości parametru a równanie a a 6a a 6 0 ma różne rozwiązania rzeczywiste? 78