S n = a 1 1 qn,gdyq 1

Transkrypt

1

2

3 Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory Obliczenia Ciągi Własności funkcji Funkcje liniowe i kwadratowe Wielomiany i wyrażenia wymierne Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Trygonometria Granice i pochodne Statystyka Rachunek prawdopodobieństwa Planimetria Planimetria (cd.) Stereometria Zestawy zadań maturalnych Zestaw maturalny Wskazówki i szkice rozwiązań Odpowiedzi

4 Ciągi Podstawowe pojęcia Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych dodatnich (ciąg nieskończony) lub na jego skończonym podzbiorze {1, 2, 3,..., k} (ciąg skończony). Wartości takiej funkcji nazywamy wyrazami ciągu. Ciąg, w którym dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów a n i a n+1 zachodzi nierówność a n < a n+1, nazywamy rosnącym, a gdy zachodzi nierówność a n+1 < a n, to ciąg nazywamy malejącym. Ciąg, w którym dla każdego n zachodzi równość a n+1 = a n, nazywamy stałym. zob. II str Ciąg arytmetyczny Ciąg (a n ) nazywamy arytmetycznym, jeśli ma co najmniej trzy wyrazy i każdy jego wyraz, z wyjątkiem pierwszego, powstaje przez dodanie pewnej stałej liczby r do poprzedniego wyrazu. Wzór rekurencyjny: a n+1 = a n + r r różnica ciągu arytmetycznego Wzór ogólny: a n = a 1 +(n 1)r Suma n początkowych wyrazów: S n = a 1 + a n n 2 zob. II str Ciąg geometryczny Ciąg (a n ) nazywamy geometrycznym, jeśli ma co najmniej trzy wyrazy i każdy, z wyjątkiem pierwszego, powstaje w wyniku pomnożenia poprzedniego wyrazu przez pewną stałą liczbę q. Wzór rekurencyjny: a n+1 = a n q q iloraz ciągu geometrycznego Wzór ogólny: a n = a 1 q n 1 Suma n początkowych wyrazów: S n = a 1 1 qn,gdyq 1 1 q zob. II str Szereg geometryczny Niech (a n ) oznacza ciąg geometryczny o ilorazie q. Ciąg sum częściowych (S n ), czyli S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 1 q, S 3 = a 1 + a 1 q + a 1 q 2,... nazywamy szeregiem geometrycznym. Jeśli q <1,tociąg(S n ) jest zbieżny, a liczbę S = lim S n nazywamy sumą n + szeregu geometrycznego. Mówimy też, że S jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (a n ). S = a 1 1 q zob. II str. 245

5 28 CIĄGI Zadania kontrolne I. Ciąg (a n ) określony jest wzorem a n = n(3n +1). Liczba 200 jest jednym z wyrazów tego ciągu. Którym? II. Zapisz dziesiąty, jedenasty i dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym: a) a 1 = 2, r =5 b) a 3 =8,a 7 =6 zob. II str III. Wykaż, że liczby ( 3) 4 2 3,9, tworzą ciąg geometryczny. Czy iloraz tego ciągu jest liczbą większą od 3? IV. Zbadaj monotoniczność ciągu a n = 3n n +2. zob. II str V. Liczby 1 + 2, 1, 1 2 to trzy początkowe wyrazy nieskończonego ciągu arytmetycznego. Zapisz wzór ogólny i wzór rekurencyjny tego ciągu. VI. Liczby 3 3, 3, 3 są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego. Zapisz wzór ogólny i wzór rekurencyjny tego ciągu. zob. II str VII. Liczby 2 i 4 to odpowiednio drugi i piętnasty wyraz ciągu arytmetycznego (a n ). Oblicz sumę a 20 + a a 30. zob. II str VIII. Składniki sumy są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz tę sumę. zob. II str IX. Który z podanych ciągów jest rosnący, który malejący, a który nie jest ani rosnący, ani malejący? a n =3 2 b n = n 2 2n c n = n +1 d n = 7 n n 2n X. Poniżej podano wzory ogólne kilku ciągów. Który z tych ciągów jest ciągiem arytmetycznym, a który geometrycznym? a n = n 3 c n =3n e n = n +2 b n =3 n d n =1 n f n = n 2 4 XI. Czwarty wyraz pewnego ciągu jest równy 9, a ósmy jest równy 81. Podaj pierwsze dwa wyrazy tego ciągu, jeśli wiadomo, że jest to: a) ciąg arytmetyczny, b) ciąg geometryczny. XII. Sprawdź, że ciąg a n = 4 jest ciągiem geometrycznym. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego 5n 1 ciągu.

6 134 WSKAZÓWKI I SZKICE ROZWIĄZAŃ str. 28 Ciągi XII. Wskazówka. Ciąg (a n ) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym oilorazieq = 1 5. str Wskazówka. Wszystkie trzycyfrowe parzyste liczby naturalne tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a 1 = 100 oraz r = 2. Ostatnim wyrazem tego ciągu jest a 450 = 998. Wystarczy zatem obliczyć S a) Wskazówka. Liczby miejsc w kolejnych rzędach tworzą ciąg arytmetyczny (a n ), w którym r =3.Abyznaleźća 1, należy rozwiązać równanie S 25 = b) Wskazówka. Należy sprawdzić, czy zachodzi nierówność S 16 > Liczby osób, które po kolejnych dniach znają plotkę, tworzą ciąg: 15, = 4 15, =4 2 15,..., Zatem w niedzielę plotkę znało = osób. Liczba mieszkańców miasteczka wynosi więc osób. 6. Wskazówka. Kolejne wyrazy ciągu można zapisać w postaci: log 2 10, 2 log 2 10, 3 log 2 10, Wskazówka. W ciągu powtarza się sekwencja sześciu wyrazów: 5, 8, 3, 5, 8, Wskazówka. Rozwiąż równanie a 1 + a 1 q + a 1 q 2 =3a 1. Ponieważ ciąg nie jest stały, więc a 1 0iq Wskazówka. Zob. zadanie 2 na str. 15. str. 34 str. 35 Własności funkcji IV. c) Funkcja jest rosnąca w przedziale ( ;5 i malejąca w przedziale 5; + ), zatem z warunków zadania wynika, że: f ( 2) < f (1) = f (7) < f (6) XII. a) Aby wykazać, że funkcja f (x) =3x 2 5x nie jest różnowartościowa, wystarczy wskazać takie ( dwa argumenty x 1 i x 2, dla których spełniony jest warunek f (x 1 )=f(x 2 ) np. x 1 =0, x 2 = 5 ). 3 b) Dziedziną funkcji g jest zbiór D =, zatem jeśli x D, to x D. Ponadto: g( x) = 3 ( x)2 5+ x = 3 x2 5+ x = g(x) Zatem funkcja g jest parzysta.

7