Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Transkrypt

1 Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

2 Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Funkcja uwikłana

3 Definicja Funkcją dwóch zmiennych x i y, określoną w podzbiorze D płaszczyzny R x R, nazywamy przyporządkowanie każdej parze (x,y) є D dokładnie jednej liczby rzeczywistej z. W przyporządkowaniu tym x i y nazywamy zmiennymi niezależnymi, natomiast z zmienną zależną lub wartością funkcji w punkcie (x,y). Zbiór D nazywamy dziedziną funkcji, natomiast zbiór f (D) wartości, jakie przyjmuje zmienna zależna z nazywamy przeciwdziedziną tej funkcji. Prościej: Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych rzeczywistych to funkcja, której argumentami są pary liczb rzeczywistych, a wartościami są liczby rzeczywiste. Funkcje dwóch zmiennych oznaczamy symbolem

4 Uwaga Jeśli funkcja f (x,y) jest określona wzorem i dziedzina jej nie jest podana, to przyjmujemy, że jest nią zbiór wszystkich punktów (x,y) dla których wzór ten ma sens liczbowy. Przyklady z 2 1. z = 1- x - y 2 = ln( x + 4y -16) + arcsin(2x -1) 3. z = ln(4-4x 2x - x y y 2 2 )

5 Definicja Wykresem funkcji dwóch zmiennych x i y, określonej w podzbiorze D płaszczyzny R x R, nazywamy powierzchnię: Π={(x,y,z): (x,y)є D, z=f(x,y)}, będącą zbiorem punktów przestrzeni { P(x,y,z) }. Przykłady Naszkicować funkcje: z = x 2 + y 2 z = x + y 4

6 Definicja Ciąg punktów {Pn(xn, yn)}( n=1, 2, ) płaszczyzny jest zbieżny do punktu P0 (x0, y0), jeżeli Gdzie jest odległością między punktami Pn i P0. Piszemy: Wniosek

7 Definicja (GRANICA PODWÓJNA FUNKCJI) Liczbę g nazywamy granicą (podwójną) funkcji f(x, y) w punkcie P0 (x0, y0), jeżeli dla dowolnego ciągu punktów {Pn(xn, yn)} zbieżnego do P0 ciąg {f(pn)} = {f (xn, yn)} jest zbieżny do g. Piszemy: Definicja (GRANICA ITEROWANA) Granicami iterowanymi nazywamy granice:

8

9 2.

10

11 Ponieważ: więc:

12 Może się zdarzyć, że: 1. Istnieje i nie istnieją granice iterowane. 2. Istnieją granice iterowane i nie istnieje Jeżeli istnieją granice iterowane i są one różne to możemy wyciągnąć wniosek, że granica nie istnieje.

13 Pochodna cząstkowa pierwszego rzędu Jeżeli rozpatruje się funkcję dwóch zmiennych to można ustalić jedną ze zmiennych np. y i przyjąć, że funkcja zależy tylko od jednej zmiennej x

14 Pochodna cząstkowa względem zmiennej x Definicja f Granicę właściwą ilorazu różnicowego ( x0, y0) f ( x0 + dx, y0 ) - f ( x0, y0) = lim x dx 0 dx nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem zmiennej x w punkcie ( x 0, y0) i oznaczamy Pochodna ta jeśli istnieje zależy od wartości. zmiennej x jak i również od ustalonej wartości zmiennej y

15 Pochodna cząstkowa względem zmiennej y Definicja Granicę właściwą ilorazu różnicowego f ( x0, y0) f ( x0, y0 + dy) - f ( x0, y0) = lim y dy 0 dy, nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem zmiennej y w punkcie ( x 0, y0) i oznaczamy Pochodna ta jeśli istnieje zależy od wartości. zmiennej y jak i również od ustalonej wartości zmiennej x

16 Przykłady a), b), c), d).

17 Przykłady a)

18 Przykłady b)

19 Przykłady c)

20 Przykłady d)

21 Pochodna cząstkowa drugiego rzędu Jeżeli to pochodne jeżeli istnieją w pewnym obszarze, są również funkcjami zmiennych x i y. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego definiuje się następująco: - pochodne jednoimienne - pochodne różnoimienne

22 Twierdzenie Schwarza Jeżeli funkcja w pewnym obszarze ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu, to w tym obszarze.

23 Przykłady Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji:

24 Warunek Konieczny istnienia Ekstremum (WKE) Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie, i jest w tym punkcie różniczkowalna, to i. Dla znalezienia punktów stacjonarnych, w których może istnieć ekstremum, należy rozwiązać układ równań:.

25 Warunek Konieczny istnienia Ekstremum- c.d. Następnie dla każdego z punktów należy obliczyć: Następnie obliczamy tzw. wyróżnik:.

26 Warunek Wystarczający istnienia Ekstremum (WWE) Jeżeli dla funkcji w punkcie stacjonarnym to funkcja ma w punkcie maksimum, to funkcja ma w punkcie minimum,, to nie istnieje ekstremum funkcji w punkcie, to nie da się rozstrzygnąć istnienia ekstremum funkcji w punkcie tą metodą

27 Przykłady obliczania ekstremum funkcji a), b), c), d). e)

28 a) WKE:

29 a)-cd Dla punktu (1, -1) mamy: WWE: funkcja ma w p. (1,-1) minimum. w p. (0,0) funkcja nie ma ekstremum.

30 b) WKE :

31 b)-cd Niech Wystarczy zauważyć, że WWE: funkcja nie ma ekstremum.

32 c) WKE:

33 c) WWE: funkcja nie ma ekstremum

34 d) WKE:

35 d) - cd Niech WWE: funkcja ma w p. minimum.

36 Warunek Konieczny istnienia Ekstremum-cd funkcje 3 zmiennych Jeżeli funkcja 3 zmiennych ma ekstremum lokalne w punkcie i jest w tym punkcie różniczkowalna, to Dla znalezienia punktów stacjonarnych, w których może istnieć ekstremum, należy rozwiązać układ równań:..

37 Ekstremum funkcji 3 zmiennych Dla każdego z punktów stacjonarnych należy obliczyć pochodne cząstkowe II rzędu: Następnie obliczamy tzw. wyróżniki:.

38 Warunek Wystarczający istnienia Ekstremum Jeżeli dla funkcji w punkcie stacjonarnym to funkcja ma w punkcie maksimum, to funkcja ma w punkcie minimum, Przykład Znaleźć ekstrema funkcji

39 GRADIENT Gradientem funkcji dwóch zmiennych f(x,y) w punkcie P(x0,y0) jest wektor, wskazujący kierunek największego wzrostu funkcji w punkcie P(x0,y0). ' grad f ( x 0, y0) grad f ( x0, y0) = [ f x ( x0, y0), f y ( x0, y0)] ' Miara tego wzrostu jest dana jako moduł wektora gradientu, czyli długość gradientu.

40

41 POCHODNA KIERUNKOWA df d k Pochodna kierunkowa wyraża miarę wzrostu funkcji f(x,y) w punkcie P(x0,y0) w kierunku wyznaczonym przez wektor. ( x0, y0) = grad f ( x0, y0) o Największa wartość pochodnej kierunkowej funkcji f(x,y) w punkcie P(x0,y0) jest w kierunku gradientu w punkcie P(x0,y0) i jest równa k ' 2 ' 2 grad f ( x, y ) = é f ( x, y ) ů + é f ( x, y ) ů ë ű ë ű 0 0 x 0 0 y 0 0 k k

42 RÓŻNICZKA ZUPEŁNA Niech i oznaczają dowolne i niezależne od siebie przyrosty zmiennej oraz zmiennej. Definicja Iloczyny oraz nazywamy różniczkami cząstkowymi funkcji, a ich sumę Wniosek różniczką zupełną funkcji.

43 Przykłady obliczania różniczki a), b), c), d).

44 a)

45 b)

46 c)

47 d)

48 Fakt Dla małych przyrostów i Przykłady Oblicz przybliżoną wartość wyrażeń korzystając z różniczki zupełnej a) 1,04 2,02 3 b) 1,02 + 1,97 3

49 Ekstremum warunkowe funkcji wielu zmiennych Na YT są przykłady policzone metodą mnożników Lagrange a. My pokażemy inne rozwiązanie. Znależć ekstrema warunkowe funkcji f(x,y) przy warunku w: a) f ( x,y) = xy + x + y, w: x + 2y - 3 = b) f ( x,y) = x 2 + y2, w: x + y = 10 0

50 a) f ( x,y) = xy + x + y, w: x + 2y - 3 = 0 Odp.: Maksimum warunkowe funkcji f(x,y) przy warunku w: b) f ( x,y) = x 2 + y2, w: x + y = 10 Odp.: Minimum warunkowe funkcji f(x,y) przy warunku w:

51 Funkcja uwikłana Niech F(x,y)=0 dla (x,y) D. Każdą fynkcję y=y(x), która spełnia powyższe równanie, tzn. taką, że F(x,y(x))=0 dla x X, nazywamy Funkcją uwikłaną określoną w zbiorze X. Równanie F(x,y(x))=0 nazywamy postacią uwikłaną funkcji y=y(x) Przykład: 2 2 x y y = 0 Uwaga: Nie zawsze jest możliwe wyznaczenie funkcji uwikłanej y=y(x) równania F(x,y)=0.

52 Twierdzenie 1 Jeżeli F(x,y) jest funkcją dwóch zmiennych, oraz w otoczeniu punktu istnieją ciągłe pochodne czastkowe to w pewnym otoczeniu punktu x istnieje dokładnie jedna ciągła funkcja uwikłana y=y(x) określona za pomocą równania F(x,y)=0, spełniająca warunek y( x ) = y. 0 0 Ponadto funkcja uwikłana y=y(x) ma w pewnym otoczeniu punktu xo pochodną y daną wzorem:

53 Twierdzenie 2 Jeżeli F(x,y) jest funkcją dwóch zmiennych, oraz w otoczeniu punktu istnieją ciągłe pochodne czastkowe I i II rzędu to funkcja uwikłana y=y(x) ma w pewnym otoczeniu y punktu xo drugą pochodną y daną wzorem:

54 Twierdzenie 3 (warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji uwikłanej) Jeżeli spełnione sa warunki: 1. F(x,y) ma ciągłe pochodne czastkowe I i II rzędu w pewnym otoczeniu punktu, y 4. to funkcja uwikłana y=y(x) dana równaniem F(x,y)=0 ma w punkcie xo minimum (maksimum) lokalne równe yo = y(xo).

55 Zadania Znajdź ekstrema funkcji uwikłanej oraz równanie stycznej w punkcie Po