Temat: Zastosowania pochodnej
|
|
|
- Adrian Kubiak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Temat: Zastosowania pochodnej A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
2 Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2
3 Zagadnienia 1. PrzybliŜona wartość unkcji. 2. PrzybliŜony przyrost wartości unkcji. 3. Funkcje kosztów, zysków, utargów. 4. Globalne ekstrema unkcji. 5. Elastyczność unkcji. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3
4 Przypomnienie Dana unkcja: Pochodna unkcji w punkcie : Oznaczenie: ' Deinicja: = lim n n n J eŝeli istnieje skończona granica niezaleŝna od wyboru ciągu n. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4
5 Interpretacja geometryczna A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5
6 Pochodna unkcji w punkcie Y y = X A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6
7 Pochodna unkcji w punkcie Y y = X A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 7
8 Pochodna unkcji w punkcie Y y = X A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 8
9 Pochodna unkcji w punkcie Y y = X 1 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 9
10 Pochodna unkcji w punkcie Y y =... 3 X 2 1 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
11 Pochodna unkcji w punkcie Y y = X 2 1 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 11
12 Pochodna unkcji w punkcie Y y = n X n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 12
13 Pochodna unkcji w punkcie Deinicja: = lim n n n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 13
14 Pochodna unkcji w punkcie Deinicja: = lim n n n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 14
15 Pochodna unkcji w punkcie Deinicja: = lim n n n n n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 15
16 Pochodna unkcji w punkcie Y y = n n n X n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 16
17 Pochodna unkcji w punkcie Y y = n n n X n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 17
18 Pochodna unkcji w punkcie Y y = n n n X n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 18
19 Oznaczenia = lim n n n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 19
20 Oznaczenia = lim n n n n n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 2
21 Oznaczenia = lim n n n n n ozn = n przyrost argumentu A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 21
22 Oznaczenia n n ozn = n przyrost argumentu A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 22
23 Oznaczenia n n ozn = n przyrost argumentu n = + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 23
24 Oznaczenia n n ozn = n przyrost argumentu n = + + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 24
25 Oznaczenia n n ozn = n przyrost argumentu n = + + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 25
26 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e Oznaczenia lim n n n = lim + =
27 Uwaga 1 lim a = n n g A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 27
28 Uwaga 1 lim a = n n g a n g A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 28
29 Uwaga 1 lim a = n n g a n g dla duŝych n a n g A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 29
30 Uwaga 1 lim a = n n g a n g dla duŝych n a n g a n g, gdy n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 3
31 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e Uwaga 2 lim + = lim = +
32 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e Uwaga 2 lim + = lim = + gdy, +
33 Wzór 1 Przyjmijmy, Ŝe + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 33
34 Wzór 1 Przyjmijmy, Ŝe + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 34
35 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e Wzór 1 Przyjmijmy, Ŝe + + Wzór na przybliŝony przyrost wartości unkcji
36 Wzór 1 Wzór na przybliŝony przyrost wartości unkcji + Oznaczenie: + = y A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 36
37 A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e Wzór 1 Wzór na przybliŝony przyrost wartości unkcji + Oznaczenie: y = + y + =
38 Wzór 1 Wzór na przybliŝony przyrost wartości unkcji + róŝniczka unkcji w punkcie dla przyrostu A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 38
39 Pochodna unkcji w punkcie Y y = y n X n A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 39
40 Wzór 2 Przyjmijmy, Ŝe + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 4
41 Wzór 2 Przyjmijmy, Ŝe + + A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 41
42 Wzór 2 Przyjmijmy, Ŝe Wzór na przybliŝoną wartość unkcji A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 42
43 Komentarz Wzór na przybliŝony przyrost wartości unkcji wykorzystywany jest w ekonomicznej interpretacji pojęcia pochodnej. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 43
44 Terminologia i oznaczenia K koszt całkowity wytworzenia jednostek pewnego produktu unkcja kosztu całkowitego A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 44
45 Terminologia i oznaczenia K unkcja kosztu całkowitego K - koszt przeciętny wytworzenia jednostek pewnego produktu unkcja kosztu przeciętnego ozn.: K = k p A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 45
46 Terminologia i oznaczenia K unkcja kosztu całkowitego K k = - unkcja kosztu przeciętnego p K' koszt krańcowy unkcja kosztu krańcowego A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 46
47 Terminologia i oznaczenia K unkcja kosztu całkowitego K k = - unkcja kosztu przeciętnego p K' unkcja kosztu krańcowego A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 47
48 Terminologia i oznaczenia wielkość podaŝy p cena za jednostkę towaru Jak wyrazić utarg? A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 48
49 Terminologia i oznaczenia wielkość podaŝy p cena za jednostkę towaru U utarg U = p A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 49
50 Terminologia i oznaczenia wielkość podaŝy p cena za jednostkę towaru U utarg U = p Niech p = p A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 5
51 Terminologia i oznaczenia wielkość podaŝy p cena za jednostkę towaru U utarg U = p Niech p = p U = p A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 51
52 Terminologia i oznaczenia U unkcja utargu całkowitego U u = p - unkcja utargu przeciętnego U' unkcja utargu krańcowego A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 52
53 Terminologia i oznaczenia U utarg K koszt całkowity Jak wyrazić zysk? A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 53
54 Terminologia i oznaczenia U utarg K koszt całkowity Z - zysk Z = U - K A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 54
55 Terminologia i oznaczenia U utarg K koszt całkowity Z - zysk Z = U - K Niech wielkość produkcji, U = U, K= K Z = U - K A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 55
56 Zagadnienie 1 Niech: wielkość produkcji K unkcja kosztu całkowitego produkcji na poziomie Przy jakim poziomie produkcji koszt przeciętny k p będzie najmniejszy? A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 56
57 Zagadnienie 1 Niech: wielkość produkcji K unkcja kosztu całkowitego produkcji na poziomie Przy jakim poziomie produkcji koszt przeciętny k p będzie najmniejszy? Jaka jest najmniejsza wartość unkcji k p? A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 57
58 Zagadnienie 2 Niech: wielkość produkcji Z unkcja zysku całkowitego przy produkcji na poziomie Przy jakim poziomie produkcji zysk całkowity Z będzie największy? Jaka jest największa wartość unkcji Z? A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 58
59 Największa wartość unkcji A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 59
60 Przykład 1 Funkcja ciągła na przedziale domkniętym maksimum lokalne 1 2 Funkcja osiąga największą wartość w maksimum lokalnym. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 6
61 Przykład 2 Funkcja ciągła na przedziale domkniętym maksimum lokalne 1 minimum lokalne Funkcja osiąga największą wartość w maksimum lokalnym. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 61 2
62 Przykład 3 Funkcja ciągła na przedziale domkniętym maksimum lokalne 1 minimum lokalne Funkcja osiąga największą wartość na krańcu przedziału określoności. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 62 2
63 Największa wartość unkcji Największa wartość unkcji - maksimum globalne A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 63
64 Największa wartość unkcji Największa wartość unkcji - maksimum globalne Wyznaczanie maksimum globalnego unkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym... A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 64
65 Największa wartość unkcji Wyznaczanie maksimum globalnego unkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym: 1. wyznaczyć wszystkie maksima lokalne, 2. obliczyć wartości na krańcach przedziału określoności, 3. wybrać największą wartość spośród otrzymanych. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 65
66 Własność 1 Funkcja ciągła określona na przedziale domkniętym przyjmuje największą wartość w maksimum lokalnym lub na krańcu przedziału określoności. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 66
67 Własność 2 Jeśli unkcja ciągła określona na przedziale domkniętym przyjmuje dokładnie jedno maksimum lokalne, to jest ono jednocześnie maksimum globalnym unkcji. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 67
68 Najmniejsza wartość unkcji A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 68
69 Przykład 1 Funkcja ciągła na przedziale domkniętym minimum lokalne 1 2 Funkcja osiąga najmniejszą wartość w minimum lokalnym. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 69
70 Przykład 2 Funkcja ciągła w przedziale domkniętym minimum lokalne 1 2 Funkcja osiąga najmniejszą wartość w minimum lokalnym. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 7
71 Przykład 3 Funkcja ciągła na przedziale domkniętym minimum lokalne 1 2 Funkcja osiąga najmniejszą wartość na krańcu przedziału określoności. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 71
72 Najmniejsza wartość unkcji Najmniejsza wartość unkcji - minimum globalne A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 72
73 Najmniejsza wartość unkcji Najmniejsza wartość unkcji - minimum globalne Wyznaczanie minimum globalnego unkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym... A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 73
74 Największa wartość unkcji Wyznaczanie minimum globalnego unkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym: 4. wyznaczyć wszystkie minima lokalne, 5. obliczyć wartości na krańcach przedziału określoności, 6. wybrać najmniejszą wartość spośród otrzymanych. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 74
75 Własność 1 Funkcja ciągła określona na przedziale domkniętym przyjmuje najmniejszą wartość w minimum lokalnym lub na krańcu przedziału określoności. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 75
76 Własność 2 Jeśli unkcja ciągła określona na przedziale domkniętym przyjmuje dokładnie jedno minimum lokalne, to jest ono jednocześnie minimum globalnym unkcji. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 76
77 Elastyczność unkcji A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 77
78 Deinicja elastyczności unkcji Niech będzie unkcją określoną na dziedzinie D R o wartościach rzeczywistych i niech >, >. Elastycznością unkcji w punkcie nazywamy liczbę E = A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 78
79 Interpretacja elastyczności Elastyczność unkcji w punkcie jest przybliŝoną miarą procentowej zmiany wartości unkcji wzrostu lub spadku, odpowiadającej przyrostowi argumentu o 1% w stosunku do poziomu. A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 79
80 Interpretacja elastyczności y = A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 8
Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Asymptoty funkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej
Temat wykładu: Asymptoty unkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Asymptoty unkcji Zagadnienia 2. Pochodna
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Definicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Ekstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y
Pochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 7 Największe i najmniejsze wartości funkcji (ekstrema globalne) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Analiza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II)
dr inż. Ryszard Rębowski 1 FUNKCJA KOSZTU Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) 1 Funkcja kosztu Z podstaw mikroekonomii
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Pochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań
I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla
Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Wykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin
. Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,
KOSZTY I OPTIMUM PRZEDSIĘBIORSTWA
KOSZTY I OPTIMUM PRZEDSIĘBIORSTWA PODSTAWOWE POJĘCIA Przedsiębiorstwo - wyodrębniona jednostka gospodarcza wytwarzająca dobra lub świadcząca usługi. Cel przedsiębiorstwa - maksymalizacja zysku Nakład czynniki
EKONOMIA MENEDŻERSKA
EKONOMIA MENEDŻERSKA Koszt całkowity produkcji - Jest to suma kosztów stałych całkowitych i kosztów zmiennych całkowitych. K c = K s + K z Koszty stałe produkcji (K s ) to koszty, które nie zmieniają się
Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) określa funkcję za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego, b) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których
Granice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji
2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2
Matematyka I dla DSM zbiór zadań
I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Ekstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do
x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:
1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
KURS FUNKCJE. LEKCJA 2 PODSTAWOWA Przekształcenia wykresu funkcji ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS FUNKCJE LEKCJA PODSTAWOWA Przekształcenia wykresu unkcji ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona Część : TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie Wykres unkcji ( x) q otrzymujemy
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Skrypt 12. Funkcja kwadratowa:
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 12 Funkcja kwadratowa: 8.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Elementy algebry i analizy matematycznej II
Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
ROZKŁAD MATERIAŁU DO III KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO III KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Wyrażenia wymierne (19 h) Przekształcanie wielomianów Wyrażenia wymierne 4 Równania
SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Wymagania edukacyjne: Matematyka Zasadnicza Szkoła Zawodowa
ymagania edukacyjne: Matematyka Zasadnicza Szkoła Zawodowa Oznaczenia: wymagania konieczne (ocena dopuszczająca), wymagania podstawowe (ocena dostateczna), wymagania rozszerzające (ocena dobra) D wymagania
Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie
Pochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Funkcje wielu zmiennych (c.d.)
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40 Minimum lokalne
Zadania optymalizacyjne
Zadania optymalizacyjne Zadania optymalizacyjne, to zadania, w których należy obliczyć, jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna wielkość osiągała największą lub najmniejszą wartość Żeby żądane warunki
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 8 Ekstrema warunkowe (mnożnik Lagrange a) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Jak
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco