Pochodna funkcji jednej zmiennej

Transkrypt

1 Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( + ) f( ) ( ) = = f( ) to funkcj nazywamy ró»niczkowaln w punkcie, a granic f ( ) pochodn funkcji w punkcie. Denicja. (pochodnej jednostronnej) Pochodn prawostronn (lewostronn ) funkcji f w punkcie nazywamy granic prawostronn (lewostronn ) ilorazu ró»nicowego f( ) i oznaczamy odpowiednio przez f +( ), ( f ( ) ). Twierdzenie. (warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej) Funkcja f ma pochodn w punkcie wtw, gdy Pochodne funkcji elementarnych: f +( ) = f ( ). Lp. Wzór Wzór Uwagi. (c) = c R. ( α ) = α α ( α ) = α α α R \ {} 3. ( n ( ) ) = n n n = n n n n N \ {, }; > n 4. (sin ) = cos (sin ) = (cos ) 5. (cos ) = sin (cos ) = ( sin ) 6. (tg ) = (tg ) = cos cos π + kπ, k N 7. (ctg ) = sin (ctg ) = sin kπ, k N 8. (a ) = a ln a (a ) = a ln a a > 9. (e ) = e (e ) = e. (ln ) = (ln ) = >. (log a ) = (log ln a a ) =. (arcsin ) = (arcsin ) = ln a a >, a ; > < 3. (arccos ) = (arccos ) = < 4. (arctg ) = + (arctg ) = + 5. (arcctg ) = + (arcctg ) = +

2 Podstawowe wzory rachunku ró»niczkowego: Je±li funkcje f, g : D R, D R s ró»niczkowalne w punkcie D to funkcje f + g, f g, f g, f g (o ile g( ) ) s ró»niczkowalne w D oraz zachodz wzory: ) (f ± g) ( ) = f ( ) ± g ( ); ) (f g) ( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ); 3) ( ) f ( ) = f ( )g( ) f( )g ( ) g g (, o ile g( ) ) ; 4) (g f) ( ) = g ( f( ) ) f ( ); 5) f (f( )) = f ( ) o ile f ( ). Twierdzenie. (reguªa de L'Hospitala) Je±li funkcje f, g : D R, D R s okre±lone i ró»niczkowalne w jednym ze zbiorów postaci: ) D := (a, ) a < +, ) D := (, b) < b +, 3) D := (a, ) (, b) a < < b + oraz g ( ) dla ka»dego D i istniej granice: f () g () R to istnieje granica g() i g() = f () g (). = g() = {,, + } oraz Uwaga. Powy»sze twierdzenie jest prawdziwe tak»e dla granic jednostronnych oraz niewªa±ciwych (± ). Rodzaj przeksztaªce«wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono± f g = f g lub f g = g f lub f g = g f fg,, f g = e g ln f Równanie stycznej do wykresu funkcji: Je±li funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie to istnieje niepionowa styczna do wykresu funkcji f w punkcie (, y ) postaci: y y = f ( )( ).

3 K t przeci cia dwóch funkcji : Je»eli funkcje f i g posiadaj punkt wspólny (, y ) oraz maj w tym punkcie pochodne wªa±ciwe to ostry k t φ miedzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie wyra»a si wzorem φ = arctan f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ). W przypadku gdy + f ( ) g ( ) = to styczne te s prostopadªe. Uwaga: Ostry k t φ miedzy stycznymi do wykresów funkcji w punkcie mo»emy równie» liczy ze wzoru: φ = β α, gdzie α to k t pomi dzy styczn do funkcji f w punkcie a dodatnim kierunkiem osi O; β to k t pomi dzy styczn do funkcji g w punkcie a dodatnim kierunkiem osi O. Asymptota pozioma: Prosta y = y jest asymptot poziom lewostronn (prawostronn ) wykresu funkcji, je±li ( ), gdzie y R. Asymptota pionowa: Prosta = jest asymptot pionow lewostronn (prawostronn ) wykresu funkcji, je±li = lub = ( = lub = ). + + Asymptota uko±na: Prosta y = a+b gdzie (a, b R, a ) jest asymptot uko±n lewostronn (prawostronn ) wykresu funkcji, je±li [ (a + b)] = ( [ (a + b)] = ), gdzie lub a = a = Badanie przebiegu zmienno±ci funkcji (etapy): ) wyznacz dziedzin funkcji, i b = [ a] i b = [ a]. ) zbadaj podstawowe wªasno±ci funkcji tj. parzysto±, nieparzysto±, okresowo±, punkty przeci cia wykresu funkcji z osiami wspóªrz dnych, 3) wyznacz asymptoty (pionowe, poziome, uko±ne) oraz oblicz granice na kra«cach przedziaªu okre±lono±ci i w otoczeniu punktów nieci gªo±ci (granice jednostronne), 4) zbadaj pierwsz pochodn, a) oblicz pochodn funkcji, b) wyznacz miejsce zerowe-tu mog by ekstrema lokalne funkcji, c) okre±l znak pochodnej wyznaczamy przedziaªy monotoniczno±ci oraz ekstrema lokalne funkcji, 3

4 5) zbadaj drug pochodn ; a) wyznacz miejsca zerowe- tu mog by punkty przegi cia, b) okre±l znak drugiej pochodnej-wyznaczamy przedziaªy wkl sªo±ci i wypukªo±ci funkcji oraz punkty przegi cia funkcji, 6) zbierz otrzymane informacje o funkcji w tabeli 7) sporz d¹ wykresu funkcji. 4

5 . Korzystaj c z denicji obliczy pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) = ; R, b) = sin ; R, d) = ;. e) = 3 4; 3 =, f) = +sin + 5 = ; g) = sin =.. Korzystaj c z denicji pochodnych jednostronnych sprawdzi czy istniej pochodne funkcji: a) = w punkcie = ; b) = w punkcie =. 3. Korzystaj c ze wzorów na pochodn funkcji elementarnych, oblicz: (a) = (b) = (c) = 5 3 (d) = (4 )( + ) (e) = 3 (f) = (g) = (5 5 ) (h) = (i) = + (j) = cos (k) = e +4 (l) = tan (3 4) (m) = ln 3+4 sin +cos (n) = (o) = log + sin cos 5 (p) = 3 + (q) = ln 3 (r) = 5 sin (s) = 3 (t) = arctan(ln ) (u) = 6 arctg 3 (v) = ( ) ln arcctg (w) = ln () = e + (y) = ln arctg e +sin (z) = ln (a) = e 3 sin (b) = e 4 ( 3 + ) 3 sin (c) = e arccos +ln( ) arcctg 3 (d) = log (e + ) 4. Dla funkcji danych wzoram = ln tg, g() = 5 3 oblicz f (), g () oraz f ( π 4 ), g (). 5. Obliczy pochodne : a) = ln b) = c) = 3 d) = (tg ) cos e) = f) = ln g) = log sin h) =. log e Wskazówka: w podpunktach a)-f) wykorzysta metod pochodnej logarytmicznej, w podpunktach g)-h) zamian podstawy logarytmu. 6. Oblicz pochodn a» do 6 rz du z funkcji: a) y = e, b) y = , c) y = cos. 7. Oblicz podane granice korzystaj c z reguªy de L'Hospitala: a) 4, sin 5 sin b), c), sin 3 e) ln i) +( )e m) tg ln, +, f), j) ( sin ),, g) k) n) (e + ), o) 4 e, sin d), 3 h) ln, +, l) ( e ), ( arctg ) p) (tg )tg π π 8. Napisz równanie stycznej do wykresu danej funkcji w podanym punkcie: a) y = + 5, (, y ) = (, 5), b) y = 3 4, ( 3, y ) = (, ), c) y = + 3, gdy y = 3, d) y = + 5; gdy =. 9. Oblicz jaki k t tworzy z osi OX styczna do krzywej y = 3 6 w =.. Obliczy k ty, pod jakimi przecinaj si wykresy funkcji: a) = , g() = + 4; b) =, g() = 4. 5

6 . Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno± poni»szych funkcji: a) = 3 +, b) = , c) = (+), +3 d) = ln e) = 4 f) = e g) = Okre±l przedziaªy wypukªo±ci i punkty przegi cia funkcji: a) = +, b) = , c) = ln, d) = arctg. 3. Wyznacz ekstrema globalne funkcji na odpowiednich przedziaªach: a) = 3 3 +, [, ], b) = + 4, [ 4, ]. 4. Znajd¹ wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji: a) = b) = 4 ln, c) = arctg, d) = Zbadaj przebieg zmienno±ci funkcji: a) = 4 b) = ln( + ), c) = , d) = 3 3, e) = e, f) = ( + ) 4 e. 6. Korzystaj c z ró»niczki funkcji obliczy przybli»one warto±ci podanych funkcji: a) , b) arctg, 5, c) sin 9, e) e,4, f) 3,98 7. Punkt materialny porusza si ze zmienn pr dko±ci. Poªo»enie tego punktu w chwili t jest opisane wzorem (t) = 3 t + 3t. Oblicz przy±pieszenie punktu w chwili, w której jego pr dko± jest równa. 8. Wytrzymaªo± belki o przekroju prostok tnym jest proporcjonalna do dªugo±ci podstawy tego przekroju i proporcjonalna do kwadratu wysoko±ci. Jak nale»y wyci belk o najwi kszej wytrzymaªo±ci z pnia o ±rednicy 3cm? 9. Policzy najwi ksza obj to± walca, którego caªkowita powierzchnia jest równa S. 6