( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb

Transkrypt

1 Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego, przy dcym do zera. Zatem ' ( ) ( + ) ( ) = lim. Przykłady: a) Pocodna unkcji (= w dowolnym punkcie jest równa. b) Pocodna unkcji g(= w punkcie = jest równa, za w punkcie = jest równa 4. c) Pocodna unkcji (= w punkcie 3 =5 jest równa, za w zerze nie istnieje. Jeli unkcja ma pocodn w punkcie, to mówimy, e jest róniczkowalna w punkcie. Funkcj nazywamy róniczkowaln, jeli jest róniczkowalna w kadym punkcie swojej dziedziny. Funkcj, która dowolnemu punktowi z dziedziny róniczkowalnej unkcji przyporzdkowuje pocodn tej unkcji w punkcie nazywamy pocodn unkcji. Przykłady: a) Pocodn unkcji (= jest unkcja stała równa. b) Pocodn unkcji g(= jest unkcja c) Funkcja (= nie jest róniczkowalna. Podobnie jak granice jednostronne deiniujemy pocodne jednostronne, czyli ' ( ) ( + ) ( ) ' + lim ( ) = + lim = ( + ) ( ) Interpretacja geometryczna pocodnej Niec bdzie unkcj cigł w pewnym przedziale I, za punktem wewntrznym tego przedziału. Pocodna skoczona ( ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu unkcji w punkcie o odcitej, czyli w punkcie o współrzdnyc (,( )). Styczna ta ma równanie y ( ) = ( )( ) '

2 gdzie (,y) jest dowolnym punktem stycznej. W szczególnoci, gdy ( )= styczna w punkcie o odcitej jest pozioma. Przykład: Styczn do wykresu unkcji g(= w punkcie o odcitej =jest prosta o równaniu y=-, za w punkcie o odcitej = prosta o równaniu y=4-6. Fizyczny sens pocodnej. Prdko i przyspieszenie w rucu prostoliniowym Jeli oznacza czas, a ( długo drogi, jak ciało przebyło od pocztku rucu do cwili, to ( +)-( ) jest długoci drogi przebytej w czasie od cwili do cwili +. Iloraz rónicowy ( + ) ( ) jest wówczas prdkoci redni rucu w czasie od cwili do cwili +, za pocodna ( ) prdkoci cwilow w cwili. Zwyczajowo zmienn czasu w izyce oznaczamy symbolem t, unkcj drogi s(t), za prdko cwilow v(t). Jeli unkcja drogi jest róniczkowalna, to v ( t) = s' ( t) Analogicznie przyrost prdkoci v(t +)-v(t ) podzielony przez przyrost czasu, nazywamy przyspieszeniem rednim, za przyspieszenie cwilowe, oznaczane zwyczajowo symbolem a(t) wyraa si wzorem. Pojemno cieplna a ( t) = v' ( t). Niec T oznacza temperatur pewnego ciała, a W ilo ciepła, które ciało musi pobra, aby jego temperatura wzrosła od pewnej ustalonej wartoci do wartoci T. Załómy, e W jest unkcj zmiennej T. Iloraz rónicowy ( T + ) W W ( T ) nazywany jest redni pojemnoci ciepln ciała w przedziale temperatur od T do T+. Granica tego ilorazu rónicowego, czyli pocodna unkcji W w punkcie T, jest pojemnoci ciepln ciała w temperaturze T.

3 Pocodne podstawowyc unkcji elementarnyc. Pocodna unkcji stałej: ( C = α ' α. Pocodna unkcji potgowej: ( ) = α W szczególnoci: ( = 3. Pocodne unkcji trygonometrycznyc: ( = ( ) '= ( sin ' = cos ( cos ' = sin tg cos ( '= ( ctg ' = sin 4. Pocodne unkcji cyklometrycznyc: ( arcsin ' = ( arccos + ' = + ( arctg ' = ( arcctg ) ' = 5. Pocodne unkcji wykładniczyc i logarytmicznyc: ( e = e ( a = a ln a ( ln ' = ( log ' = a ln a Reguły obliczania pocodnyc Jeeli istniej pocodne (i g (, to: ( ( + g( = '( + g' ( ( ( g( = '( g' ( ( ( c '( C = dla dowolnej stałej C ( ( g( = '( g( + ( g' ( ( ' = g( '( g( ( g' ( o ile g ( g ( 3

4 Twierdzenie o pocodnej unkcji złoonej Jeeli istnieje pocodna g ( ), u =g( ) oraz unkcja (u) jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu u i ma pocodn (u ), to unkcja złoona F(=(g() ma pocodn w punkcie oraz F' ( = '( u) g' (. Przykłady: ( sin( = cos( ) ( sin ( ) = sin( cos( Twierdzenie o pocodnej unkcji odwrotnej Jeeli y=( jest unkcj odwrotn wzgldem unkcji =g(y) posiadajcej pocodn w punkcie y i g (y ) jest róna od zera, to unkcja y=( ma pocodn w punkcie =g(y ) oraz '( ) =. g' ( y ) Podstawowe twierdzenia racunku róniczkowego Twierdzenie. Jeli unkcja jest róniczkowalna w punkcie, to jest w tym punkcie cigła. Wniosek. Kada unkcja róniczkowalna jest cigła. Uwaga: Istniej unkcje cigłe, które nie s róniczkowalne (np. (= ) Własno 3. Jeli unkcja jest stała na pewnym przedziale (a,b) to dla dowolnego (a,b) (=. Twierdzenie 4. (twierdzenie Rolle a) Jeeli unkcja jest cigła w przedziale [a,b] i róniczkowalna w kadym punkcie przedziału (a,b) oraz (a)=(b), to istnieje taki punkt c (a, b), e (c)=. Twierdzenie 5. (twierdzenie Lagrange a o wartoci redniej) Załómy, e unkcja jest cigła w przedziale [a,b] i róniczkowalna w kadym punkcie przedziału (a,b). Wówczas istnieje taki punkt c (a, b), e '( c) = ( b) ( a) b a Twierdzenie 6. (wnioski z twierdzenia Lagrange a) a) Jeli (= dla dowolnego (a,b), to jest stała na przedziale (a,b). 4

5 b) Jeli unkcja jest róniczkowalna na pewnym przedziale (a,b) oraz (> dla wszystkic (a,b), to jest rosnca na przedziale (a,b). c) Jeli unkcja jest róniczkowalna na pewnym przedziale (a,b) oraz (< dla wszystkic (a,b), to jest malejca na przedziale (a,b). Mówimy, e unkcja okrelona w pewnym otoczeniu punktu ma w tym punkcie maksimum lokalne, gdy dla dowolnego punktu nalecego do pewnego przedziału o rodku w punkcie (<( ). Powiemy, e ma w minimum lokalne, gdy (>( ) dla wszystkic z pewnego otoczenia punktu. Jeli powysze nierównoci s nieostre, to mówimy o maksimum (minimum) niewłaciwym. Maksima i minima nazywamy ekstremami lokalnymi unkcji. Twierdzenie 7 (warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli twierdzenie Fermata) Jeli unkcja jest w punkcie róniczkowalna i ma w tym punkcie ekstremum, to ( )=. Uwaga: Funkcja (= 3 ma w punkcie pocodn i nie ma w tym punkcie ekstremum lokalnego. Twierdzenie 8 (warunek dostateczny istnienia ekstremum). Załómy, e unkcja jest róniczkowalna na pewnym przedziale (a,b) oraz (a,b). Jeli w pewnym lewostronnym ssiedztwie punktu pocodna unkcji jest dodatnia, za w pewnym prawostronnym ssiedztwie tego punktu ujemna, to unkcja ma w punkcie maksimum lokalne. Jeli w pewnym lewostronnym ssiedztwie punktu pocodna unkcji jest ujemna, za w pewnym prawostronnym ssiedztwie tego punktu dodatnia, to unkcja ma w punkcie minimum lokalne. Jeeli unkcja jest róniczkowalna na przedziale (a,b), (a,b) oraz istnieje lim '( + ) '( ) to granic t nazywamy pocodn drugiego rzdu (drug pocodn) unkcji w punkcie i oznaczamy symbolem ( ). Analogicznie deiniujemy pocodne wyszyc rzdów. 5

6 Powiemy, e unkcja cigła, okrelona na przedziale (a,b), jest wypukła w punkcie (a,b), jeli wykres tej unkcji (w pewnym otoczeniu punktu ) znajduje si ponad styczn do wykresu wyznaczon w punkcie (,( )). Funkcj nazwiemy wklsł w punkcie, jeli jej wykres znajduje si pod tak styczn. Mówimy, e unkcja jest wypukła (wklsła) na przedziale (a,b) jeli jest wypukła (wklsła) w kadym punkcie tego przedziału. Jeli unkcja jest wypukła na lewo od punktu, za wklsła na prawo od tego punktu (albo odwrotnie), to mówimy, e ma w punkt przegicia. Twierdzenie 9. Jeeli unkcja jest dwukrotnie róniczkowalna na przedziale (a,b) i druga pocodna jest dodatnia w kadym punkcie tego przedziału, to jest wypukła na przedziale (a,b). Jeli druga pocodna jest ujemna w kadym punkcie przedziału (a,b), to unkcja jest na przedziale (a,b) wklsła. Twierdzenie. (warunek konieczny istnienia punktu przegicia) Jeli unkcja ma w punkt przegicia i jest w tym punkcie dwukrotnie róniczkowalna, to ( )=. Twierdzenie. (warunek dostateczny istnienia punktu przegicia) Jeli unkcja jest w otoczeniu punktu dwukrotnie róniczkowalna, ( )= oraz druga pocodna zmienia znak w punkcie, to unkcja ma w punkt przegicia. Twierdzenie. Jeli unkcja jest w otoczeniu punktu n-krotnie róniczkowalna, wszystkie kolejne pocodne unkcji do rzdu n- s równe zero oraz (n), to ma w punkcie ekstremum lokalne lub punkt przegicia, przy czym jest to a) punkt przegicia, jeli n jest nieparzyste; b) ekstremum lokalne, jeli n jest parzyste (minimum, gdy (n) > a maksimum gdy (n) > ) 6