FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Transkrypt

1 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin y; (f) z(x, y) = ln(x 2 + y 2 1) + x 2 y (g) h(x, y) = x 2 + y 2 25 ; (h) F (x, y) = ln x2 + y x 2 y 2 ; (i) G(x, y) = arc sin y x; (j) H(x, y) = arc sin x 2 + xy; 9 x 2 y 2 ; (k) U(x, y, z) = x + y 1 + z + 2; (l) V (x, y, z) = arc sin(x 2 + y 2 + z 2 2). 2. Naszkicować wykresy podanych funkcji dwóch zmiennych: x2 4 + y2 9 ; (b) g(x, y) = x 2 + y 2 ; (c) h(x, y) = 2 x 2 y 2 ; (d) u(x, y) = 6 2x 3y; 1 (e) v(x, y) = 1 + x 2 + y 2 ; (f) z(x, y) = 4 x 2 ; (g) w(x, y) = e x2 ; (h) F (x, y) = 3 x 2 ; (i) G(x, y) = x 2 + y 2 1; (j) H(x, y) = 1 (x 2) 2 + (y + 3) Zbadać, czy podane ciągi punktów na płaszczyźnie lub w przestrzeni są zbieżne i dla ciągów zbieżnych wskazać ich granice: ( (a) (x n, y n ) = log n+1 3, 1 ) ( ) 1 2 n ; (b) (x n, y n ) = n 2, ( 1)n ; ( ) (c) (x n, y n, z n ) = n n n, n + 1, 2 ; (d) (x n, y n, z n ) = ( ( ) 1 2 n 3 n,, 3 4. Korzystając z definicji granicy funkcji (właściwej lub niewłaściwej) uzasadnić podane równości: (a) (c) (x,y) (1,2) (x,y) (0,0) 2x y x 2 = 0; (b) x + y2 2 + y 2 = 5; (x,y) ( 3,4) 1 x 4 = ; (d) + y4 ln[(x (x,y) (1,0) 1)2 + y 2 ] =. ( 3 2) n ). 1

2 5. Uzasadnić, że podane granice nie istnieją: (a) (c) (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) x ; (b) x + y (x,y) (0,1) 3xy x 2 ; (d) + y2 (x,y) (π,0) 6. Pokazać, że funkcja x 2 y f(x, y) = x 4 + y 2 dla (x, y) (0, 0), 0 dla (x, y) = (0, 0) x 6 y 2 1 ; sin x sin y. jest ciągła wzdłuż każdej półprostej wychodzącej z punktu (0, 0), ale nie jest ciągła w tym punkcie. 7. Wyznaczyć zbiory punktów ciągłości podanych funkcji: { x 2 + y 2 dla x 0, 2 dla x < 0; { x + y dla x > 0, y R, (b) g(x, y) = x 2 + y 2 dla x 0, y R; { (c) h(x, y) = 1 x 2 + y 2 dla x 2 + y 2 < 1, x 2 + y 2 1 dla x 2 + y 2 1; x + y (d) u(x, y) = x 2 y 2 dla x = y, 2 dla x = y. xy + 1 (e) v(x, y, z) = x 2 + z 2 dla x 2 + y 2 1, 1 0 dla x 2 + y 2 = Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach x 0 i kierunkach h : d f dh (x0 ) = (b) u(x, y) = f(x 0 + th) f(x 0 ) = g (0), gdzie g(t) := f(x 0 +th) t 0 + t x 2 + y 2, x 0 = (x 0, y 0 ) = (0, 0), x y x + y, x0 = (x 0, y 0 ) = (1, 1), (c) v(x, y) = 2 x + y, x 0 = (x 0, y 0 ) = (0, 0), (d) w(x, y) = 3 xy, x 0 = (x 0, y 0 ) = (1, 0), (e) F (x, y) = ln(x 2 + y 2 ), x 0 = (x 0, y 0 ) = (1, 1), (f) G(x, y, z) = e z x sin y, x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) = ( 3, 2, 4), ( h = 1/2, ) 3/2 ; h = (3/5, 4/5) ; ( ) h = 2/2, 2/2 ; ( ) h = 3/2, 1/2 ; h = (1, 1) ; h = (1, 2, 3). 2

3 9. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne cząstkowe rzędu pierwszego podanych funkcji we wskazanych punktach: 3 x 3 y 3, w punkcie (x 0, y 0 ) = (0, 0); x 3 + y (b) g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 dla (x, y, z) (0, 0, 0), 0 dla (x, y, z) = (0, 0, 0), w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (0, 0, 0). (c) h(x, y) = x y, w punkcie (x 0, y 0 ) = ( 1, 1); (d) u(x, y) = y sin x, w punkcie (x 0, y 0 ) = (0, π); xy (e) v(x, y) = x 2, dla (x, y) (0, 0), + y2 0 dla (x, y) = (0, 0), w punkcie (x 0, y 0 ) = (0, 0). (f) w(x, y) = w punkcie (x 0, y 0 ) = (0, 0). { 1, dla (x, y) R 2 : xy = 0, 0, dla (x, y) R 2 : xy 0, 10. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane są równe: x 3 + y 3 3xy; (b) g(x, y) = x 3 + 3xy 2 15x 12y; (c) h(x, y) = x 2 + y 2 2 ln x 18 ln y; (d) u(x, y) = (x + y 2 )e x 2 ; (e) v(x, y) = ln x 2 + y 2 x ; (f) w(x, y) = x 2 + y ; 2 (g) F (x, y) = ln(x + x 2 + y 2 ); (h) G(x, y) = x cos y + y sin x. 11. Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego podanych funkcji uwikłanych, określonych równaniami: (a) x 2 + y 2 + z 2 = 1; (b) 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8xz z + 8 = 0; (c) x 2 + y 2 + z 2 2x + 2y 4z 10 = 0; (d) 5z 2 + 4zy + y 2 2y + 3x 2 6x + 4 = 0. 3

4 12. Zbadać, czy mieszane pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji w punkcie (0, 0) są równe: x 3 y xy 3 x 2 + y 2 dla (x, y) (0, 0), 0 dla (x, y) = (0, 0); x 2 y 3 (b) g(x, y) = x 2 + y 2 dla (x, y) (0, 0), 0 dla (x, y) = (0, 0); (c) h(x, y) = x 3 6 8y 3 ; x 3 y 3 (d) u(x, y) = x 4 + y 4 dla (x, y) (0, 0), 0 dla (x, y) = (0, 0). 13. Korzystając z definicji zbadać różniczkowalność podanych funkcji we wskazanych punktach: x 2 y 2, w punkcie (x 0, y 0 ) = (1, 2); xy dla (x, y) (0, 0), (b) g(x, y) = x 2 + y 2 0 dla (x, y) = (0, 0), w punkcie (x 0, y 0 ) = (0, 0). (c) h(x, y) = 3 xy, w punkcie (x 0, y 0 ) = (0, 0); xy 2 dla (x, y) (0, 0), (d) u(x, y) = x 2 + y 4 0 dla (x, y) = (0, 0), w punkcie (x 0, y 0 ) = (0, 0); (e) v(x, y, z) = xy sin z, w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (0, 0, π). 14. Korzystając z reguły różniczkowania funkcji złożonych obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji względem x i y: (a) f(u, v) = e uv, gdzie u(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) i v(x, y) = arctg x y ; (b) g(u, v) = ln u, gdzie u(x, y) = x sin y i v(x, y) = x cos y; v + 1 (c) h(u, v, w) = u 2 v( u w), gdzie u(x, y) = x 2 y 2, v(x, y) = x y i w(x, y) = 2x y. 4

5 15. Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe dla podanych funkcji: (a) (c) 5 f x 4 y, f(x, y) = 4 g xe y ; (b) z x 2 y, g(x, y) = ln(x2 + 2y z); 3 h x y 2, h(x, y) = sin xy; (d) 3 u x y z, u(x, y, z) = x2 y 3 z. 16. Wyznaczyć różniczki zupełne oraz różniczki drugiego rzędu danych funkcji: x 2 2xy + y 2 2y + 1; (b) g(x, y) = ln(x 2 + y 2 ); (c) h(x, y) = x 2 y 4 x 3 y 3 + x 4 y 2 ; (d) u(x, y) = arctg x y. 17. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych: x 3 + y 3 3xy; (b) g(x, y) = xy(1 x y); (c) h(x, y) = x 2 + y 2 2 ln x 18 ln y; (d) u(x, y) = xy + 50 x + 20 y ; (e) v(x, y) = x 3 + 3xy 2 15x 12y; (f) w(x, y) = (2x + y 2 )e x ; (g) z(x, y) = x 3 + 3xy 2 51x 24y; (h) F (x, y) = (x + y 2 )e x 2 ; (i) G(x, y) = 2x 4 + y 4 x 2 2y 2 ; (j) H(x, y) = e (x2 +y 2 +2x) ; (k) U(x, y) = (cos x + cos y) 2 + (sin x + sin y) 2 ; (l) V (x, y) = xy 2 + (47 x y)(x 3 + y 3 ). 18. Wyznaczyć ekstrema warunkowe podanych funkcji, argumenty których spełniają wskazane warunki: x y 2 gdy x + 2y = 1; (b) g(x, y) = 1 x + 1 y gdy x + y = 2; (c) h(x, y) = x 2 y 2 gdy 2x y 3 = 0; (d) u(x, y) = x 2 + y 2 gdy xy = 4; (e) v(x, y) = x + 2y gdy x 2 + y 2 = 25; (f) w(x, y) = x 2 + 3y gdy x 2 + y 2 = 4; (g) z(x, y) = 5 3x 4y gdy x 2 + y 2 = 25; (h) F (x, y) = x 2 y 2 gdy x 2 + y 2 2y = 0; (i) G(x, y) = x 2 + 2y 2 gdy x 2 + y 2 = 2x + 3; (j) H(x, y) = (1 x 2 )(1 y 2 ) gdy x 2 + y 2 = 4. 5

6 19. Znaleźć wartości największe i najmniejsze podanych funkcji na wskazanych zbiorach (ograniczonych i domkniętych): x 2 2y 2 na kole x 2 + y 2 36; (b) g(x, y) = x 2 + 2y 2 12x + 16y na kole x 2 + y 2 25; (c) h(x, y) = x y na kole x 2 + y 2 1; (d) u(x, y) = 1 x 2 2y 2 na kole (x 1) 2 + (y 1) 2 1; (e) v(x, y) = (1 x 2 )(1 y 2 ) na kole x 2 + y 2 4; (f) w(x, y) = x 2 + 2x + y 2 6y na kwadracie x + y 4; (g) (h) (i) z(x, y) = x 2 + 3y 2 + x y na trójkącie ograniczonym prostymi x = 1, y = 1 i x + y = 1; F (x, y) = 2x 3 + 4x 2 + y 2 2xy na obszarze ograniczonym przez krzywe y = x 2 i y = 4; G(x, y) = x 2 + 3y 2 x + 18y 4 na trójkącie ograniczonym prostymi x = 0, y = 4 i x = y; (j) H(x, y) = x 3 + y 3 9xy + 27 na kwadracie D : {0 x 4, 0 y 4}. 20. Wyznaczyć ekstrema lokalne podanych funkcji uwikłanych: (a) x 2 + y 2 xy 2x + 4y = 0; (b) x 3 + y 3 8xy = 0; (c) 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8xz z + 8 = 0; (d) x 2 + y 2 + z 2 2x + 2y 4z 10 = 0. opracowała: dr Swietłana Minczewa-Kamińska Rzeszów, marzec 2011 r. 6