Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Transkrypt

1 V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n 3 4n c) c n = ( )n n d) c n = (n )!(n + )! (n!) V.3 Napisz 3 i 5 wyraz ciągu określonego rekurencyjnie: a) a =, a n+ = 3a n b) a =, a n+ = 3 (a n + ) c) a = 4, a n+ = a n d) a n = 3, a n+ = 3 n a n e) a =, a n+ = a n + ( ) n f) a =, a n+ = n n + a n. V.4* Znajdź wzór na a n dla ciągu określonego rekurencyjnie: a) a =, a n+ = a n + b) a =, a n+ = a n d) a =, a n+ = 3a n + n e) a =, a n+ = a n. c) a =, a n+ = a n + 8n V.5* Ciąg (a n ) określony jest następująco: a) a =, a n+ = a n (n + )a n +. Wyznacz a a n. b) a =, a + a na n = n(n + )a n, dla n. Wyznacz a n. V.6 Wyznacz n-ty wyraz ciagu wiedząc, że suma S n wynosi: a) S n = 3 n n b) S n = n c) S n = n n + V.7 Oblicz sumę wszystkich liczb nieparzystych od do 99. V.8 Zbadaj, czy podany ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Jeśli tak to wyznacz jego różnicę: a) a n = 6n +, b) b n = n n + c) c n = n + d) d n = n + n + V.9 Znajdź wzór na ogólny wyraz ciagu arytmetyczngo a n wiedząc, że: a) a = 5, r = 7; b) a =, r = 5; c) a =, a 3 = 4 ; d) a 3 =, a 3 + a 5 = 4. V.0 Oblicz sumę S n ciągu arytmetycznego (a n ):

2 a) a =, r = 3, n = c) a = 0, r = 5, n = 5 b) a = 00, r =, n = 50 V. Wyznacz ciąg arytmetyczny, w którym: a) S 4 =, S 6 = 4 b) S 4 = a, S 6 = b. V. Ósmy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 37, zaś jedenasty wynosi 5. Oblicz wyraz dwudziesty oraz sumę wyrazów od 5 do 5. V.3 Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Przeciwprostokątna wynosi 30 cm. Oblicz długości przyprostokątnych. V.4 W pewnym ciągu arytmetycznym a = 8, a n = 83, S n = 78. Oblicz n i różnicę r tego ciągu. V.5* Udowodnić, że jeśli liczby dodatnie a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby b + c, c + a, a + b także tworzą ciąg arytmetyczny. V.6* Oblicz jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli suma jego n początkowych wyrazów wyraża się wzorem S n = 3n + 4n. V.7* Utworzyć ciąg arytmetyczny o następujących własnościach: ) pierwszy wyraz ciągu jest równy, a ostatni 3, ) suma wszystkich wyrazów od drugiego do przedostatniego włącznie jest 4 razy większa od sumy dwóch największych z nich. V.8 Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi. Liczby te powiększone odpowiednio o, 3 i 9 utworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby. V.9 Jeśli podany ciąg jest geometryczny, to wyznacz jego iloraz: a), 3, 9, 7,... c), 4, 6, 8,,... e),,,.... b) 5, 5, 5,... d) 3, 3, 6,..., V.0 Wypisz 4 początkowe wyrazy ciągu geometrycznego, w którym a) a =, q = b) a =, q = c) a = 4, q = d) a =, q =. V. Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego, w którym a) a =, a = 9 c) a 3 =, a 4 = 6 d) a 3 =, a 6 = 6. b) a 5 = 8, a 7 = 79 V. Wyznacz ciąg geometryczny (a n ), w którym: { a4 a a) = 4 a + a 3 = 6 b) { a 6 = 4a 4 a + a 5 = 6 V.3 Oblicz sumę S n ciągu geometrycznego (a n ), w którym:

3 a) a =, q =, n = 8 c) a = 5, q = 3, n = 5. b) a =, q =, n = 6 V.4 Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wynosi, a iloraz jest równy 3. Oblicz piąty i siódmy wyraz tego ciągu. V.5 Dane są a 3 = 0 9 i a 5 = 80 dla pewnego ciągu geometrycznego. Obliczyć pierwszy wyraz oraz iloraz 8 tego ciągu. V.6 W ciągu geometrycznym a = i q =. Obliczyć sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. V.7* Udowodnić, że suma odwrotności wszystkich wyrazów skończonego ciągu geometrycznego równa jest sumie jego wszystkich wyrazów podzielonej przez iloczyn pierwszego i ostatniego wyrazu: S = S n a a n, S = V.8* Między liczby 3 i 500 wstawić liczby x i y tak, aby ciąg (3, x, y, 500) był ciągiem geometrycznym. V.9 Dany jest ciąg geometryczny, w którym a + a 3 + a 5 =, a 3 a = 3. Znaleźć ten ciąg. V.30 Znaleźć ciąg geometryczny o pięciu wyrazach, w którym suma trzech początkowych wyrazów wynosi 7, zaś suma trzech końcowych wyrazów jest 8. V.3 Oblicz sumy: n i= a i. a) x + x + x x n c*) x + x + 3x nx n. b) + x + x x n V.3 Znaleźć cztery liczby, z których pierwsze trzy tworzą ciąg geometryczny, natomiast ostatnie trzy ciąg arytemtyczny. Suma liczb skrajnych wynosi 4, suma dwóch pozostałych wynosi. V.33 Dane są dwa ciągi: arytemetyczny i geometryczny. Dwa pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego są odpowiednio równe dwóm pierwszym wyrazom ciągu arytmetycznego. Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest o większy od trzeciego wyrazu ciągu arytmetycznego. Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest o większy od pierwszego wyrazu ciągu geometrycznego. Znaleźć te ciągi. V.34 Liczby x, y, z, u tworzą ciąg geometryczny. Wykazać, że: (x +y +z )(y +z +u ) = (xy +yz +zu). V.35* Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg (a n ) określony nastęująco: a = a =, a n+ = a n+ + a n. Udowodnić, że a n = [( + 5 ) n ( 5 ) n ] 5 dla każdej liczby naturalnej n. V.36* Wykazać, że jeśli ciąg a n = n 5n+, to wtedy ciąg b n = a n+ a n +9 jest ciągiem arytmetycznym. V.37 Wiedząc, że liczby x + y, x + y +, x + 4y + 3x są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zbadaj dla jakich x R ciąg ten jest ciągiem rosnącym? V.38 Dla jakich liczb rzeczywistych x ciąg ( 3 +, x, 3 ) jest ciągiem geometrycznym? V.39 Udowodnij, że jeśli drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią geometryczną wyrazu pierwszego i czwartego, to wyraz szósty jest średnią geometryczną wyrazu czwartego i dziewiątego. V.40 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a n oraz dwie liczby g i ϵ. Które wyrazy danego ciągu spełniają nierówność: a n g < ϵ, gdy: 3

4 a) a n = n, g =, ϵ = 0 3 n b) a n = n n, g = 0, ϵ = V.4* Wykaż, że liczba 0 jest granicą ciągu (a n ): a) a n = n b) a n = ( )n n V.4* Udowodnij, że liczba g jest granicą ciągu (a n ), jeśli: c) a n = ( ) n, q = 0, ϵ = 3 0 n d) a n = n, g = 0, ϵ = 0. c) a n = 3 n + d) a n = n + n a) a n = n n +, g = b) a n = n 3(n + ), g = 3 c) a n = n + n n n +, g =. V.43* Pokazać, że ciąg: a n = + ( ) n nie ma granicy. V.44 Udowodnij twierdzenie o trzech ciągach: Jeżeli lim a n = lim c n = g oraz istnieje liczba δ, taka, że dla każdego n > δ V.45 Znajdź granicę ciągu o wyrazie ogólnym: n a) lim n + 5n 3 b) lim 7 5n n c) lim 3 n 3 d) lim (6n 4n 7 )3 e) lim n + n f) lim 4n + n 3 g) lim n3 + 4n n V.46 Znajdź granicę ciągu o wyrazie ogólnym: n a) lim n 5 b) lim n 0n + 9 n + 8 n 3n + n 5 n 3 c) lim n 5n + 7 n + 9 n ( d) lim + ) n n ( n + 3 ) 3 e) lim n ( n + ) n f) lim 6n n h) lim n n i) lim n 3 3 n+ 0 j) lim 5 4 n n(n+) k) lim n 3 a n b n c n, to lim b n = g. l) lim n(n ) m*) lim n n ( g) lim + 3 n h) lim ( n + 6 n ) n ) n i) lim ( + ) n n j*) k*) lim n(ln(n + ) ln n) lim log l) lim n 5 log 8 n n + n n n

5 V.47 Zbadaj, czy podany szereg geometryczny jest zbieżny. Jeśli tak, to znajdź jego granicę: a) b) c) d) , e) f) V.48 Dla jakich wartości x podany szereg geometryczny jest zbieżny: a) x 3x + 9x b) x + x x V.49 Oblicz granicę: ( 5 a) lim n + 3 n ) 6 n c) + + x + ( + x) +... d) tg x + tg x + tg 3 x ( 7 b) lim n + 4 n ) n. V.50 Oblicz: a) b) c) d) V.5 Podany ułamek okresowy zamień na zwykły: a) 0.() b).3() c) 0.0(80) d).8(8). V.5* W trójkąt równoboczny o boku a wpisanao koło, w to koło wpisano zanowu trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów wpisano koło itd. Oblicz sumę długości promieni i sumę pól otrzymanego nieskończonego ciągu kół. V.53* Dany jest kwadrat o boku a. Kwadrat ten rozcięto na dwa prostokąty o równych polach. Jeden z tych prostokątów rozcięto następnie na kwadraty, z których jeden rozcięto znowu na prostokąty o równych polach itd. Znajdź sumę tych wszystkich pól, korzystając z własności szeregu geometrycznego. (Pokazanie na przykładzie słuszności wzoru na sumę ciągu geometrycznego). V.54 Znajdź granicę funkcji (na podstawie definicji Heinego): a) f(x) = 3x 5x 3 7 w punkcie. b) f(x) = x 4 x w punkcie c) f(x) = x3 7 x 3 w punkcie 3 d) f(x) = x 3 x 7 w punkcie 4 V.55* Znaleźć granicę funkcji f(x) = sin x/x przy x dążącym do zera. Wynik przedstawić w sposób graficzny. Jaki rodzaj nieciąglości posiada ta funkcja w punkcie x = 0? W jaki sposób można zbudować z tej funkcji funkcję ciągłą? V.56 Znajdź granicę funkcji w punkcie a) lim x (x ) c) lim x x 3 + (x 0) 0 x 9 e) lim x 3 x + 3 b) lim x ( 3x + 4x + 7) d) lim x 5 x x + 30 x 5 x + 4x + 4 f) lim x x + 5

6 g) lim sin(5x) x h) lim sin αx sin βx i) lim cos x x j) lim sin x sin 3x V.57 Znajdź granicę funkcji w nieskończoności k) lim 6x x x 3 x x + l) lim x m) lim x x x n) lim tg x o) lim x p*) lim x x x x ctg(πx/) a) lim x 3 x x b) lim x 6x + 9 x + 3 x x + c) lim x x + x + x + 4x 7 d) lim x 3x x + 3 ( e) lim + ) 3x x x ( x f) lim x x ) 5x g) lim x (x3 7x + π) h) lim x (x3 + x 6x + ) x 3 5x + 7x 8 i) lim x 3x 4 6x 0 3x 3 0x 7x + j) lim x x x 3 3x 5 V.58 Zbadać granice jednostronne funkcji w punktach nie należących do dziedziny: a) f(x) = x b) f(x) = x x 4 c) f(x) = x + d) f(x) = x e) f(x) = x x 5 f) f(x) = x + x 5 x + 5 g) f(x) = x h) f(x) = (x + ) i) f(x) = e /x V.59 Zbadać ciągłość funkcji na zbiorze R x + a) f(x) = x +, x, x = b) f(x) = x + x x x, x 0,, x = 0, x = x 3 + x + x + c) f(x) =, x x + 5, x = d) f(x) = x(x + cos x) x + sin x, x 0 0, x = 0 V.60 Oblicz pochodną funkcji: a) f(x) = x + 3 b) f(x) = x + 5 c) f(x) = x π d) f(x) = x + 7 e) f(x) = 5 f) f(x) = e g) f(x) = x h) f(x) = 5x i) f(x) = x j) f(x) = x k) f(x) = x 3 l) f(x) = x m) f(x) = x 3 n) f(x) = x o) f(x) = x 5 p) f(x) = x 3 q) f(x) = 3x r) f(x) = 5x 7 s) f(x) = 0x t) f(x) = 9x x + 4 6

7 u) f(x) = x 3 9x + 7x + 7 w) f(x) = (5 7x) y) f(x) = 8x 3 8x + x + 3 v) f(x) = 49x 70x + 5 V.6 Oblicz pochodną funkcji a) f(x) = tg x b) f(x) = ctg x V.6 Oblicz pochodną funkcji: x) f(x) = (x 3) 3 c) f(x) = sin x d) f(x) = 3 cos x + π z) f(x) = (x + ) 4 e) f(x) = 5 tg x 7 f) f(x) = 3 ctg x + 3 a) f(x) = (x )(x + x + ) b) f(x) = x(x )(x 3) c) f(x) = x e x d) f(x) = x x e) f(x) = x 3 log(x) + x log (x) f) f(x) = x cos x g) f(x) = x sin x + x tg x h) f(x) = (x x + )(sin x + 3 cos x) V.63 Oblicz pochodną funkcji: a) f(x) = x x b) f(x) = x x c) f(x) = x x d) f(x) = x x V.64 Oblicz pochodną funkcji złożonej: a) f(x) = (x + ) 0 b) f(x) = (x 3 + x x ) 5 c) f(x) = sin(x) d) f(x) = cos(3x) e) f(x) = tg(4x) f) f(x) = x + g) f(x) = ln(x + x + ) V.65 Oblicz pochodną funkcji złożonej a) f(x) = tg 8x b) f(x) = ctg 7x c) f(x) = (sin x) e) f(x) = x3 x f) f(x) = x 3 x g) f(x) = 5x 8 6x + e) f(x) = (tg x) 5 f) f(x) = 3(sin x) 4 h) f(x) = i) f(x) = ( 5x 8 ) 3 6x + h) f(x) = x log x x + i) f(x) = x (sin x + cos x) x cos x j) f(x) = xn e x ln(x) ( 6x 5x 9 ) 4 x 7 j) f(x) = (3x 5 7x + 3) 3 7 k) f(x) = (3x 5 7x + 3) 3 7 l) f(x) = 4 4x 3 + x π + x 9 m) f(x) = x x (x + ) h) f(x) = sin(x + 3) i) f(x) = cos(x 3) j) f(x) = tg(x 3 + 7) d) f(x) = (cos x) 3 g) f(x) = (tg x) 7 k) f(x) = ctg(3x 8x + 5) 7

8 V.66 Oblicz pochodną funkcji: ( x + 3 ) a) f(x) = 3x sin x + b) f(x) = [5x cos(x )] c) f(x) = 7x tg d) f(x) = x ctg x e) f(x) = sin x cos x ( x ) x + f) f(x) = (sin x + cos x) g) f(x) = sin x cos(x 3) h) f(x) = sin(x 3) cos(x + 3) i) f(x) = (ctg(x 7)) 3 tg 3 (x 7) j) f(x) = ln x k) f(x) = ln l) f(x) = ln x x x m) f(x) = ln(tg(sin(x + ))) V.67 Oblicz pochodną funkcji: a) f(x) = a x b) f(x) = 5a 3x c) f(x) = 8a 8x d) f(x) = 3a 3x e) f(x) = 3e 3x f) f(x) = 3e 3x6 g) f(x) = x x h) f(x) = x x i) f(x) = x tg x j) f(x) = (sin x) sin x k) f(x) = tg x x V.68* Znajdź równania stycznych do okręgu o środku w punkcie (3, ) i promieniu równym 4 dla punktów okręgu o odciętej x = 4. V.69* Znajdź kąt pomiędzy stycznymi do okręgu o środku w punkcie (4, 7) i promieniu równym 9 w punkcie x = 6. V.70 Znajdź styczną do wykresu funkcji: a) f(x) = x 3x + 5 w punkcie x = c) f(x) = sin x w punkcie x = π b) f(x) = e x 3 w punkcie x = 3 V.7 Znajdź ekstrema funkcji: a) f(x) = 3x 5x + 7 b) f(x) = 5x + 7x + c) f(x) = 3x 4 5x 7 d) f(x) = 5x 3 x +5x+ V.7 Znajdź punkt, w którym prosta styczna w tym punkcie do paraboli y = x jest równoległa do x y + 3 = 0. V.73 Określ przedziały monotoniczności funkcji a) y = x 3 4x + 4x + b) y = x x + c) y = x4 x 3 d) y = x e x e) y = x 3 x + x V.74* Bieguny ogniwa o sile elektromotorycznej E i oporności wewnętrznej r połączono przewodnikiem o oporności R. Zbadać dla jakiej wartości R moc na tej oporności jest największa. V.75* Na danym kole opisać trapez równoramienny o najmniejszym polu. V.76 Oblicz: 8

9 a) dx b) xdx c) (x + )dx d) (x 3x + 5)dx e) (x 3 5x + 4x )dx f) (x 4 x 3 + x 5x 5)dx g) (sin x + cos x)dx h) (cos x 3 sin x + x)dx i) tg xdx j) ctg xdx k) ( 5 x + x ) dx 4 l) x dx 3 m) x 3 dx n) (e x + tg x)dx o) x xdx p) 3 x + 4 x dx x V.77 Oblicz stosując twierdzenie o całkowaniu przez części: a) x sin xdx b) x cos xdx c) xe x dx d) x e x dx e) x 3 e x dx f) x ln xdx g) x 5 ln xdx h) e x sin xdx i) e x cos xdx V.78 Oblicz stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie: a) 8e 4x dx f) 6 sin 7xdx b) (7e 5x 7x + )dx c) sin xdx d) cos 5xdx e) ( ) sin x dx g) e x dx h) 5 ln(3x) 3 dx i) j) x + 9 dx x x + dx k) x dx l) 3x x 3 dx m) 7 8x dx V.79* Oblicz: a) sin xdx b) cos xdx c) 3 sin x cos xdx d) e) f) 3dx 3x 5x 4 (3x + 4 ) x + 7x + dx x x dx g) h) i) j) k) l) cos x dx sin 3 x + cos 3 x sin x sin x cos x + cos x dx x 4 dx x + dx x 6 dx 3x 4 5x 7 x 3 dx 5 9

10 m) 7x 3 3x 5 dx 0