3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
|
|
- Adam Stefański
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają wspólnych dzielników większych od 1. (c) Jeśli x nie jest podzielne przez 2 to nie jest podzielne przez 6. (d) Wykresy funkcji f i g przecinają się. (e) Większa z liczb x, y jest podzielna przez 3. (f) Jeśli w ciągu geometrycznym iloraz jest liczbą większą od 1, to ciąg jest rosnący. (2) Sprawdź, czy są tautologiami zdania logiczne: (a) prawa logiczne podane na wykładzie (nie trzeba wszystkich); (b) [(p q) = r] = [(p = r) (q = r)]; (c) (p = q) [(p q) p]; (d) [(p q) p] = q; (e) (p = q) = [(p r) = q]; (f) (p = q) = [p = (q r)]. 2. Zdania logiczne z kwantyfikatorami (1) Dla poniższych formuł znaleźć uzasadnienie korzystające z tożsamości z wykładu (strona 11), lub wskazać przykład zdań, dla których tożsamość nie jest spełniona (a) ( x : (φ(x) = p)) (( x : φ(x)) = p); (b) ( x : (p = φ(x))) (p = ( x : φ(x))); (c) ( x : (φ(x) = p)) (( x : φ(x)) = p); (d) ( x : (p = φ(x))) (p = ( x : φ(x))); (2) Czy pomiędzy następującymi tożsamościami można wpisać implikację lub równoważność? (a) x : (φ(x) = ψ(x))? ( x : φ(x)) = ( x : ψ(x)) (b) x : (φ(x) = ψ(x))? ( x : φ(x)) = ( x : ψ(x)) 3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość. (a) (A B) A (A B); (b) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C); (c) (A B C) \ (A B) = C; (d) A (A B) = A; (e) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C). (2) Pokaż, że prawdziwe są zdania (a) (A B) (A B = B); (b) (A B) (A \ B = ); (c) (A \ B = B \ A) A = B. 4. Nieskończone operacje na zbiorach (1) Policz + A i oraz + A i, gdzie (a) A i = x : 0 x 1 i + 1 }; (b) A i = x : 10 1 i + 1 < x < 2i2 6i + 1}; (c) A i = x : (i + 1) 2 < x < 2i 2 5i + 5}; 1 (d) A i = x : 1 (i + 1) 2 < x < i + 1 }; (e) A i = x : sin x = i 5}; (2) Policz + A i oraz + A i, gdzie A i podane niżej są podzbiorami płaszczyzny. (a) A i = (x, y) : x 2 + y 2 < i}; (b) A i = (x, y) : x 2 + y 2 > i + 1 }; (c) A i = (x, y) : x y + i}; (d) A i = (x, y) : ix 2 > y}; (3) Sprawdź, czy w podanych poniżej wzorach można wpisać równości lub zawierania. Proszę użyć definicji sumy i przecięcia.
2 (a) A B i? (b) A (c) (d) (e) B i? (A B i ); (A B i ); A i B i? A i B i? A i \ B i? (A i B i ); (A i B i ); (A i \ B i ); 5. Obraz i przeciwobraz zbioru. Własności funkcji. (1) Sprawdź, czy poniższe funkcje są iniekcjami i suriekcjami. Jeśli nie są podane dziedzina i przeciwdziedzina, proszę zastanowić się jakie powinniśmy rozsądnie przyjąć. (a) f : N n n 2 N; (b) f : R x x 3 x R; (c) f : R x x 2 x R; (d) f : Q x x 3 Q; (e) f : R x log(x 2 + 1) R; (f) Funkcja F przyporządkowująca wielomianowi drugiego stopnia jego zbiór pierwiastków. (g) Przyporządkowanie każdemu człowiekowi jego ojca. (2) Sprawdź, czym są podane obrazy i przeciwobrazy. Funkcje bierzemy z poprzedniego zadania zgodnie z numeracją podpunktów. (a) f(0}), f 1 (0}), f 1 (p : p jest liczbą pierwszą}); (b) f(0}), f 1 (0}), f((1, 2)), f 1 ((0, 1)); (c) f([0, 1]), f 1 ([0, 1]); (d) f 1 (x : x > 0}); (e) f(r + ), f 1 (R ), f 1 (R + ); (f) F (ax 2 + bx + c : b 2 4ac = 0}), F 1 (0}}), F 1 (x, x + 1} : x R}); (g) Obraz zbioru mężczyzn, przeciwobraz zbioru mężczyzn. (3) Proszę zastanowić się nad własnościami z wykładu, które nie zostały uzasadnione. Ponadto proszę uzasadnić, że f(f 1 (A)) A i f 1 (f(a)) A i znaleźć przykłady zbiorów i funkcji (np. tych z poprzednich zadań) dla których nie ma równości. Zadania na 13. listopada. 1. Zapisz, używając symboliki matematycznej zdanie: Jeśli różnica liczb całkowitych jest równa 3, to dokładnie jedna z nich jest parzysta. 2. Wskaż (zapisując wzorem lub rysując czytelny wykres) takie funkcje f 1, f 2 : R R, że f 1 spełnia warunek (W 1 ) x R y x: f(x) > f(y) i nie spełnia warunku (W 2 ) x R y > x: f(x) > y, zaś f 2 spełnia (W 2 ) i nie spełnia (W 1 ). (Uzasadnienie niepotrzebne.) 3. Pokaż, że poniższe zdanie jest zawsze prawdziwe (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 4. Sprawdź, czy prawdą jest, że jeśli B C, to B \ A = (C \ A) B. 5. Uzasadnij, że jeśli A B i dla dowolnego i, to również A + i=0 B i. 6. Policz + A i oraz + A i, gdzie A i = x : 1 i x i2 5i + 7}.
3 7. Niech X = [0, 3] oraz f : X x 3 4 x2 3x+3 X. Sprawdź, czy f jest iniekcją i surjekcją. Policz f((1, 3)), f 1 ([ 3 4, 3]). Wskaż zbiór A taki, że f 1 (f(a)) A lub uzasadnij, że taki zbiór nie istnieje. 6. Liczby zespolone. (1) Niech z 1 = 1 + 2i, z 2 = 2 + 2i, z 3 = 3 4i. Policz z 1 z 2, (z z 2 2)/ z 3, z 6 2, z 1. (2) Sprawdź, że (3) Rozwiąż równości z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 /z 2 = z 1 / z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 z + z = 2Re z, z z = 2iIm z. z 2 = 4i, z 2 6z + 10 = 0, z i = 3z i, z2 + 3z + 3 = i, z 2 + (2i 1)z i = 0, 2z + (3 1) z = 5 + 4i, z 3 = (1 + i) 3, z + i = z + i, z 2 = ( z) 2, z 6 = z 4, z 2 = z, (z + i) 2 = (z + i). 7. Liczby zespolone. Ciąg dalszy. (1) Policz (1 + i) 12, (i 3) 7, (2+i)10 (1 2i) 8. (2) Rozwiąż poniższe równości oraz nierówności i zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiory liczb spełniających zależności Im (z(1 i) 2 + 3i) > 1, Re ((z 1 i) 2 ) < 0, Im z 2 z 2, Re z i z + i = 0, z z 2i, arg 1 + i z 2 [0, π/2], Im z 5 0, Re (z + w) 2 > Re z 2 dla w = 1, i, 1 + i. 8. Zagadnienia geometryczne. (1) Niech dane będą punkty na płaszczyźnie A = ( 6, 3), B = (0, 5), C = (4, 2). Znajdź powierzchnię trójkąta, kąty trójkąta (lub ich funkcje trygonometryczne). Znajdź równania trzech prostych zawierających wysokości trójkąta. (2) Znajdź pole sześciokąta o wierzchołkach (1, 3), ( 1, 4), ( 3, 1), ( 1, 2), (0, 5), (4, 2). (3) Porównaj kąty trójkąta w przestrzeni o wierzchołkach ( 2, 2, 0), (3, 2, 2), ( 2, 5, 1). Jakie jest jego pole powierzchni? Znajdź równania prostych zawierających wysokości trójkąta. (4) Rozważmy w przestrzeni punkty (2, 3, 0), ( 1, 0, 2), (3, 1, 0), ( 3, 1, 1), (1, 1, 4). Czym jest figura o wierzchołkach w tych punktach? Jaka jest jej objętość i pole powierzchni? 9. Układy równań. W poniższych zadaniach proszę przećwiczyć wszystkie znane metody (tam, gdzie to możliwe) rozwiązywania układów równań. (1) Rozwiąż układy 7x + 4y = 2, 5x + 3y = 4, x + 2y = 1, y + 2z = 3, z + 2x = 4, x + 3y + 2z = 1, 3x + 4y z = 11, 2x + y 5z = 16,
4 x y z = 1, 3x + y + 2z = 2, x + 3y + 4z = 0, 2x + 2y z + t = 1, x y z + 3t = 2, 3x + 5y 4z t = 0. (2) Wyznacz ile rozwiązań dla jakich p ma układ równań (3) Dla jakich p rozwiązania (x, y) układu równań znaku? 2x + y = p, x 3y = 1, p 2 x 2y = p, y 2x = 1. są liczbami tego samego 1. Policz wartość Zestaw E.10. ( 1 i 3) 7 (2 i)(i + 3) Znajdź zbiór liczb zespolonych spełniających zależność Im (z + i) 2 > Im z Rozwiąż równanie z 2 3z + 3 = i. 4. Znajdź funkcje trygonometryczne kąta pomiędzy przekątnymi równoległoboku ABCD, gdzie A = ( 6, 3), B = (0, 5), C = (14, 7). Jaka jest jego powierzchnia? 5. Znajdź pole powierzchni trójkąta w przestrzeni o wierzchołkach (1, 0, 2), (2, 2, 0), (0, 0, 1). 6. Jaka jest objętość czworościanu o wierzchołkach (1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1)? 7. Rozwiąż układ równań x 2y = 1, y 2z = 5, z 2x = Znajdź taką wartość parametru p, że poniższy układ ma wiele rozwiązań i rozwiąż go px + y + z = 1, (p + 1)x y + 2z = 5, x 4y pz = 2. (1) Policz poniższe granice ciągów ( n + 6 n + 2 n); ( 1 n n n 2 + n ); (1 + 1 n ) n Granice ciagów i funkcji. 2 2 n ; (1 + 2n 3 n + 4 n 5 n ); ( n n); sin(π n 2 + 1); ( 1 n n (n 2 + 4n + 1) n2 2 (n + 2) 2n2 4n+4 ; (n + 4) n n 2 ; n 4 n + 5 (n 2 2n)(ln(n + 1) ln n) ; n n4 + n ); 3 n (2 n ) 2. (2) Policz dla poniższych funkcji granice (granice jednostronne) we wszystkich punktach na końcach przedziałów, na których funkcje są określone (również w ± ). Jeśli granice nie istnieją, uzasadnij to. x 3 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 1 ; sin x sin 2x ; 1 + x 1 x ; 2x x 2 3x + 2 ; x(x 3) tg 3x x 2 ; x 2 + x x 3 x.
5 11. Funkcje ciągłe. Asymptoty. (1) Znajdź wszystkie asymptoty poniższych funkcji: x 3 3x 2, x 2 4 sin x arctg x x 2, sin x 3 sin x 2 x(x + arctg x). x 7 (2) Znajdź takie liczby A, B, żeby funkcje poniższe były ciągłe. x + sin x f(x) = 2 1 dla x > 1 sin x dla x (0, π) x(π x) f(x) = x 2 + Ax + B dla x 1 Ax + B dla x (0, π) 12. Pochodne. (1) Policz dla podanych funkcji pochodne w punktach, gdzie funkcja jest różniczkowalna. tg(x 2 x); ln x x ; x 2 + x x 1 ; 2cos x ; (2) Policz pierwszą, drugą i trzecią pochodną funkcji: x 2 e x ; sin x 2 ; 1 + sin 2 x; e x2 cos x; (x + 1) (x 1). x + 2 x 2. (3) Znajdź styczne do funkcji z poprzedniego zadania w punktach, odpowiednio: (1, e), ( π, 0), (1, 3). (4) Policz pochodne cząstkowe funkcji: f(x, y, z) = x 2 y + xyz 2 xz3 y 2 ; x 1 x y f(x, y) = x + y ; 13. Pochodne. Zastosowania. (1) Znajdź dla poniższych funkcji wszystkie ekstrema lokalne. x 3 x; sin x f(x, y) = xy sin y ; f(x, y, z) = x2y z. x x 2 ; tg(x2 x); x ln x; 2 cos x ; xe 1 x ; x 2 x2. (2) Policz z reguły de L Hospitala granice: ( x x 1 1 ) ; ln x x ln x + (sin 1x + 1 ) ; (3) Znajdź ekstrema lokalne i globalne funkcji: sin x dla x [ π, 0], x 3 3x 2 ; f(x) = x cos x sin x x 0 sin x x x 1 dla x (0, π); f(x) = sin x ( ; 1 + sin 1 x. x + x) x + sin x 2 1 dla x > 1, x 2 + x 1 dla x 1. (4) Znajdź prostą taką przechodzącą przez punkt (2,7), która tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o najmniejszym polu. (5) Znajdź wymiary pojemnika w kształcie walca (puszka), który przy pojemności 1l ma najmniejszą możliwą powierzchnię. (6) Znajdź wymiary pojemnika w kształcie walca z jedną podstawą (coś jak szklanka), który przy pojemności 1l ma najmniejszą możliwą powierzchnię. (7) Znajdź prostokąt i trójkąt wpisane w koło o promieniu 1, które mają największe możliwe pole powierzchni. 14. Badanie funkcji. Zbadaj poniższe funkcje i narysuj możliwie dokładnie ich wykresy. x x 1 x x 2 ; tg(x2 x); x ln x;. 2x
6 15. Zadania przygotowawcze. (1) Policz granice w nieskończoności poniższych ciągów a n = 3 n 3 + 3n n; b n = ( ) n 2 n 3 n 1 1 ; n cn = 5n 6 n 6 n 7 n. (2) Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji 2x 3 3x 2 36x 8 oraz (x 3) 2 e x na przedziale [ 2, 5]. (3) Zbadaj funkcje x ln x ; x 3 1 x ; sin x sin2 x. (4) Znajdź prostokąt wpisany w trójkąt o wierzchołkach A = (0, 0), B = (1, 1) i = (3, 0), którego dwa wierzchołki leżą na odcinku AC, dwa pozostałe na odcinkach AB i BC, i który ma możliwie największe pole powierzchni. (1) Znajdź poniższe granice ( n 4 + 2n 2 + 4n + 8 n 2 1); 6 maja ( ) n 2 n 2 tg 3x ; n 2 + 2n x π sin 5x ; x 0 +(sin x + cos x) 1 x (2) Znajdź asymptoty funkcji f(x) = x2 sin x oraz styczną do wykresu w punkcie (π, π). e 2x (3) Policz drugą pochodną funkcji sin 3x. (4) Znajdź ekstrema lokalne oraz wartość największą i najmniejszą funkcji (x + 1) 4 x 2. (5) Zbadaj funkcję f(x) = x i naszkicuj jej wykres. x 2 1 (6) Znajdź taki punkt (x, y) na odcinku łączącym punkty (3, 0) i (0, 6), aby prostokąt o wierzchołkach (0, 0), (x, 0), (x, y), (0, y) miał możliwie największe pole powierzchni. (1) Policz poniższe całki. 5x 3 + 6x 2 + 7x x sin 2 2x 5x x Całki. I. 3 5x x 3 3 x 5 3 5x x 2 + 3x + 4 2x 2 x 1 e 2x 4 e x + 2 x 4 x 3 + 2x 2 x 2 dx. (2) Policz poniższe całki korzystając ze wzoru na całkowanie przez części. x 2 sin 2x x 3 ln x x sin x cos x e 3x cos 2x dx. (1) Policz poniższe całki. 1 x 2 2x Całki. II. x x 2 2x x 4 16 x 4 x 3 1 dx. (2) Policz poniższe całki korzystając ze wzoru na całkowanie przez podstawienie. 1 + e 2x sin 3x 1 + e4x 2 5 cos 3x (x 2 1) x + 2 x 3 x 2 cos x sin(sin x) dx. 1 x 8 1 2x 2
7 18. Całki. III. Policz poniższe całki korzystając ze wzoru na całkowanie przez podstawienie x 3 1 x e 2x 1 + e4x π (x 2 1) x + 2 cos x sin(sin x) używając podstawień następujących (nie wszystkie są dobre!): t = e x, t = e 2x, t = e 4x, t = sin x, t = cos x, x 2 1 2x 2 dx t = x + 2, t = x + 2, t = x 4, t = x 8, t = 1 x 8, t = 1 x 8, t = x 2, t = 1 2x 2, t = 1 2x Statystyka. (1) Dla podanych poniżej danych policz parametry z wykładu (wartość średnia, mediana, dominanta, kwartyle, odchylenie przeciętne, odchylenie standardowe, współczynniki zmienności...) (a) Dane liczbowe: 1, 2, 3, 2, 3, 4, 0, 5, 1, 4, 3, 4. (b) Szereg rozdzielczy punktowy: (c) Szereg rozdzielczy przedziałowy: wartość liczba danych przedział wartości [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12) liczba danych (2) Samochód poruszał się na przez pewien czas ze średnią prędkością 40 km/h. Następny, dwukrotnie dłuższy, odcinek czasu przebyty został ze średnią prędkością o połowę większą. Droga powrotna zaś przebyta została z prędkością 55 km/h. Jaka była średnia prędkość tam i z powrotem? Jaka byłaby średnia prędkość, gdyby okazało się, że na każdym odcinku średnia prędkość była o 10 km/h większa? (3) Przybliżone gęstość zaludnienia oraz całkowitą liczbę ludności krajów beneluksu przedstawia poniższa tabelka. Jakie jest średnie zaludnienie beneluksu? kraj Belgia Holandia Luksemburg liczba ludności 10 mln 15,5 mln 0,5 mln gęstość zaludnienia 350 os/km os/km os/km Zastosowania całek. (1) Znajdź pole powierzchni figury ograniczonej krzywymi y = 2 x 2, y = x 3 2x, y = x, która zawiera punkt (0, 1). (2) Znajdź pole powierzchni figury ograniczonej krzywymi y = sin x, y = tg x, która zawiera 2 na brzegu punkt (0, 0). (3) Znajdź objętość figur na rysunku. Pierwsza ma podstawę w kształcie trójkąta prostokątnego o bokach 30, 40, 50, wysokości 5, której boczne ściany nachylone są pod kątem 60. Druga ma podstawę w kształcie prostokąta o bokach 60 i 80, wysokość 10 i ściany boczne nachylone pod kątem 45.
8 20. Statystyka, cd. (1) Na podstawie poniższej tabelki podaj stosunek liczby kobiet i mężczyzn w całej populacji Polski. Wiedząc, że średni czas życia mieszkańca Polski wynosi 75,19, w tym kobiet 79,44, znajdź średni czas życia mężczyzn. wiek stosunek płci 0 14 lat 15,5% 1,05 mężczyzn/kobiet lat 71,1% 0,99 mężczyzn/kobiet ponad 64 lata 13,3% 0,62 mężczyzn/kobiet (2) Na podstawie poniższych danych znajdź całkowity i średni wzrost PKB w latach rok wzrost PKB 1,0% 1,4% 3,8% 5,3% 3,5% 6,2% 6,5%
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowona postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.
Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoPRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 2002r 1. Narysować wykres funkcji y = 4 + 2 x x 2. Korzystając z tego wykresu określić liczbę rozwiązań równania 4+2 x x 2 = p w zależności
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoZestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.
Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoZad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4
Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb
Bardziej szczegółowoZad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=
Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy LUTY 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 15 MARCA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 43256232a2 jest
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoOstatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 157994 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) W ciagu arytmetycznym
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoMatura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3
Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowo1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoPRACA KONTROLNA nr 1
XXXV KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 005r. 1. Niech f(x) = x + bx + 5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru b, dla których: a) wykres funkcji f jest symetryczny względem
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY (TECHNIKUM) 4 MARCA 205 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Liczba 3 25 2 : 5
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasy 2 a BS i 2 b BS
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasy 2 a BS i 2 b BS Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoZadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 }
Zadanie 0 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y } oraz B = { (x, y) ; x R i y R i 4x + 4y 4x 5 } Zaznacz osobno zbiór B-A ( ) Niech m N. Oznaczmy zbiory : A m = { (x,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita
Bardziej szczegółowoEgzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.
Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY (TECHNIKUM) 7 MARCA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( 5 Liczba
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowo2. Cena CD ROM-u wraz z 7% podatkiem VAT wynosiła 252 zł 60 gr. Oblicz jego cenę z 22% podatkiem VAT.
Tematy zadań sprawdziany klasa I poziom podstawowy Elementy logiki Określ, czy podane wyraŝenie jest zdaniem logicznym lub formą zdaniową Odpowiedź uzasadnij a) Liczbą przeciwną do liczby jest liczba x
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.
Bardziej szczegółowo2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx
ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 28 LUTEGO Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 07 poziom podstawowy Kod ucznia Nazwisko i imię M A T E M A T Y K A 8 LUTEGO 07 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 70 minut. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron (zadania -34).
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoMatura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy
Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 MARCA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż rysunek, na którym
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ MARCA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczba 5, 4, 4 π jest równa A)
Bardziej szczegółowo