ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

Transkrypt

1 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z + j z + + z = 3. Rozwiąż równania: z + z + 5 = z + z + = z = j z + ( + j)z + j = z + ( + j)z (5 + j) =. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone: j j 3 + j 3+j +j ( + 3 j) ( j) 6 ( 3+j) 3 5. Oblicz pierwiastki zespolone 3-ciego stopnia z liczb: j j + j 3 6. Oblicz: (+j) ( j) ( 3+j) ( j 3) +j +j 3 ( 3+j) 5 ( 3j) ( 3 j) 7 (+ 3j) 5

2 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Rozwiąż równania: z 5 = z = (+j)3 z 5 = (+j)3 j ( j). Następujące liczby przedstaw w postaci wykładniczej: z = j z = 3 j z = 7 + j 7 3. Rozłóż na czynniki o współczynnikach rzeczywistych i zespolonych następujące wielomiany: z z + z + z + z z 3 jz z + j tylko zesp.. Rozłóż na ułamki proste funkcję wymierną: f(z) = z3 +z z+ z g(z) = z z h(z) = z 5j z z+ o współcz. rzecz. i zesp. o współcz. rzecz. o współcz. zesp. 5. Przedstaw w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych rzeczywistych funkcję wymierną: f(x) = x +x+ g(x) = x x 3 x +x x x 3 x x+

3 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5. Dla macierzy [ ] A = B = 3 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw C = [ 5 obliczyć (o ile isnieje): A B B A A + C A B T B + C T A C A T C.. Obliczyć iloczyny A (B C) oraz (A B) C następujących macierzy: [ ] A = B = C =. 3. Obliczyć wyznaczniki: j j + 3 j + j ] Dla jakich wartości parametru x R macierz A = jest osobliwa? x x x 5. Sprawdzić że det(a B) = deta detb na przykładzie macierzy 3 A = B = 3 6. Obliczyć macierze odwrotne A B C dla macierzy: [ ] A = B = 3 C = 3 3

4 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Dane są następujące wektory: A = [ ] B = [ 3] C = [ 3] D = [3 5 6] E = F = 5 7 G = Sprawdzić liniową niezależność układów wektorów: {A B} {C D} {E F } {E F G}.. Wyznaczyć rząd macierzy: 3 6 A = B = C = 3. Rozwiązać równanie macierzowe A X = B [ ] [ ] 5 gdzie A = B = Metodą macierzową i wyznacznikową rozwiązać układy równań: { x + y z = 6 x 3x + y = 6 x + x 3 = 3 x + y = 5 x + y + z = 3 x + x x 3 = x + y + z = x + x + x 3 = x + y + z = x + y z = x y + z = 3x + x x 3 = 3 x x + 3x 3 = x + x + x 3 =. 5. Rozwiązać układy równań: { x + 3y + z = 6 x + y z = x + y z = x + y + z = 3x + y + z = x + y z = x + y + z = 3x + y + z =

5 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 5. Podać warunek rozwiązalności i rozwiazać układy równań: ax y + z = x + y + z = x 3y + z =. Czy wektor v = v = v = ax + y + z = x + ay + z = a x + y + az = a jest kombinacją liniową wektorów v 3 = 3. Spośród wektorów v =? v = v 3 = x + y + az = 3x y + z = ay + z = a 3 v = wybrać trzy wektory liniowo niezależne a pozostały wektor zapisać jako kombinację liniową wybranych wektorów. 6. Znaleźć kosinus kąta między wektorami u = 3 v = 3 oraz wektor w będący rzutem prostopadłym wektora u na kierunek wektora v. 5. Sprawdzić czy wektory u = v = są prostopadłe. Znaleźć 3 wektor prostopadły (jednocześnie) do u i do v. 6. Znaleźć pole trójkata o wierzchołkach A( 8) B( ) C(6 ) oraz długość wysokości h B z wierzchołka B. 7. Dobrać wartość parametru t R tak aby punkty A( ) B( ) C( + t + t + t) były wierzchołkami trójkąta: a) prostokątnego b) równoramiennego. 3

6 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 6. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A( ) B(3 3 5) C( 3 ).. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzacej przez punkt A( ) i prostopadłej do płaszczyzn: π : x y + z = π : x + y + z =. 3. Przez punkt A( ) poprowadzić prostą przecinającą prostą l: x = + t y = t z = + t pod kątem prostym.. Sprawdzić czy proste l l są równoległe jeśli { { x + y z = x + y z 3 = l : x + y 3z = l : x y + z =. 5. Znaleźć odległość punktu P ( ) od prostej l : oraz rzut prostopadły punktu P na prostą l. 6. Znaleźć odległość między prostymi l i l jeżeli: a) l : x = y 3 = z+ 3 l : x = y = z 3 b) l : { x + y + = x z + = l : c) l : x+ = y = z l : { x + y z = y + z + = x = t y = + 3t t R z = + t { y = z + z = x x 7. Znaleźć równanie rzutu prostopadłego prostej l : = z+ na 3 5 płaszczyznę π : x 5y + z = oraz kąt między prostą l i płaszczyzną π. = y 8. Znaleźć objętość ostrosłupa utworzonego przez punkty A( ) B(3 3 5) C( 3 ) D( 3) oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka D.

7 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 7. Obliczyć granice ciągów o podanym wyrazie ogólnym: n 3 n+ n +n+ n+ +3 n+ n sin n! 3n 3 +n+ 3n 3 +n+ n +3 n n n + n + n n + 5 n n + n n 3n 3 + n + ( n n+ ) n ( ) + n ( ) n n n. Obliczyć sumę szeregów: n 7 n +3 n n (n )(n+) 3. Zbadać zbieżność szeregów: n ( n n + n! 5) n n 3 n n! n+ n+ n+( n n ( ) n ( n+ ) n n ( ) 3 n ( n ) n ( n ) n n n n+ n 3 e n ( ) + 5 n n. Stosując kryterium porównawcze zbadać zbieżność szeregów: n(n+) 3 n (n+) n n= 3n+ n + n n n n+ 3n 3 +n+ n+ sin ( ) n n 5. Zbadać zbieżność szeregów naprzemiennych: ( ) n ( ) n n+ ( ) ( n n+ n(n+) 3n+ 3n+ ( ) n+ n n+ cos[(n )π] n+ ( ) n sin ( ) n ( ) n+3 n 5 n ( ) n n+( ) n n ( ) n ) n

8 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 8. Wyznaczyć przedziały zbieżności następujących szeregów potęgowych oraz zbadać zbieżność na krańcach przedziału: nx n (x+) n 9 n (x ) n n n n n! 3 n x n x n +n n 3 n (x ) n ( ) n + n x n. n. Dla jakich x R szereg (x 3x + ) n jest zbieżny? 3. Znaleźć obszar zbieżności szeregów: n 3 n (x ) n n+ (n+) x n n+ (x 3) n. ( ) n n 3 n (x 5) n. Przedstawić w postaci szeregu potęgowego następujące funkcje oraz wyznaczyć obszar zbieżności poszczególnych szeregów: f(x) = x g(x) = h(x) =. x 3+x x 5. Nie używając pochodnych obliczyć granice funkcji: lim x+ cos x lim lim x x x x ( lim ) 3 x x x 3 x π cos x sin x cos x ( ) lim x 3 x. x x + 6. Wyprowadzić wzory na pochodne funkcji: arccos x arctg x arsinh x.

9 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 9. Obliczyć pochodne następujących funkcji: f(x) = sinh 3x g(x) = x cosh x h(x) = x arctg x p(x) = arcsin(cosx) q(x) = x e x r(x) = x ln x u(x) = arcsin x x v(x) = x ln x w(x) = sin(ln(arctg x)). Obliczyć granice: lim x ln x x + lim x cos x x cos x lim x e x x arctg x arcsin x lim x x x( cos x) lim x + xsin x lim( + sin x) x x lim x e 3x x (ln x) lim x x lim x( π arctg x) lim x x +(cos x) x lim + x) x +(ex x x arcsin x lim x x 3 cos x 3. Zbadać przebieg zmienności i narysować wykres funkcji f(x) = xe x.. Zbadać istnienie i znaleźć asymptoty funkcji: f(x) = x +x x g(x) = x + x h(x) = ln( + ex ).

10 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Obliczyć całki nieoznaczone: ( x+)(x ) 5x +3x+ x (+tg x) ( x sin x + 3ex).. Stosując wzór na całkowanie przez części obliczyć: x ln x x ln x x arctg x x cos x x 3 e x sin xe 3x. 3. Stosując odpowiednie podstawienie obliczyć: sin 5x (a R) x x a x x +x ln x tg x x + e x xe x. x e x +. Obliczyć całki: x 3 sin(x ) e x arctg x arcsin x x (+x ) (+x ) sin 3 x. 5. Obliczyć całki z funkcji wymiernych: x+5 x+3 x 5 +x 3x x +5x 7 (x )(x+5) x 6 x +x x x+ x 3 (x 3) x 3 +x +x+7 x +x 3 +5x +8x+ x. (x +x+) 6. Obliczyć całki z trygonometryczne: cos 5x cos x sin 3x cos 5x sin x cos x sin x +cos x sin x cos 3 x. sin x cos x+5 7. Obliczyć całki z funkcji niewymiernych: x x + x x+3 x x x +x+5 x+ x +x+ e x +e x +e x 3 x x sin x. cos x+ cos x+

11 ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5. Obliczyć całki oznaczone: π x sin x π cos x 3 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw x + x x + R R 3 x arctg x R x.. Bez obliczania całek uzasadnić równość następujących całek oznaczonych: k π sin x = k π cos x = k π k = Obliczyć pole figury ograniczonej liniami: a) y = x y = 3x b) parabolami y = x x 6 i y = x + 5x + c) y = ln x oraz prostymi y = i x = e.. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX wykresu funkcji: a) y = x x [ ] b) y = sin x x [ π]. 5. Obliczyć długość łuku krzywej zadanej równaniami: a) y = x x [ ] b) y = 3 x x x [ 8] c) x = R cos t y = R sin t t [ π] { x = a cos d) t y = a sin t [ t π] a > { x = r(t sin t) e) t [ π] r >. y = r( cos t) 6. Obliczyć całki niewłaściwe: e x sin x e x a ln x x x (x+)x / x(ln x) a x x + x(ln x) a arctg x x +. x +x+9