ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

Transkrypt

1 ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol

2 Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego 7 6. Granica funkcji 9 7. Ciągłość funkcji 8. Pochodna funkcji 9. Reguła de l Hospitala 0. Zastosowania rachunku różniczkowego. Liczby zespolone 6

3 . ELEMENTY LOGIKI. Elementy logiki Zadanie.. Ustalić które ze zdań są zdaniami w sensie logicznym. Podać wartość logiczną tych zdań. () Symbolem Lublina jest koziołek. w= () Obecnie w Lublinie mieszka dwa miliony osób. w=0 () Dwa plus dwa jest równe cztery. w= (4) Czy dwa plus dwa wynosi cztery? (5) Czy jest to zdanie w sensie logicznym? (6) Ucz się pilnie! (7) Jutro będzie padał deszcz. (8) Krowa jest zwierzęciem parzystokopytnym. w= (9) Okrąg jest brzegiem koła. w= (0) π jest liczbą wymierną. w=0 Zadanie.. Sprawdzić czy następujące formuły są prawami rachunku zdań: () (p q) ( p = q) N () (p = q) = [(r q) = (r p)] T () (p = q) = ( q = r) N (4) [(p q) = r] [p (q = r)]} = (p q r) N (5) [(p q) (p = q)] = (q = p) N (6) [(p = q) (q = p)] = (p q) N (7) [(p q) = r] = [(p r) = ( q)] T (8) [(p = q) (r = q)] = [(p r) = q] T (9) [(p = q) p] = q T (0) [(p q) (r = q)] [(p r) = q] N Zadanie.. Napisać zaprzeczenia następujących zdań lub form zdaniowych: () > 0 <. () 0. () Dziecko założyło lewą i prawą rękawiczkę. (4) Tu możemy skręcić w lewo lub w prawo. (5) < 5 < 5. (6) Jeżeli pada deszcz to idę pod parasolem. (7) + = 0 ( = = ). (8) W = P = R = 0. (9) Jeżeli liczba jest podzielna przez 9 to jest podzielna przez. (0) Okrąg jest bryłą wtedy i tylko wtedy gdy jest kwadratem liczby rzeczywistej. Zadanie.4. Sprawdzić że formuła (p q) ( p q) jest tautologią. Zastosować tę formułę do poniższych form zdaniowych. () + = 0 ( = = ). () Liczba dzieli się przez 6 wtedy i tylko wtedy gdy dzieli się przez i dzieli się przez. > 0 [( > > ) ( < < )] () Zadanie.5. Wskazać warunki konieczne oraz warunki dostateczne. Napisać implikację odwrotną przeciwną i przeciwstawną do danej: () Jeżeli liczba dzieli się przez 4 to jest liczbą parzystą. () Jeżeli koło ma promień o długości to jego pole wynosi 4π. () Jeżeli kąty wpisane są oparte na tym samym łuku to mają równe miary. (4) Jeżeli czworokąt jest kwadratem to jest rombem. (5) Jeżeli liczba pierwsza jest większa od to nie jest jej dzielnikiem.

4 . FUNKCJE ZDANIOWE I KWANTYFIKATORY. 4. Elementy rachunku zbiorów Zadanie.. Dane są zbiory A = R : } i B = R : }. Znaleźć zbiory A B A B oraz A \ B. Zadanie.. Dane są zbiory A = R : } i B = R : > }. Zaznaczyć zbiory (A B) A B oraz A \ B. Zadanie.. Dane są zbiory A = R : } i B = R : + A B oraz A B. Zadanie.4. Dane są zbiory A = R : } i B = R : A B oraz A B. > }. Znaleźć zbiory < }. Znaleźć zbiory Zadanie.5. Dane są zbiory A = ( y) R : y+ } i B = ( y) R : y +0}. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.6. Dane są zbiory A = ( y) R : y 4} i B = ( y) R : y }. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.7. Dane są zbiory A = ( y) R : y } i B = ( y) R : + y 4}. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.8. Dane są zbiory A = ( y) R : y sin } i B = ( y) R : > 0 y log }. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.9. Wiadomo że B = R : ( )}. Podać przykład zbioru A spełniającego równość: A B = R : ( 4) ( 4 (4 )}. Zadanie.0. Wiadomo że A = R : ( 4 0 )}. Podać przykład zbioru B dla którego prawdziwa jest równość: A B = R : ( ) ( ( 0) ( )}. Zadanie.. Ocenić wartość logiczną zdań:. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. () R( > 0 sin < 0) w = 0 () y N( y N) w = () t N(t + t = 0 t < t ) w = 0 (4) z R(z < z z + > 0) w = (5) (a + a 0) w = a R + (6) R( > 0 cos > 0). w = Napisać zaprzeczenia powyższych zdań. Zadanie.. Ocenić wartość logiczną zdań: () ( + y) = + y + y w = R y R () y = w = 0 R y R () (m > n m n) w = m N n N (4) R (5) R + ( + y > n y < n) w = y N n N y R + (y > y > ). w = Napisać zaprzeczenia powyższych zdań.

5 . FUNKCJE ZDANIOWE I KWANTYFIKATORY. 5 Zadanie.. Określić wartość logiczną poniższego zdania. Odpowiedź uzasadnić. (a ) + (a + ) + < 0. a R R Zadanie.4. Określić wartość logiczną poniższego zdania. Odpowiedź uzasadnić. (b + ) + (b ) + b > 0. b R R Zadanie.5. Przekształcając wyrażenie (y 0 = y y 0) y wprowadzić kwantyfikator o zasięgu ograniczonym oraz ocenić wartość logiczną otrzymanego zdania. Zadanie.6. Zbadać dla jakich zbiorów A X R prawdziwe jest zdanie log a < 0. a A X w = 0 w = (A = ( + ) X = (0 )) (A = (0 ) X = ( + )) Zadanie.7. Zbadać dla jakich zbiorów A X R prawdziwe jest zdanie a <. t T R a A X (A = ( + ) X = ( 0)) (A = (0 ) X = (0 + )) Zadanie.8. Wyznaczyć zakres T zmienności zmiennej t tak by prawdziwe było zdanie ( sin + < t + t ). T = ( ) ( + ) Zadanie.9. Zapisać przy użyciu kwantyfikatorów oraz ocenić wartość logiczną poniższych zdań. Odpowiedź uzasadnić. () Suma dowolnych dwóch liczb rzeczywistych jest większa od ich różnicy. () Iloczyn pewnych dwóch liczb rzeczywistych jest mniejszy od ich ilorazu. () Istnieją liczby nie będące kwadratem żadnej liczby rzeczywistej. (4) Nie istnieje liczba rzeczywista której kwadrat byłby mniejszy od zera. (5) Układ równań: + y = + y = nie ma rozwi azań. (6) Liczby 5 i 7 nie mają wspólnego dzielnika. Odpowiedzi: () ( + y > y) w = 0 np. liczby i R y R () (y < y ) w = np. liczby i 4 R y R () ( y ) w = np. liczba R y R (4) R( < 0) w = (5) R ( + y = + = ) w = 0 y R (6) Z( 5 Z 7 Z). w = 0 wspólnym dzielnikiem tych liczb jest

6 4. FUNKCJA ZŁOŻONA I ODWROTNA 6 4. Funkcja złożona i odwrotna Zadanie 4.. Dana jest funkcja f określona warunkiem f() =. Wyznaczyć f f oraz f f f. Zadanie 4.. Dane są funkcje f oraz g określone przy pomocy warunków f() = 4 oraz g() = + 4. W jakim zbiorze określone są funkcje: f g oraz g f. Zadanie 4.. Dane są funkcje f i g określone przy pomocy warunków f() = oraz g() =. Wyznaczyć o ile istnieją następujące funkcje złożone: f g g f g g f f f. Zadanie 4.4. Dane są funkcje f g i h określone wzorami f() = log g() = oraz h() =. Dostosowując ewentualnie dziedziny wykonać wszelkie możliwe złożenia wszystkich funkcji f g i h. Dokonać ponadto następujących złożeń: g f g h h h f f f. Zadanie 4.5. Z jakich funkcji elementarnych złożone są funkcje określone wzorami: () f() = log( + ) () f() = cos () f() = + (4) f() = 5 (+)? Zadanie 4.6. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f określonej wzorem:. () f() = + f () = + () f() = 5 f () = 5 () f() = + f () = (4) f() = +4 f () = 4+ + (5) f() = + f () = log (6) f() = + f () = log (7) f() = log 5 ( + 5) dla > 0 f () = 5 5 (8) f() = log 5 ( + 5) dla < 0 f () = 5 5 (9) f() = + f () = log (0) f() = 4 log (+4) dla > f () = log 4 () f() = sin dla π 6 π 6 f () = arc sin () f() = cos dla ( ) 0 π. f () = arc cos Zadanie 4.7. Obliczyć: () arc cos π () arc tg π 4 () arc sin ( ) π 6 (4) arc ctg ( ) π 4 (5) arc cos ( + arc tg ( ) (6) arc cos ) + arc tg 4 arc sin + arc ctg ( tg π 4 ) arc sin ( sin π Zadanie 4.8. Wyrazić bez użycia funkcji trygonometrycznych: 7 6 π ). 9 4 π () cos(arc sin ) () tg(arc sin ) () ctg(arc cos ) (4) cos(arc tg ) + (5) sin(arc ctg ) + (6) ctg(arc tg ). Zadanie 4.9. Niech f : R R oraz g : R R będą funkcjami określonymi wzorami: (a) f() = + dla < oraz g() = + + dla

7 5. GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO 7 dla < (b) f() = dla + dla (c) f() = dla > Utworzyć g f. oraz dla g() = + dla 0 > 0 oraz + dla g() = + dla < Granica ciągu liczbowego Zadanie 5.. Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać że () liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = n n () liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 7 n 6n () liczba 0 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = n 5n (4) liczba 4 7 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 8 n +4 n (5) liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 8n n (6) liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 5n 5n +. Zadanie 5.. Wykazać że ciągi o wyrazach ogólnych () a n = n () b n = n () c n = log n są zbieżne do +. Zadanie 5.. Wykazać że ciągi o wyrazach ogólnych () a n = n () b n = n () log 0 n są zbieżne do. Zadanie 5.4. Wykazać rozbieżność ciągów o wyrazach ogólnych () a n = ( ) n+ () b n = cos n π () c n = (cos π) 5n+ (4) d n = n ( )n. Zadanie 5.5. Obliczyć następujące granice: 0n () lim n n () lim n 7 () lim (4) lim n + 6 n 4n + 0 n n + (5) lim (6) lim (7) lim (n ) 99 (n n + ) 00 0 (n ) 50 (n ) 5 (n + ) 49 (n )(n 4 )(n 5 + ) (n 6 + 7)(n + )(n + 7) (8) lim ( n + 6n + ). Zadanie 5.6. Obliczyć następujące granice: () lim ( n + 4 n) 0 () lim ( n n + 4 n + 8n ) 9 () lim ( 4n 5n + 4 n) 5 4 (4) lim ( n n n) 0 (5) lim ( n n + n) (6) lim (7) lim 4 n4 + n n 4 n + n n n + 7n n Zadanie 5.7. Obliczyć następujące granice: 5 n 00 () lim 00 5 n+ 5

8 5. GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO 8 n + n+ () lim n + 4 n 0 () lim (4) lim (5) lim (6) lim (n ) (n + ) n n n n ( + ) ( )n (n + )! n! n (n + )! + n!. + Zadanie 5.8. Obliczyć następujące granice: ( () lim + n e 6 ( n) () lim 4 ) n ( n n + ) n+ () lim e n + ( n + n + ) n (4) lim e 4 n n + ( n + n + ) n (5) lim + n n + ( n + n + ) n + (6) lim 0 n n + ( 5n ) n + 7n + +n (7) lim 5n + + n + ( n ) n+5 + 6n + (8) lim n. e + n + 6 Zadanie 5.9. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice następujących ciągów: () a n = n n + sin n () b n = n n + 5 n + 7 n 7 () c n = n + n sin(n ) 0 (4) d n = n + n cos n π n (5) e n = n + + n n + n (6) f n = n + + n n n + n Zadanie 5.0. Obliczyć (o ile istnieją) następujące granice: log( n + n + 6 n ) () lim log ( n 4 () lim n4 + n n) n + n () lim + n ( n4 + n n (4) lim 8n 5n 8n + n 4) 7 ( n + 4 ) n + (5) lim e n + n (6) lim n + n + ( 5n + ) n (7) lim e 5 5n + 6 n + n + n (8) lim n n + n + 6 n n 5n + (9) lim (0) lim n ln n + 0n ( ) n + n

9 n+ 5 n () lim () lim (6) lim 6. GRANICA FUNKCJI 9 n + 7 n n + n + n n n + n n () lim n + n + ( (4) lim + n n + cos nπ ) nie istnieje (5) lim 4 n ) ( + ( ) n + ( ) n(n+) nie istnieje n + ( ) n (7) lim 5 n 0 ( n ) + n + n + (8) lim n e + n + n (9) lim + ( )n n n (0) lim n ( ) n n () lim 0 n + 7 n + ( ) n () lim n nie istnieje () lim n [ln(n + ) ln(n + )] Granica funkcji Zadanie 6.. Naszkicować przykładowe wykresy funkcji spełniających warunek: () lim f() = 7 f() = () lim () lim f() = (4) lim f() = + (5) lim f() = 0 (6) lim f() = + + (7) lim f() = 4 Zadanie 6.. Obliczyć następujące granice: () lim ( ) () lim 8 () lim ( + )e (4) lim 0 cos (8) lim f() = 0 (9) lim f() = + 0 (0) lim f() = () lim f() = () lim f() = + () lim f() = + (4) lim + f() =. ( (5) lim 7 ) 7 ( (6) lim + ) (7) lim (8) lim. + 0 Zadanie 6.. Obliczyć następujące granice:

10 6. GRANICA FUNKCJI 0 5 () lim () lim () lim (4) lim (5) lim 8 5 (6) lim 0 (7) lim 6 (8) lim ( ) + Zadanie 6.4. Sprawdzić czy istnieją następujące granice: () lim nie istnieje () lim ( ) + () lim nie istnieje (4) lim ( ) + (5) lim (6) lim ( + nie istnieje ) (7) lim e nie istnieje 0 (8) lim nie istnieje 0 ( ) (9) lim 9 nie istnieje 7 cos (0) lim nie istnieje 0 sin () lim nie istnieje 4 () lim e cos () lim 0 + ln. 0 Zadanie 6.5. Obliczyć następujące granice: sin + sin () lim π 6 sin sin + cos sin () lim π 4 cos + cos () lim 0 sin 8 sin 7 (4) lim 0 7 tg 5 (5) lim 0 tg 5 Zadanie 6.6. Obliczyć następujące granice: (6) lim ( ) tg π π ( ) (7) lim sin + + cos (8) lim 0 4 tg( π (9) lim ) π cos sin( ) (0) lim. ln( + ) () lim 0 ( ) + + () lim e + + () lim ( sin ) e 0 (4) lim (cos ) sin 0 (5) lim e 0

11 7. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI (6) lim + sin (7) lim + 0 sin 0 sin(sin ) (8) lim 0 sin sin α (9) lim. cos α α α Zadanie 6.7. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej wzorem: () f() = ( ) () f() = 4 + () f() = 4 (4) f() = + (5) f() = + (6) f() = sin (7) f() = + sin. Naszkicować przykładowe wykresy funkcji mających takie asymptoty. 7. Ciągłość funkcji Zadanie 7.. Zbadać ciągłość funkcji określonych poniższymi wzorami: + + dla 0 cos π () f() = (7) f() = dla + dla > 0 dla > () f() = + dla R \ } dla dla } (8) f() = log + dla < < dla 0 dla 0 cos () f() = dla 0 < e dla 0 + dla > (9) f() = dla 0 < sin( ) dla 0 4 dla > 5 sin(+) (4) f() = dla 0 < < 6 dla < dla 5 dla = ( + ) (5) f() = + 6 dla R \ } (0) f() = + dla < 0 ( ) 5 dla } log + dla 0 < (6) f() = 9 dla < 0 i arc ctg dla > dla 0 lub = + Zadanie 7.. Dla jakich wartości parametrów a b c poniższe funkcje są ciągłe na całym zbiorze liczb rzeczywistych: dla () f() = a dla sin a () f() = dla 0 a dla = dla R \ } () f() = ln a ln a dla = sin b dla = sin a dla < 0 (4) f() = + dla 0 < c dla = +(b ) b dla > Zadanie 7.. Wykazać że poniższe równania mają rozwiązania:

12 8. POCHODNA FUNKCJI () + = 0 () 5 + = 0 () = (4) log( + ) = (5) sin + = (6) e = (7) arc tg ( )( ) + arc cos ( ) = 0. Zadanie 7.4. Wykazać że dla a > 0 i b > 0 równanie pierwiastek w przedziale ( ). a + b Zadanie 7.5. Wykazać że funkcja określona wzorem f() = + ma miejsce zerowe w prze- ( ) dziale ( + ). = 0 ma przynajmniej jeden Zadanie 7.6. Uzasadnić że funkcja o równaniu f() = ln + w przedziale e przyjmuje wartość π. Zadanie 7.7. Wykazać że funkcje f oraz g określone przy pomocy równości f() = e oraz g() = mają punkt wspólny. Zadanie 7.8. Wykazać że funkcje f oraz g określone przy pomocy równości f() = ln oraz g() = mają punkt wspólny. 8. Pochodna funkcji Zadanie 8.. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () f() = sin () f() = ln + () f() = cos( ) (4) f() = +. w dowolnym punkcie należącym do jej dziedziny. Zadanie 8.. Obliczyć f () jeśli () f() = () f() = arc cos () f() = + e (4) f() = arc tg (5) f() = sin (6) f() = tg + + ctg π 4 (7) f() = cos + (8) f() = e e + (9) f() = ln e (0) f() = ln () f() = + 4 ln () f() = cos ( + ) + () f() = + 8 ctg ( + ) + cos( + ) (4) f() = + arc tg( ) (5) f() = ln( ) + (6) f() = arc cos 4 4 ( + ) ln + (7) f() = arc ctg (8) f() = sin (9) f() = (sin ) cos (0) f() = (ln ). 4 + Zadanie 8.. Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f w punkcie 0 gdy () f() = 0 = 0 () f() = 0 = () f() = tg 0 = π 8 (4) f() = tg π 0 = (5) f() = ln( + 4 ) 0 = 0 (6) f() = e 0 = 0 (7) f() = arc tg( ) 0 =.

13 0. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO Zadanie 8.4. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością e + dla < () f() = + dla < 0 sin dla 0 < π. sin dla π < < 0 () f() = dla 0 < dla. ( + ) dla () f() = dla < 0 cos ( ) + π dla 0 < < π. Zadanie 8.5. Dobrać wartości parametrów a oraz b tak aby funkcja f : R R określona warunkiem a + dla < f() = dla < + + b dla była ciągła w całym zbiorze R. Czy f może być różniczkowalna w R? Zadanie 9.. Obliczyć następujące granice: ( () lim ) ln ( ) () lim ctg π + ( () lim 0 ) 0 sin π tg (4) lim ( ) e 4 π (5) lim ctg 0 (6) lim ln 0 0 arc tg (7) lim 0 tg 9. Reguła de l Hospitala (8) lim (tg ) tg π 4 (9) lim π Zadanie 9.. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej równością: () f() = ( )e () f() = ln ( ) e ( π ) tg (0) lim (e + sin ) e 0 e () lim + + () lim ln () lim ln( ) ln( ). 0 + ( ) () f() = ln + e (4) f() = e. 0. Zastosowania rachunku różniczkowego Zadanie 0.. Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f zdefiniowanej równością () f() = + 9 na przedziale () f() = sin () na przedziale π π () f() = + cos na przedziale π π (4) f() = e (+) na przedziale (5) f() = na przedziale ( (6) f() = e na przedziale ( (7) f() = na przedziale e

14 0. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO 4 (8) f() = ln na przedziale e (9) f() = ( ) na przedziale. Zadanie 0.. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji f określonej wzorem + < f() = = 7 + > na przedziale 4. Zadanie 0.. Zbadać monotoniczność funkcji f zdefiniowanej równością: () f() = ln ( + ) () f() = ln ( + ) ln ( + ) () f() = log ( ++) (4) f() = log ( +). Zadanie 0.4. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji: () f() = 4 + () f() = ( ) () f() = (4) f() = sin (5) f() = ( ) (6) f() = 4 (7) f() = (8) f() = + (9) f() = ln (0) f() = e () f() = ln( + ) () f() = e () f() = ln (4) f() = ln ln. a+b ( )( 4) Zadanie 0.5. Funkcja f określona wzorem f() = osiąga w punkcie o odciętej = ekstremum lokalne równe. Wyznaczyć a i b oraz rozstrzygnąć czy jest to minimum czy maksimum lokalne. Zadanie 0.6. Wyznaczyć ekstrema funkcji f określonej wzorem f() = log ( +). Zadanie 0.7. Napisać równanie stycznej do krzywej y = + 5 wiedząc że współczynnik kierunkowy tej stycznej jest równy. Zadanie 0.8. W którym punkcie prosta styczna do paraboli y = jest równoległa do prostej y = +? Zadanie 0.9. Pod jakim kątem przecinają się krzywe o równaniach f() = + oraz g() =? Zadanie 0.0. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f danej wzorem f() = (+) dla R \ }. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej 0 =. Zadanie 0.. Na wykresie funkcji (a) f() = (b) f() = sin wyznaczyć punkty w których styczna jest równoległa do prostej y =. Zadanie 0.. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem f() = ( ) dla < ( ) dla na przedziale 0 4.

15 0. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO 5 Zadanie 0.. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ln f() = + dla < ( ) dla na przedziale. Zadanie 0.4. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ln + f() = dla < ( 4) dla na przedziale 4. Zadanie 0.5. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ( + 4) f() = dla ( ) dla > na przedziale 4. Zadanie 0.6. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ( + ) f() = dla 0 dla > 0 na przedziale 4. Zadanie 0.7. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: ( + ) () f() = + () f() = 4 () f() = 8 (4) f() = + (5) f() = + (6) f() = (7) f() = ( ) ( + ) (8) f() = ( ) ( + ) (9) f() = + (0) f() = () f() = ln () f() = e () f() = ln( + ) (4) f() = e (5) f() = ln (6) f() = ln ln. Zadanie 0.8. Walec o promieniu i wysokości h oraz półkula o promieniu złączone podstawami tworzą bryłę o objętości V. Dla jakiego pole powierzchni tej bryły jest najmniejsze? Zadanie 0.9. Koszt eksploatacji statku pełnomorskiego w ciągu godziny pływania wyraża się wzorem k(v) = a+bv gdzie a i b są pewnymi stałymi dodatnimi obliczonymi dla każdego statku oddzielnie natomiast v jest prędkością statku wyrażoną w kilometrach na godzinę. Dla jakiej prędkości v statek przepłynie dowolną drogę s przy najmniejszych kosztach? Zadanie 0.0. Znaleźć wysokość stożka obrotowego o najmniejszej objętości opisanego na kuli o promieniu R. Zadanie 0.. Jaka powinna być wysokość stożka wpisanego w kulę o promieniu R żeby jego powierzchnia boczna była największa? Zadanie 0.. Należy wykonać ogrodzenie prostokątnego skweru o powierzchni 00 m którego jeden bok przylega do granicy posiadłości. Koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia na granicy posiadłości wynosi 0 zł a koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia z pozostałych trzech boków jest równy 0 zł za metr bieżący. Jakie powinny być wymiary skweru by koszt ogrodzenia był najmniejszy?

16 . LICZBY ZESPOLONE 6. Liczby zespolone Zadanie.. Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( i)( + i) + (5 i)( i) z = 5i z = 4 i i z 4 = i + i + i i. Zadanie.. Dla jakich liczb y R zachodzą równości: () ( + yi)( i) = i; ( = y = 0 ) ( = 5 y = ) () + yi = i? = 5 y = 7 i Zadanie.. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: + i () z + 4i = i z + i ; z = 7 6 i () z 4z + = 0; z = i z = + i () z + z + = 0; z = i z = + i (4) 4z = z + 4; z = (5) zz + ( i)z = zi; z = z = 0 (6) ( + i)z + z = z + + i. z = z = i.. Miejsca geometryczne. Zadanie.4. Wyznaczyć miejsca geometryczne liczb zespolonych z spełniających warunki: () z z = 5 z + z ; i () Re (iz + ) 0; () Im (z ) < 0; (4) z i = z ; (5) 4 z = z; (6) z z + (5 + i) z + = 0; (7) Im + iz iz = ; (8) Re z + zi > ; Zadanie.5. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór A = (9) z + i = ; (0) z + i < 4; () z + z i ; () π 6 < Arg z π ; () Arg(z + i) = π; (4) π Arg[( + i)z] π; ( ) i (5) Arg = π z 4 ; (6) Arg( + i) Arg z Arg( i). z C : Arg z Arg ( i ) Im[( z) ] Zadanie.6. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór A = z C : Arg z Arg( i) Im[(z + ) ] Zadanie.7. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru: A = z C : Re(z ) = [Im(z + i)] = }. Zadanie.8. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru: B = z C : z i Arg(z + ) π } Zadanie.9. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór A = z C : Re[( z + )(z )] 8 z i π } Arg (zi) π. Zadanie.0. Podać interpretację geometryczną zbioru liczb zespolonych o module równym dla których z + ( + i)z jest liczbą czysto urojoną. Zadanie.. Naszkicować zbiór A złożony z tych liczb zespolonych z dla których liczba ω = z+ z 4i jest czysto urojona. }. }.

17 . LICZBY ZESPOLONE 7 Zadanie.. Podać interpretację geometryczną zbioru B = z C : z + Re z < }. Zadanie.. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór z + i A = π z + i Arg z } i π. Zadanie.4. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór z i B = z + i 0 Arg z π }. Zadanie.5. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór A = z C : Im z [Re(z + )] Arg z π } 4 + Arg( i)... Potęgowanie i pierwiastkowanie. Zadanie.6. Obliczyć () () ( ( i i () ( i ) 5 (+i) 0 ) 6 ) (4) ( + cos π + i sin π (5) 4 + i i (6) 6 i i (7) +i ) 6 Zadanie.7. (a) Obliczyć w = ( i) 0. (b) Wyznaczyć w. Zadanie.8. Liczba i jest jednym z pierwiastków stopnia z liczby zespolonej z. Znaleźć pozostałe pierwiastki i wyznaczyć z. Sporządzić rysunek... Równania i wielomiany. Zadanie.9. W zbiorze liczb zespolonych C rozłożyć na czynniki liniowe wielomian () w(z) = z z + z () w(z) = z 8 () w(z) = z 4 4z + 4z + 4z 5 (4) w(z) = z (5) w(z) = z + z + z + Zadanie.0. W zbiorze C rozwiązać równania: () z 4 + z + = 0 () z 4 z + 4 = 0 () z 4 z + = 0 (4) (z + i )(z + 7) = 0 (5) z ( + i)z i = 0 (6) z 5z i = 0 (7) z + z + z = 0 (8) z + z + z = 0 (9) z i = 0 (0) z + i = 0 Zadanie.. W zbiorze liczb zespolonych C wyznaczyć pierwiastki wielomianu: () w(z) = (z 8)(z 6 ) () w(z) = (z 7)(z 6 + ) () w(z) = (z 4 6)(z + ) (4) w(z) = z 5 + z 4 + 6z + (5) w(z) = z 5 z 4 + 4z Zadanie.. W zbiorze C rozwiązać równanie:

18 . LICZBY ZESPOLONE 8 () z 4 z + z = 0 () z 4 + z + z + = 0 () z 6 z + = 0 (4) z 6 + z + = 0 a następnie każdy z pierwiastków tego równania przedstawić w postaci trygonometrycznej. Zadanie.. Dane jest równanie: ( ) : z z = + i. a) Znaleźć liczbę (z ) 98 gdzie z jest pierwiastkiem równania ( ) takim że Rez <. b) Korzystając z definicji pierwiastka znaleźć z gdzie z jest tym pierwiastkiem ( ) że Rez >. Zadanie.4. Znaleźć liczbę z0 5 gdy z 0 jest pierwiastkiem równania: z z = + i. ( ) a Zadanie.5. Znaleźć liczbę z 0 gdzie a = + i zaś z 0 jest tym z pierwiastków równania z + 7 = 0 którego argument główny jest najmniejszy. Zadanie.6. Rozwiązać równanie: () + = 0 } () = 0 } () = } (4) = 0 } (5) = 0 } (6) = 0 4} (7) = 0 } (8) = 0 } (9) = 0 0 } (0) = 0 + i i + i i } () = 0 + i i} () = 0 i + i} Zadanie.7. Wiedząc że z jest pierwiastkiem wielomianu w(z) obliczyć pozostałe pierwiastki tego wielomianu: () w(z) = z 4 + z + 9z + 8z + 0 z = i () w(z) = z 4 z + z + 9z 0 z = + i () w(z) = z 4 + z + z + z + z = i (4) w(z) = z 4 5z + 0z 0z + 4 z = + i (5) w(z) = z 4 6z + 5z 8z + 0 z = + i (6) w(z) = z 4 z + 8z 6z + 5 z = i. Zadanie.8. Obliczyć pierwiastki wielomianu w(z): () w(z) = z + 7z + 7z + 6 () w(z) = z + 9z + 9z 0 () w(z) = z 6 + z 4 + z 4 (4) w(z) = z 4 6z + 5z 8z + 0 (5) w(z) = z z + 6 (6) w(z) = z 5 z 4 + z z + z. Powyższe wielomiany rozłożyć na: (a) nierozkładalne czynniki rzeczywiste (b) czynniki liniowe.