Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Transkrypt

1 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz starannie sporządzać rysunki. A 5 6 Σ Zestaw A Zadanie Wyznacz granicę ciągu a n = + n + ( ) n + n n + n Zadanie Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(x) = (x ) e x (wystarczy jeśli znajdziesz przedziały monotoniczności, lokalne ekstrema oraz zachowanie w + i w ). W jakim punkcie przyjmuje ona największą wartość na półprostej [, )? Zadanie Dla jakiej wartości parametru c równanie x x = c ma trzy rożne rozwiązania? Wskazówka: zbadaj najpierw przebieg zmienności funkcji y = x x. Zadanie Zaprojektuj otwarte od góry pudełko o kształcie prostopadłościanu o podstawie o bokach a i a, którego objętość ma cm i które ma najmniejszą powierzchnię (nie uwzględniamy ściany górnej). Zadanie 5 Oblicz pole obszaru C = {(x, y) : x cos(x) y sin(x)}. Zadanie 6 Niech a >. Wyznacz całkę a x sin(ax)dx. Wskazówka: zastosuj najpierw podstawienie u = ax i następnie zastosuj podwójnie metodę całkowania przez części. Instytut Matematyki i Informatyki PWr

2 Rozwiązania Rozwiązanie zadania Korzystając z tego, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a mamy a n )n = e a otrzymujemy (+ + n + ( + n )n n = + n ( ( ) n ) n n n + + ( + n n n + n ( n + ) = + + e + = e. ) n = Rozwiązanie zadania Funkcja f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. W celu wyznaczenia granicy w + skorzystamy z reguły de Hospitala: Zauważmy, że f(x) = x + (x x ) = +, (x ) = H (x ) = H x + e x x + e x x + e x =. x ex = oraz, że e x > dla każdego x, Zatem Następnie f(x) = (x ) = + x x e x f (x) = ((x ) ) e x + (x ) (e x ) = (x )e x + (x ) ( e x ) = e x (x )( (x )) = e x (x )( x). Pochodna funkcji f przyjmuje wartość w punktach x = oraz x =. Wyrażenie e x jest dodatnie dla wszystkich x. Funkcja y = (x )( x) jest parabolą o ramionach skierowanych w dół. Zatem x < f (x) < < x < f (x) > x > f (x) < Tak więc funkcja f jest malejąca na półprostej (, ), w punkcie x = ma minimum lokalne, jest rosnąca na przedziale (,), ma maksimum lokalne w puncie x = oraz jest malejąca (do zera) na półprostej (, ). Oto szkic wykresu funkcji f na przedziale [, 5]:

3 Minimum lokalne w punkcie x = jest minimum globalnym funkcji f. Ponadto f() = /e., więc f() < f() =. Zatem funkcja f przyjmuje największą wartość na półprostej [, ) w punkcie x = i wynosi ono. Dodatkowe własności.. Zauważmy, że f (x) = e x (x )( x) + e x ( x) e x (x ) = e x ((x )(x ) + x x + ) = e x (x 6x + 7). Równanie x 6x + 7 = ma dwa rozwiązania ( = 6 7 = 8) x =.6 oraz x = +.. Funkcja f jest więc wypukła na półprostej (, ), jest wklęsła na odcinku (, + ) oraz jest wypukła na półprostej ( +, ). W punktach x oraz x ma punkty przegięcia.. Funkcja f ma asymptotę poziomą (równą ) gdy x. Funkcja f nie ma asymptoty poziomej ani ukośne gdy x, gdyż = x f(x) x Rozwiązanie zadania Niech g(x) = x x. Jest to wielomian trzeciego stopnia o zerach w punktach oraz (w punkcie ma on pierwiastek podwójny). Zauważmy, że g (x) = x 6x = x(x ), więc g (x) < x (, ). Zatem g jest funkcją rosnącą na półprostej (, ), malejącą na przedziale (, ) oraz rosnącą na przedziale (, ). W punkcie x = funkcja ma maksimum lokalne i wynosi ono g() =. W punkcie x = funkcja g ma minimum lokalne i wynosi ono g() = =. Oto szkic wykresu funkcji g na przedziale [, ]: Prosta o równaniu y = c ma z wykresem funkcji g dokładnie trzy punkty wspólne wtedy i tylko wtedy, gdy c (, ).

4 Zatem równanie x x = c ma dokładnie trzy rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy c (, ) (wynika to z Twierdzenia o wartości pośredniej). Rozwiązanie zadania Niech h oznacza wysokość rozważanego pudełka, niech V = cm. oraz niech S oznacza powierzchnię boczną bez ściany górnej. Wtedy. V = a (a) h. S = a (a) + 6a h Wyznaczając h z pierwszego równania (h = równania otrzymujemy S(a) = a + 6a V a = a + V a. Naszym celem jest wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji S na półprostej (, + ). Zauważmy, że S (a) = a V a V ) i podstawiając tak wyznaczone h do drugiego a = a V a. Zatem, jeśli < a < V to S (a) <, oraz jeśli a > V to S (a) >. Zatem w punkcie a = V funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą. Niech a = V. Odpowiadająca tej wartości parametru a wysokość h wynosi h = V (a ) = ( V ) Ponieważ V = cm, więc szukane pudełko ma wymiary ( 5 ( ) cm. ) cm, ( ) cm oraz Rozwiązanie zadania 5 Równanie sin(x) = cos(x) ma w przedziale [, ] dwa rozwiązania: x = oraz x = 5.

5 W celu obliczenia pola obszaru C należy więc wyznaczyć całkę 5 (sin(x) cos(x))dx: 5 (sin(x) cos(x))dx = [ cos(x) sin(x)] x= 5 x= [cos(x) + sin(x)] x= 5 x= = (( ) ( )) ( ) + ( ) + =. Rozwiązanie zadania 6 Stosując podstawienie u = ax (du = adx) otrzymujemy = Następnie Zatem a x sin(ax)dx = ( u a ) sin(u) a du = u sin(u)du a u sin(u)du = u ( cos(u)) du = u cos(u) (u ) ( cos(u))du = u cos(u) + u cos(u)du = u cos(u) + u(sin(u)) du = ( ) ( ) u cos(u) + u sin(u) u sin(u)du = u cos(u) + u sin(u) sin(u)du = u cos(u) + (u sin(u) + cos(u)) = ( u ) cos(u) + u sin(u). u sin(u)du = [ ( u ) cos(u) + u sin(u) ] x= x= = (( )( ) + ) (( )() + ) =. Zatem a x sin(ax)dx = a.