ε dowód jest analogiczny.

Transkrypt

1 5--6 7: Numeryze sprawdzaie ierówośi w obszarze prostoątym w (szi) Piotr Baia AGH Uiversity of Siee ad eholoy Al iiewiza Kraów Polad pba@iaahedupl Abstrat: W artyule przedstawioo metodę umeryzeo sprawdzaia ierówośi w obszarze prostoątym w przestrzei Sformułowao problem i poazao Ŝe moŝa o rozwiązać oblizają ałi po rozwaŝaym obszarze Wyii zilustrowao przyładami Keywords: Iequality verifiatio ultiple Iterals WSĘP W wielu działah matematyi stosowaej zahodzi potrzeba sprawdzeia zy daa ierówość zahodzi w pewym podzbiorze przestrzei ypowymi przyładami są tu problemy poszuiwaia zbiorów przyiąaia putów rówowai uładu dyamizeo wyorzystująe twierdzeia Lasalle a (Lasalle 966) lub sprawdzaie wypułośi fuji W pewyh przypadah sprawdzeie ierówośi metodami aalityzymi jest bardzo praohłoe lub iewyoale oŝa wtedy wyorzystać metody umeryze edym ze sposobów sprawdzaia ierówośi f ( x A jest wyzazeie masimum fuji f zbiorze A W przypadu wielowymiarowym dy fuja f ie jest wypuła ie ma waraji Ŝe zalezioe masimum jest lobale W iiejszej pray zapropoowao metodę sprawdzaia ierówośi w obszarze prostoątym w przestrzei Praa słada się z sześiu rozdziałów W rozdziale druim sformułowao problem weryfiaji ierówośi ozdział trzei poazuje Ŝe postawioy problem moŝa rozwiązać poprzez ałowaie pewyh fuji a wymiarowym sześiaie w Zadaie oblizaia ałe oraz proedury umeryze uŝyte do jeo rozwiązywaia zostały omówioe w rozdziale zwartym Przyłady zastosowaia metody podao w rozdziale piątym Artyuł ońzy się wiosami SFOUŁOWANIE POBLEU Nieh Q C ( ) oraz ieh będzie daa maierz H = H > Defiiujemy zbiór Ω = { x ; x Hx } () Zbiór Ω jest wymiarową elipsoidą w Nieh S będzie rodzią zwartyh i jedospójyh zbiorów taih Ŝe dla dowolyh lizb δ > Ω S i S S δ () Załadamy Ŝe fuja a S jest iąła w sesie metryi Hausdorffa Zajmiemy się poszuiwaiem ajwięszej lizby taiej Ŝe w aŝdym puie zbioru S zahodzi ierówość Q ( (3) Łatwo zauwaŝyć Ŝe ierówość (3) będzie rówieŝ spełioa w zbiorze Ω W rozdziale 4 poaŝemy Ŝe S moŝe być zdefiioway jao ajmiejszy wymiarowy prostopadłośia zawierająy 3 OZWIĄZANIE POBLEU Ω Nieh Ω = { x ; x Ω Q( } (3) S = { x ; x S Q( } (3) ozwaŝmy astępująe ałi : I = ( Q( s Q( ) dx (33) Ω = ( Q( s Q( ) dx S (34) WyaŜemy Ŝe I są iąłymi i ie malejąymi fujami parametru Lemat 3 Dla dowolej fuji f C ( ) fuja f s f C ( ) Wiose 3 I są fujami iąłymi parametru Dowód: Fuja podałowa w (34) jest iąła zatem ała istieje Fuja a S jest iąła Dla ε > mamy ε = ( Q( sq( ) dx ε Dla < S ε S ε dowód jest aaloizy Lemat 3 Dla dowolyh lizb δ > prawdziwe są astępująe stwierdzeia: I = Q ( prawie wszędzie w zbiorze Ω

2 = Q ( prawie wszędzie w zbiorze S 3 I 4 I I δ 5 δ Dowód: i wyiają bezpośredio z defiiji (33) (34) Dla dowolej fuji f f C mamy A fdx fdx dy B B A (35) 3 Z (-) i (3-) wyia Ŝe Ω S Ω S stąd i z (35) I = Q( dx Q( dx = Ω S 4 Z () (3) mamy Ω Ω δ Ω Ω stąd i z (35) I = Q( dx Q( dx = I δ Ω Ω δ δ 5 Z () i (3) mamy S S δ S S δ zatem = Q( dx Q( dx = δ S S δ Wiose 3: Albo = dla aŝdeo dodatieo albo istieje taie Ŝe = dla oraz > dla > Aaloizy wiose dotyzy ałi (33) Podamy teraz alorytm wyzazaia Nieh < będzie ajwięszą dopuszzalą wartośią oraz ieh ε > (p ε = 8 ) ozaza wzlędą doładość wyzazeia Alorytm 3 Podstaw d = = Obliz jeŝeli = to = zaońz działaie alorytmu 3 Podstaw = 5( d ) i obliz jeŝeli = to = w przeiwym przypadu podstaw = d 4 eŝeli d ε to zaońz działaie alorytmu i podstaw = 5( d ) w przeiwym przypadu idź do 3 Z lematu 3 i wiosu 3 wyia Ŝe alorytm te jest zbieŝy do wartośi taiej Ŝe ierówość (3) zahodzi w zbiorze S 4 ALGOY OBLICZANIA CAŁKI Fuja podałowa we wzorze (34) oreślająym przyjmuje wartośi róŝe od zera tylo w zbiorze S tóreo miara moŝe być dowolie mała Proedura ałowaia obliza fuję podałową w sońzoej ilośi putów zbioru S i moŝliwe jest Ŝe Ŝade z tyh putów ie będzie aleŝał do S Wówzas alorytm ałowaia zaońzy działaie stwierdzają fałszywie Ŝe = Sytuaję tę obrazuje rys 4 Proedura ałowaia oblizy wartośi fuji w putah ozazoyh ółami i stwierdzi fałszywie Ŝe = Aby temu zapobie sorzystamy ze wzoru ( t ) = 5( t t ) i zapiszemy (34) w postai sumy dwóh ałe: = Q( sq( dx Q( dx (4) S S Gauss-Lobatto odes Q ( Q Q s Q s Q) ys 4 Przyład uzasadiająy wzór (4) Dla lepszej zytelośi wyresy przesuięto w pioie ym razem fuje podałowe ie ziają toŝsamośiowo poza zbiorem S (rys 4) Całi w (4) ozazamy s i Ze wzlędu a błędy wyzazeia ałi s i muszą być oblizae z duŝą doładośią przy jedozesej miimalizaji aładu oblizeń Wymaaia te moŝa spełić stosują alorytmy ałowaia adaptayjeo tóre zmiejszają aład oblizeń dzielą obszar ałowaia a podobszary i przeprowadzają ałowaie tylo w tyh podobszarah w tóryh loale oszaowaie błędu przeraza wartość dopuszzalą Szzeółowe omówieie proedur adaptayjyh zob Gez 98 Gader Stosuowo łatwo moŝa podać proedurę ałowaia adaptayjeo w przypadu wymiaroweo prostopadłośiau W przypadu wymiarowej elipsoidy zadaie zazie się ompliuje Dlateo podamy teraz alorytm oblizaia ałe s i w przypadu dy zbiór S jest prostopadłośiaem Wprowadźmy owy uład / / współrzędyh: x = PΛ z (4) dzie Λ = dia( λ λ ) Lizby λ i są wartośiami własymi maierzy H Kolumy ortooalej maierzy P są uormowaymi wetorami własymi maierzy H aobia przeształeia (4) wyosi / / / / P Λ = (det Λ) Przeształeie / / odwrote do (4) ma postać z = Λ P x Przeształeie (4) przeprowadza zbiór Ω w ulę jedostową K () w Defiiujemy rodzię zbiorów S : / / S = { x ; zi z = Λ P x} (43) i=

3 KaŜdy zbiór S jest prostopadłośiaem zawierająym Ω i spełia warue () Fuja a S jest iąła w sesie metryi Hausdorffa Przeształeie (4) przeprowadza zbiór S w wymiarowy sześia C o bou i środu w zerze ta ja poazao a rys 4 W te sposób sprowadziliśmy zadaie oblizaia ałi (4) do ałowaia dwóh fuji lasy C a obszarze C Dla taih obszarów istieją efetywe metody ałowaia umeryzeo (Gez 98 Stroud 97) x S z PoaŜemy przyład dwuwymiarowy Węzły i współzyii -putowej formuły Gaussa-Lobatto wyoszą: abela 4 Węzły i współzyii formuły Gaussa-Lobatto t v Węzły formuły produtowej poazao a rys 4 x Ω x (4) K() z ys 4 Działaie przeształeia (4) w przypadu C 4 Formuły ałowaia umeryzeo Dla fuji jedej zmieej przybliŝoą wartość ałi obliza się stosują wadratury w postai f t) dt v f ( t = ( ) (4) Lizby v t azywamy waami i węzłami wadratury (4) Załadamy Ŝe wadratura (4) jest wadraturą Gaussa Wiadomo Ŝe putowa wadratura Gaussa jest dołada dla wielomiaów stopia d eŝeli to wzór (4) daje doładą wartość ałi dla aŝdej fuji iąłej (Stroud 966 Gautshi 999 ) Przy iewielim przerozeiu wartośi warue Q ( jest iespełioy przy brzeu zbioru S Wyia stąd Ŝe formuła ałowaia powia być ta sostruowaa aby zawsze oblizać wartośi fuji podałowej w putah leŝąyh a brzeu zbioru S Warue te spełiają wadratury Gaussa-Lobatto: f ( t) dt v f ( ) v f ( t ) v f () (4) = etody wyzazaia węzłów i wa podają Gautshi 999 Stroud 966 Golub 973 Dyspoują wadraturą jedowymiarową (4) moŝa łatwo sostruować wzór przybliŝoeo ałowaia dla fuji zmieyh oreśloej a obszarze C Formuły teo typu oszą azwę produtowyh (Stroud 97 s 3-7) dyŝ węzły formuły otrzymuje się tworzą produt artezjańsi węzłów formuły jedowymiarowej Współzyii są ilozyami współzyiów formuły (4) Formuła produtowa dla fuji zmieyh ma postać C f ( dx w f ( x ) (43) = i jest dołada dla wielomiaów zmieyh stopia d (Stroud 97 s 3-7) x ys 4 Węzły formuły produtowej (43) dla = = Odpowiedie wai otrzymujemy moŝą wai formuły jedowymiarowej p waa odpowiadająa putowi (t t 4 ) wyosi ν ν 4 = 389 Szzeółowe omówieie zaadień eerowaia formuł ałowaia podają Stroud 97 Gautshi 999 Golub Alorytm ałowaia adaptayjeo Załadamy Ŝe formuła (43) jest zaa Nieh S( x h) ozaza wymiarowy sześia o bou h i środu x Przeształeie x = x hy (4) przeprowadza S( x h) w S ( ) = C a jeo jaobia wyosi h PrzybliŜoą wartość ałi dla obszaru S( x h) wyzazamy ze wzoru S( x h) f ( dx Σ( x h) = h w f ( x hx ) (4) = W alorytmie ałowaia wyorzystao pojęie stosu Operaja Push ( x h I) odłada a stos współrzęde środa daeo sześiau dłuość bou oraz przybliŝoą wartość ałi Operaja ( x h I) =Pop zdejmuje ze stosu obszar zajdująy się a jeo szzyie Alorytm wyląda astępująo (Gez 98): Dae: tol wzlęda toleraja p tol = -5 węzły i współzyii formuły (4) fuja f x = h = Push ( x h if) I = x h I ) =Pop eŝeli I if obliz ( = Σ( x h I ) ze wzoru (4) 3 Podziel sześia S( x h) a = sześiaów S( x 5h) i dla aŝdeo z ih obliz I = Σ( x 5h) I = I = 3

4 4 eŝeli I I tolh to I I I = idź do 5 w przeiwym przypadu dla = wyoaj Push x 5h I ) ( 5 eŝeli stos jest pusty SOP wartość ałi wyosi I w przeiwym przypadu idź do W aŝdej iteraji alorytm obliza doładiejsze przybliŝeie ałi dla daeo obszaru dzielą o a podobszarów i stosują do aŝdeo formułę (4) eŝeli przybliŝeie oaŝe się dostatezie dołade (pt4) to przehodzi się do astępeo obszaru a stosie W przeiwym razie podobszarów odłada się a stos Proedurę otyuuje się dopói stos jest iepusty Warue w pt zabezpieza przed iepotrzebym wylizaiem juŝ raz oblizoej ałi Alorytm jest zbieŝy dla fuji iąłyh jeda zbieŝość moŝe być bardzo powola dla fuji lasy C lub fuji z osobliwośią (Espelid 4) Dla fuji ładih zbieŝość jest zadowalająa 5 PZYKŁADY PoiŜej podao parametry proedur umeryzyh uŝytyh do rozwiązaia przyładów Wzlęda doładość wyzazeia ε = 8 Lizba putów w proedurze ałowaia = Wzlęda toleraja oblizaia ałe 4 tol = Uwaa 5 Alorytm poszuiwaia wyazuje lepszą zbieŝość dy zamiast fuji uŝyć jej ułamowej potęi Dlateo we wszystih przyładah aalizowao fuję p z p = 3 5 Szaowaie reszty w rozwiięiu aylore a Nieh f C ( m ) f ( ) = Zahodzi wzór f ( = f x () x ( (5) Dla dowoleo ε > istieje lizba δ > taa Ŝe dla x δ prawdziwe jest oszaowaie ( m ε x (5) Nierówość (5) jest rówowaŝa ierówośi Q( = ( m ε x (53) Nieh f ( = exp( x )( x ) oraz ε = eszta w rozwiięiu (5) ma postać ( = exp( x )( x ) x x Za pomoą opisaeo alorytmu wyzazoo ajwięszą lizbę δ taą Ŝe oszaowaie (5) zahodzi w wadraie o środu w zerze i bou δ Przyjęto H = I (zob wzory 4 43) Zbiór S jest w tym przypadu wadratem o bou δ = i środu w zerze Wyii oblizeń przedstawioo a rys 5-3 Na rys 5 poazao wartośi w olejyh roah alorytmu poszuiwaia ys 5 Wartośi parametru w olejyh iterajah alorytmu poszuiwaia ys 5 Wartość ałi w fuji parametru ys 5 poazuje zaleŝość wartośi ałi w fuji parametru Dla poprawieia zytelośi rysuu poazao Łatwo zauwaŝyć Ŝe ajwięsza wartość parametru wyosi ooło Zatem δ = = 3 Wyia stąd Ŝe ierówość (5) jest spełioa taŝe w ole o promieiu δ Na rys 53 poazao Powierzhię ( oraz jej óre oraizeie x ys 53 Powierzhia ( oraz jej óre oraizeie x 4

5 5 Wyzazaie zbioru przyiąaia putu rówowai ozwaŝmy uład rówań róŝizowyh x & = x ( µ ( µ ) x )( Kx K x ) x & = x ( µ 4( µ ) x )( Kx K x ) µ = 5 K = K = 8 (5) Liiowe przybliŝeie rówań (5) w otozeiu zera ma postać x& µ K µ K x = (5) x& µ K µ K x System (5) jest wyładizo stabily Nieh A będzie maierzą stau systemu (5) eŝeli maierz H spełia rówaie Lapuowa A H HA = G G = G > to fuja V ( = x Hx jest fujoałem Lapuowa systemu (5) w pewym otozeiu zera (LaSalle 996) Pohoda po zasie fuji V ( oblizaa a trajetoriah systemu (5) wyosi V& ( = x Gx x Hd( dzie ieliiowość d ( jest wetorem o sładowyh d = ( µ )( K x K x ) ( x ( 4( )( Kxx K x d = µ ) Elemety maierzy G wyosiły G = G = = G = G a elemety maierzy H były rówe H = 43 H = 993 = H = H Za pomoą opisaeo powyŝej alorytmu wyzazoo ajwięszy zbiór S w tórym spełioy jest warue Q( = V& ( = x Gx x Hd( (53) Po przeprowadzeiu oblizeń wyzazoo = 439 Wyii oblizeń przedstawioo a rys 5-3 Na rys 5 poazao zaleŝość ałi od parametru ys 5 przedstawia zbiory S i Ω Na rys 53 poazao wartośi (ze zaiem mius) fuji Q( oblizoe a brzeu zbioru widać Ŝe są oe dodatie ys 5 Wartość ałi 3 w fuji parametru Ω x x 5 ys 5 Zbiory S (prostoąt) i Ω (elipsa) KaŜda trajetoria systemu (5) startująa ze zbioru Ω pozostaje w tym zbiorze i zmierza asymptotyzie do zera KaŜda trajetoria systemu (5) startująa ze zbioru S zmierza asymptotyzie do zera -Q( x 4 ys 53 Zbiory -4 - x 4 S (prostoąt) i Ω (elipsa) oraz wartośi fuji Q( oblizoe a brzeu zbioru Ω Na rysuu poazao rówieŝ poziomie fuji Q( 53 Współzyi zwęŝaia ówimy Ŝe odwzorowaie F : X X jest zwęŝająe dy istieje lizba q [) taa Ŝe F( q x (53) dla aŝdeo x X Put x azywamy putem stałym operaji F jeŝeli F ( = x Nieh F( = [ f ( f( ] x dzie x = 3 ( x ) x ( 3(( x ) ) ( ) x x x f f ( ( x ) x = 3 (( x ) x ) 4( x ) x Łatwo sprawdzić Ŝe zero jest putem stałym F Poadto istieje taie otozeie zera Ŝe F jest zwęŝająa (wystarzy oblizyć pohodą F x () ) Zajdziemy ajwięszy wadrat o środu w zerze i bou δ w tórym F jest zwęŝająa eŝeli H = I (zob wzory 4 43) to zbiór S jest wadratem o bou δ = i środu w zerze Nierówość (53) jest rówowaŝa ierówośi 3 5

6 Q ( x q) F( q x (53) = Dla aŝdej wartośi q [) moŝemy oblizyć za pomoą alorytmu 3 lizbę Badają zaleŝość moŝemy wyzazyć ajwięszy wadrat w tórym operaja F jest zwęŝająa oraz wartość współzyia zwęŝaia q PoiewaŜ F jest ieoreśloa w puie (-) to przyjmujemy = 99 Wyii oblizeń przedstawioo a rys 53- Na rys 53 poazao zaleŝość Widzimy Ŝe ajwięszy obszar w tórym operaja F jest zwęŝająa otrzymujemy dla q ieo miejszeo od Dla q < 6 mamy = i zbiór S reduuje się do putu () Odwzorowaie F jest zwęŝająe we wętrzu wadratu o bou () = 466 = ys 53 ZaleŜość ys 53 przedstawia wyresy fuji F ( oraz 999 x Widać tu wyraźie Ŝe ierówość (53) jest rzezywiśie spełioa ze współzyiiem zwęŝaia q = 999 ZauwaŜmy teŝ Ŝe zbiór S jest masymalym zbiorem w tórym zahodzi (53) Powięszeie zbioru q S spowoduje aruszeie ierówośi (53) Na moy zasady Baaha (auri 997) moŝemy stwierdzić Ŝe aŝdy ią x = F( x ) = jest zbieŝy do zera dla x S 6 PODSUOWANIE W artyule opisao metodę sprawdzaia ierówośi w Poazao Ŝe zadaie daje się rozwiązywać poprzez oblizaie ałe oraz podao efetywe alorytmy jeo rozwiązywaia Z umeryzeo putu widzeia oblizaie ałi jest zawsze łatwiejszym zadaiem iŝ wyzazeie lobaleo masimum fuji zmieyh przy oraizeiah ierówośiowyh est to iewątpliwa zaleta propoowaeo rozwiązaia Istotym oraizeiem metody jest duŝa złoŝoość oblizeiowa metod ałowaia umeryzeo W przypadu = 4 zas oblizeń prowadzoyh w ALABIE a omputerze z proesorem Petium GHz z systemem Widows wyosił ilaaśie seud Dla = zas te wzrastał do 6h Przepisaie alorytmów z języa atlaba a języ C C połązoe z profilowaiem odu i odpowiedim doborem proedur ałowaia powio zaząo przyspieszyć alorytm i umoŝliwić jeo zastosowaie do systemów o więszej lizbie wymiarów Przyłady zastosowaia metody podae w rozdziale 5 dowodzą Ŝe opisay alorytm moŝe być przydaty w róŝyh działah matematyi stosowaej Szaowaie reszt w rozwiięiah fuji staowi zęsto spotyay problem Wyzazaie zbiorów przyiąaia putów rówowai w ieliiowyh systemah dyamizyh zarówo iąłyh ja i dysretyh staowi istoty elemet projetowaia uładów sterowaia W opiii autora zapropoowaa metoda moŝe staowić uŝyteze arzędzie wspomaająe zarówo badaia ja i projetowie LIEAUA Espelid O 4: A test of QUADPACK ad Four Doubly Adaptive Quadrature outies eh eport o 8 Dept of Iformatis Uiversity of Bere Otober 4 Gader G ad Gautshi W : Adaptive Quadrature - evisited BI 4():84- Gautshi W 999: Orthooal Polyomials ad Quadrature Eletroi rasatio o Numerial Aalysis Vol 9 pp Gautshi W : Orthooal Polyomials (i atlab) materials o web site Gez AC ad ali AA 98: A adaptive alorithm for umerial iteratio over a N-dimesioal retaular reio Comp Appl ath 6(4):95-3 Golub G H 973: Some modified matrix eievalue problems SIA rev La Salle Lefshetz S 966: Zarys teorii stabilośi Lapuowa i jeo metody bezpośrediej PWN W-wa auri K 977 Aaliza Część I Elemety PWN Warszawa Stroud AH 97: Aproximate Calulatio of ultiple Iterals Pretie-Hall Stroud AH Serest D 966: Gaussia Quadrature Formulas Pretie-Hall ys 53 Wyresy fuji ( F oraz 999 x 6