Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r

Transkrypt

1 Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub sończoy. Poday ajpierw defiicję przestrzei etryczej ośrodowej i oówiy ila z jej własości. Defiicja 65 (przestrzei ośrodowej) Przestrzeń etryczą (, ρ) X azyway ośrodową, jeśli istieje zbiór co ajwyżej przeliczaly i gęsty w tej przestrzei, tj. istieje zbiór A X tai, że A jest co ajwyżej przeliczaly i Cl ( A ) = X. Zbiór, A o tóry owa w defiicji 65, azywa się często ośrodie przestrzei X. Przyład 66 (przestrzei ośrodowej) Przestrzeń eulidesowa (, ) R jest ośrodowa, gdyż przyjując A = Q łatwo widać, że A jest zbiore przeliczaly i poadto Cl( A ) = R. Twierdzeie 67 Obraz ciągły przestrzei ośrodowej jest przestrzeią ośrodową. Niech ( X, ρ ) będzie przestrzeią etryczą ośrodową, a (, ρ ) Y dowolą przestrzeią etryczą i iech f : X Y będzie dowolą fucją ciągłą. Bez straty ogólości ożey przyjąć, że f ( X ) = Y, tj. że fucja f odwzorowuje przestrzeń X a Y. Wybierzy jaiś, co ajwyżej przeliczaly zbiór A gęsty w przestrzei X. Oczywiście f ( A) jest zbiore co ajwyżej przeliczaly w przestrzei Y jao, że jest to obraz zbioru co ajwyżej przeliczalego A. Zostało wyazać, że f ( A) jest zbiore gęsty w przestrzei Y. Zgodie z twierdzeie 5 (a) wystarczy poazać, że biorąc dowoly iepusty zbiór U otwarty w przestrzei Y zbiór U f ( A) jest iepusty. Weźy zate dowoly iepusty zbiór U otwarty w przestrzei Y. Zbiór V = f ( U ) jest otwarty w X, gdyż fucja f jest ciągła (zob. twierdzeie 55 (a)) i iepusty w X, gdyż f jest odwzorowaie a. Poieważ zaś A jest gęsty w przestrzei X, więc (zob. twierdzeie 5 (a)) zbiór V A jest iepusty. Weźy x V A. May f ( x ) f ( V A) f ( V ) f ( A) = U f ( A), a to poazuje, że zbiór U f ( A) jest iepusty. Zbiór ( A) f jest zate zbiore co ajwyżej przeliczaly i gęsty w przestrzei Y, a to ozacza, że przestrzeń ( Y, ρ ) jest ośrodowa. Twierdzeie 68 Jeżeli w przestrzei etryczej (, ρ) x, y B taich, że y ośrodowa. x ay ( x, y) r X istieje ieprzeliczaly zbiór B o tej własości, że dla dowolych ρ, gdzie r jest pewą liczbą dodatią, to przestrzeń ta ie jest

2 Przypuśy wbrew tezie, że przestrzeń (, ρ) X jest ośrodowa. Niech A będzie zbiore co ajwyżej przeliczaly i gęsty w tej przestrzei, a B zbiore ieprzeliczaly o własości wspoiaej w założeiu twierdzeia. Rozważy rodzię zbiorów rozłącze. Istotie gdyby ta ie było, to istiałby put r R = K x, : x B. Zauważy, że zbiory tej rodziy są parai r r z X tai, że z K x, i K y, r r K x, K y, dla pewych x, y B. Wówczas r ρ z, < i z lub rówoważie ( x ) r ρ ( z, y ) <. Stąd zaś, biorąc pod uwagę ierówość trójąta dla ρ dostalibyśy: r ρ ( x, y ) ρ( x, z ) + ρ( z, y ) < < r, co jest jeda ieożliwe, gdyż a ocy założeia ( x, y) r wszystich x, y B. Weźy dowoly eleet rodziyr, tj. ulę twierdzeia 5 (a) ρ dla r K x, jedozaczie wyzaczoy eleet x B. Na ocy r r K x, A, a stąd istieje a x A tai, że a x K x,. A poieważ rodzia R słada się z różych eleetów, to ty say istieje różowartościowa fucja eleetowi f : R A, tóra ażdeu r K x, przyporządowuje put a x. To jest jeda ieożliwe, gdyż to by ozaczało, że ieprzeliczaly zbiór f ( R) jest podzbiore zbioru co ajwyżej przeliczalego A. Przestrzeń (, ρ) zate przestrzeią ośrodową. X ie jest Łatwo teraz podać przyład przestrzei, tóra ie jest przestrzeią ośrodową. Przyład 69 (przestrzei ie ośrodowej) Korzystając z twierdzeia 68 widziy, że przestrzeń dysreta ( R, ρ ) ie jest ośrodowa. Istotie, biorąc B = IQ widziy, że B jest zbiore ieprzeliczaly i że dla dowolych x, y B taich, że x y ay ( x, y) = = r ρ. Przejdziey teraz do zdefiiowaia i podaia ilu własości olejej lasy ważej lasy przestrzei etryczych, a iaowicie przestrzei etryczych zupełych. Defiicja 7 (przestrzei zupełej) Przestrzeń etryczą ( X, ρ) azyway zupełą, jeśli ażdy ciąg { } x eleetów tej przestrzei spełiający warue Cauchy ego jest zbieży (do putu tej przestrzei), tj. istieje put x X tai, że li = x. x

3 Przyład 7 (przestrzei zupełej) Z twierdzeia bezposredio otrzyujey, że ażda przestrzeń eulidesowa (, ρ ) R jest zupeła. e Poday teraz dwa waże w zastosowaiach twierdzeia, dotyczące przestrzei etryczych zupełych. Twierdzeie 7 (Catora) W przestrzei etryczej zupełej zstępujący ciąg iepustych zbiorów doiętych, tórych średice tworzą ciąg zbieży do zera, posiada doładie jede put wspóly. Niech ( X, ρ) będzie przestrzeią etryczą zupełą i { } F dowoly ciągie zstępujący iepustych zbiorów doiętych, tórych średice tworzą ciąg zbieży do zera. Dla ażdej liczby aturalej iech wybray eleete zbioru Cauchy ego. Niech > taie, że ( ) < ε F F. Poażey, że utworzoy w te sposób ciąg { } ε będzie dowolą liczbą dodatią. Poieważ li dia( ) = dia dla. Biorąc teraz, l N taie, że, l ay sąd ( ) ( ) ε ρ x dia F <, l x F F i x l F F, l x będzie x spełia warue F, więc istieje N x. Ciąg { x } spełia więc warue Cauchy ego, a poieważ przestrzeń (, ρ) zupeła, to ciąg te jest zbieży do pewego eleetu x F F, a poieważ x x = li, to a ocy twierdzeia 8 (a) x Cl( ) X jest x X. Ustaly N. Dla ay F. Poieważ zaś zbiór F jest doięty, więc zate iepusty. x F. Poazaliśy zate, że F x dla wszystich N, tj. I x F. Zbiór I F jest = = Łatwo teraz poazać, że I = x i y ależące do I = F słada się z doładie jedego putu. Istotie, gdyby istiały dwa róże puty F, to biorąc dowole N dostalibyśy ( ) = sup{ ρ ( x, y ): x, y X} ρ( x, y), co przeczy waruowi li dia( ) = F dia > F. Twierdzeie 7 (Baire a) Jeżeli (, ρ) X jest przestrzeią etryczą zupełą, to: (a) iloczy przeliczalej rodziy zbiorów otwartych i gęstych w X jest zbiore gęsty w X. (b) sua przeliczalej rodziy zbiorów doiętych i brzegowych w X jest zbiore brzegowy w X. (a) Niech G, G, G, K będą zbiorai otwartyi i gęstyi w przestrzei X. Musiy poazać, że zbiór I G = jest gęsty w przestrzei X. Weźy dowoly iepusty zbiór otwarty V w X. Poieważ zbiór V G jest

4 iepusty (gdyż G jest gęsty zob. twierdzeie 5 (a)) i otwarty jao iloczy dwóch zbiorów otwartych (zobacz uwaga (d)), więc zajdziey iepusty zbiór otwarty. V o średicy iejszej iż tai, że Cl( V ) V G I dalej, poieważ zbiór V G jest iepusty (gdyż G jest gęsty zob. twierdzeie 5 (a)) i otwarty jao iloczy dwóch zbiorów otwartych (zobacz uwaga (d)), więc zajdziey iepusty zbiór otwarty V o średicy iejszej iż tai, że Cl( V ) V G. Postępując ta dalej i biorąc iepusty zbiór otwarty V G zajdziey iepusty zbiór otwarty ciąg { V } iepustych zbiorów otwartych tai, że =I = Cl V o średicy iejszej iż tai, że Cl ( V ) V G Cl ( V ) V G i ( ) Niech K ( ). Poieważ zbiory ( ) V dia V < dla =,,, K Cl V są iepuste (gdyż (c)), o średicach tworzących ciąg zbieży do zera (gdyż ( Cl( V )) dia( V ) ( ) V G V ( V ) Cl. A zate istieje V są iepuste), doięte (zob. uwaga 8 dia = < ) oraz zstępujące (gdyż Cl V, N ), więc a ocy twierdzeia Catora (zob. twierdzeie 7) zbiór K jest jedoputowy, sąd iepusty. Dostajey zate I = ( V ) IV G = IV IG V I K = Cl G, = i po sorzystaiu z twierdzeie 5 (a), zbiór I = = = G jest gęsty w X. = (b) Niech F F,, K będą zbiorai doiętyi i brzegowyi w przestrzei X. Musiy poazać, że zbiór, F U = F jest brzegowy w przestrzei X. Rozważy zbiory: X F, X \ F, X \, K Oczywiście są oe otwarte \ F (jao dopełieia zbiorów doiętych) i gęste w przestrzei X, gdyż (zob. twierdzeie ). ( X \ F ) = X \ It( X \ ( X \ F )) = X \ It( F ) = X \ X Cl, dla =,,, K Korzystając teraz z (a) zbiór ( \ ) = I = X jest gęsty w X, a stąd F Cl X F ( X F ) \ U = Cl I \ = X, = = co wobec defiicji 5 zbioru brzegowego poazuje, że U = F jest zbiore brzegowy w przestrzei X. Defiicja 74 (zbiorów typu G δ i F σ ) Zbiór, tóry oża przedstawić w postaci suy przeliczalej ilości zbiorów doiętych, azyway zbiore typu F σ, a zbiór tóry oża przedstawić w postaci iloczyu przeliczalej ilości zbiorów otwartych, azyway 4

5 zbiore typu G δ. Przyład 75 (zbiory typu G δ i F σ ) (a) Łatwo zauważyć, że ażdy podzbiór przestrzei eulidesowej R postaci ( a, b), ( a, b], [ a, b) lub [ a, b], gdzie a, b R i a < b, jest zarówo zbiore typu F σ jai i G δ. (b) Poażey, że zbiór liczb wyierych Q jest zbiore typu zbiore typu F σ, a zbiór liczb iewyierych I Q jest G δ, jeśli zbiory te rozpatrywae są jao podzbiory przestrzei eulidesowej R. Poieważ zbiór liczb wyierych Q jest zbiore przeliczaly, więc ustawiając go w ciąg =U = Q { }. A poieważ ażdy ze zbiorów { } q wyierych Q jest zbiore typu { } q q q,, K dostajey, q q jest doięty (gdyż jest jedoputowy), to zbiór liczb F σ. I dalej, poieważ I = R \ Q = R \ { q} = I[ R \ { q} ] R \ są otwarte, to zbiór liczb iewyierych I Q jest zbiore typu G δ. U Q i zbiory (c) Wyorzystujac twierdzeie Baire a oża poazać, że zbiór liczb iewyierych I Q ie jest zbiore typu F σ (a stąd, że zbiór liczb wyierych Q ie jest zbiore typu = = G δ ). Istotie, gdyby zbiór liczb iewyierych I Q był zbiore typu F σ, to byłby suą przeliczalej ilości zbiorów doiętych, z tórych ażdy byłby ta aprawdę zbiore brzegowy, gdyż sa zbiór liczb iewyierych jest zbiore brzegowy. Poieważ zaś zbiór liczb wyierych jest suą przeliczalej ilości zbiorów jedoputowych, czyli doiętych i brzegowych, więc cała przestrzeń zupeła R (zob. przyład 7) dałaby się przedstawić jao sua przeliczalej ilości zbiorów doiętych i brzegowych. Zgodie z twierdzeie Baire a (zob. twierdzeie 7), byłaby oa zbiore brzegowy, tj. It( R ) =, a wiey, że ta ie jest. A zate zbiór liczb iewyierych I Q ie jest zbiore typu F σ, i co za ty idzie, zbiór liczb wyierych Q ie jest zbiore typu G δ. Koleje twierdzeia podają pewe cechy, tóre charateryzują przestrzeie etrycze zupełe i ich podzbiory. Twierdzeie 76 Jeżeli (, ρ) X jest przestrzeią etryczą zupełą, to ażdy jej doięty podzbiór M też staowi przestrzeń etryczą zupełą. Musiy poazać, że przestrzeń etrycza (, ρ) M jest zupeła, tj., że ażdy ciąg putów tej przestrzei spełiający warue Cauchy ego jest zbieży (do putu tej przestrzei). Weźy zate dowoly ciąg { x } putów przestrzei M spełiający warue Cauchy ego. Oczywiście ciąg te spełia rówież warue Cauchy ego w przestrzei szerszej, tj. w przestrzei ( X, ρ), a poieważ jest to przestrzeń zupeła, więc istieje x X tai, że li = x. Korzystając z twierdzeia 8 (a) x Cl( M ), a poieważ zbiór M jest x doięty, więc x M. 5

6 Twierdzeie 77 Niech ( X, ρ) będzie dowolą przestrzeią etryczą, a ( M, ρ) jej podprzestrzeią. Jeżeli (, ρ) przestrzeią zupełą, to M jest zbiore doięty w X. M jest Musiy poazać, że M jest doiety podzbiore przestrzei X, co wobec uwagi 8 (a) sprowadza się do poazaia, że Cl ( M ) M. Weźy zate dowoly Cl( M ) putów przestrzei M tai, że li x a poieważ przestrzeń etrycza (, ρ) x li = y dla pewego M x. Na ocy twierdzeia 8 (a) istieje ciąg { x } = x. Poieważ ciąg te jest zbieży, więc spełia warue Cauchy ego, M jest zupeła, więc jest o zbieży do pewego putu zbioru M, tj. y. Z jedozaczości graicy w przestrzei etryczej (, ρ) X (zob. twierdzeie 7 (b)) wosiy teraz, że y = x, a poieważ y M, to i x M. Iluzja Cl ( M ) M zate zachodzi, tj. zbiór M jest doięty w X. Wiose 78 Jeżeli (, ρ) X jest przestrzeią etryczą zupełą i X wtedy, gdy M jest doięty podzbiore przestrzei X. M, to przestrzeń (, ρ) M jest zupeła wtedy i tylo Wyia bezpośredio z twierdzeń 76 i 77. Uwaga 79 Uwzględiając wiose 78 i przyład 7 dostajey: podzbiór M przestrzei eulidesowej przestrzeń etryczą zupełą wtedy i tylo wtedy, gdy M jest doięty podzbiore tej przestrzei. R staowi Poday teraz defiicję odwzorowaia zwężającego i putu stałego, a po iej sforułujey bardzo waże w zastosowaiach twierdzeie Baacha o pucie stały. Defiicja 8 (odwzorowaia zwężającego i putu stałego) Fucję f : X Y, gdzie ( X, ρ ) i ( Y, ρ ) są przestrzeiai etryczyi, azyway odwzorowaie zwężający, jeśli istieje liczba (,) Put α taa, że dla dowolych putów x, x X spełioa jest ierówość ( f ( x ), f ( x )) αρ ( x x ) ρ., x X jest pute stały przeształceia f X X :, jeśli ( x) x f =. Na oiec poday bez dowodu (dowód oża zaleźć w wielu pozycjach do aalizy) jeszcze jedo bardzo waże w zastosowaiach twierdzeie Baacha o pucie stały. Twierdzeie 8 (Baacha o pucie stały) Jeżeli przestrzeń etrycza (, ρ) doładie jede put stały. X jest zupeła i f : X X jest odwzorowaie zwężajacy, to f a 6