MACIERZE STOCHASTYCZNE

Transkrypt

1 MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść: a) p b) suma każdego wiersza jest rówa. ij Zauważmy też, że w macierzy tej ie może istieć koluma złożoa z samych zer. Każdą macierz spełiającą waruki a), b) azywamy macierzą stochastyczą. Uwaga. stochastycza i rozkład zmieej losowej X określają pewie łańcuch Markowa. Własości macierzy stochastyczych są zatem ściśle związae z własościami łańcuchów Markowa. Własości macierzy stochastyczych. Własość Średia arytmetycza i iloczy dwóch macierzy stochastyczych tego samego stopia są także macierzami stochastyczymi. P = Są macierzami stochastyczymi. Ich średia 5 /,5,5 / 6,75,5 5/ P / 3 = / 3 / 3 jest macierzą stochastyczą

2 Ich iloczy 5 / / 6,5 / 6 / 3 5/ / 6,5 jest macierzą stochastyczą A - dowola macierz kwadratowa stopia r. Wielomiaem charakterystyczym tej macierzy azywamy wielomia W ( λ) = det λ ( I A) Rówaie W ( λ) = azywamy rówaiem charakterystyczym. Pierwiastki tego rówaia to wartości włase lub pierwiastki charakterystycze tej macierzy. Niech λ,..., λ k - wartości włase macierzy A o krotościach α,..., α k (k r). Wektorem własym operatora f odpowiadającym wartości własej λ azywamy iezerowy wektor v spełiający waruek f(v) = λv. Własość: I) suma wartości własych (z krotościami) jest rówa śladowi macierzy tz. sumie elemetów jej przekątej. II) jest osobliwa wtedy i tylko wtedy gdy zero jest jej wartością własą ma rówaie charakterystycze i wartości włase: λ =, λ =. 3 λ W ( λ) = det = λ λ λ = Własości macierzy stochastyczych: a) Wartością własą każdej macierzy stochastyczej jest λ = (ozaczamy λ =),

3 Dowód. Dodajemy wszystkie kolumy macierzy ( λ I A) do pierwszej kolumy, sumy wierszy są rówe więc po dodaiu wszystkie elemety pierwszej kolumy są rówe λ - i moża tą wartość wyłączyć przed wyzaczik. b) Moduły wszystkich wartości własych dowolej macierzy stochastyczej są miejsze od, k c) (tw. Dooba ) istieje graica lim A, A ma własość PA = A A = A (macierz idempoteta), k = Klasyfikacja macierzy stochastyczych. i i> α = α > λ Regulare (tz. ierozkładale i iecyklicze) λ = ierozkładale i> i cyklicze rozkładale iecyklicze rozkładale cyklicze Tw. Frecheta (tw. Dooba dla macierzy ierozkładalych) Dla każdej ierozkładalej macierzy stochastyczej P istieje graica k lim E, k = e e E = e e e e er e r er (macierz ergodycza) E ma własość PE = E E = E i spełia waruki a), b) defiicji macierzy stochastyczej. Elemety macierzy E możemy wyzaczyć z waruków: r (P - I)e T =, e =, gdzie e = (e,..., e r ) i= i

4 Dla macierzy regularych tw. Dooba ma postać: Twierdzeie. Jeśli macierz stochastycza P jest regulara to istieje graica gdzie E - macierz ergodycza. lim P = E, Stochastycze macierze regulare charakteryzuje też tzw. twierdzeie ergodycze: Twierdzeie. Jeśli macierz stochastycza P jest regulara to istieje taka jej potęga w której co ajmiej jeda koluma ma wszystkie elemety dodatie.,5,75 ma wartości włase + 7 λ =, λ =, 8 7 λ 3 = więc jest macierzą regularą. 8 ma wartości włase λ =, λ =, λ o krotości, więc jest macierzą cykliczą ierozkładalą. 3 = ta ma własość P gdy ieparzyste P =. P gdy parzyste

5 λ = o krotości 3, λ =, ma wartości włase λ = 3, więc jest macierzą iecykliczą rozkładalą. stochastycza rozkładala (po ewetualym przestawieiu wierszy i kolum) ma bloki diagoale, które są macierzami stochastyczymi. Wartościami własymi macierzy P są wartości włase poszczególych bloków. W tym przykładzie są trzy bloki diagoale. ma wartości włase λ = o krotości, λ =, λ =, więc jest macierzą cykliczą rozkładalą. 3 przywiedla. kwadratowa P stopia azywa się przywiedla, jeśli przez odpowiedie permutacje wierszy i kolum moża przekształcić P do postaci B C D gdzie B, D są kwadratowe. W przeciwym przypadku macierz P azywa się ieprzywiedla. dodatia jest ieprzywiedla, Jeśli macierz ma zerowy wiersz lub kolumę zerową to jest przywiedla. diagoala lub trójkąta jest przywiedla.

6 Postać ormala macierzy stochastyczej. Postać ormala macierzy stochastyczej P stopia to macierz T T R T g S Otrzymaa z P przez odpowiedie permutacje wierszy i kolum, gdzie T i to macierze stochastycze i ieprzywiedle, g, g = krotość wartości własej. S kwadratowa, iestochastycza i ieprzywiedla (jeśli istieje). ma wartości włase λ = o krotości, λ = o krotości. Jej postać ormala Ma dwie macierze stochastycze Brak macierzy S i R. T = T =

7 ma wartości włase λ = o krotości, λ =, λ =, 5 iecyklicza. Jej postać ormala jest taka jak P. Jest to macierz rozkładala Ma dwie macierze stochastycze = T [ ] R =, S = T, = ZADANIA Zadaie. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy,5,75 Do jakiej klasy ależy ta macierz? Zadaie. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy,,,9,8 Do jakiej klasy ależy ta macierz? Zadaie 3. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy

8 Do jakiej klasy ależy ta macierz? Czy istieje Czy istieje k lim P? k lim P? k = Zadaie 4. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy Do jakiej klasy ależy ta macierz? / 3 / 3 / 3 Czy istieje Czy istieje k lim P? k lim P? k = Zadaie 5. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy,,,7 Do jakiej klasy ależy ta macierz? Przedstaw macierz P w postaci ormalej..kowalski,..9