tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

Transkrypt

1 R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych zmieej rzeczywistej pochode wyższych rze dów z aalogiczymi ozaczeiami. Niech podobie ja w poprzedim paragrafie K = R lub C. W paragrafie tym rozważać be dziemy rówaie różiczowe postaci (1) y () = a 1 (x)y ( 1) a (x)y + b(x), gdzie a 1,..., a, b sa fucjami cia g lymi a przedziale (p, q) R o wartościach z cia la K. Rówaie to azywać be dziemy rówaiem różiczowym liiowym -tego rze du. Niech day be dzie u lad rówań różiczowych liiowych pierwszego rze du postaci (2) y 1 = y y 1 = y y = a (x)y a 1 (x)y + b(x). W lasość 1. Jeżeli Ψ jest itegralym rozwia zaiem u ladu (2), to jest postaci (3) Ψ = [ϕ (l 1) ] 1 l, gdzie ϕ : (p, q) K jest rozwia zaiem rówaia (1). Odwrotie, jeśli ϕ : (p, q) K jest rozwia zaiem rówaia (1), to Ψ postaci (3) jest rozwia zaiem itegralym u ladu (2). D o w ó d. Niech Ψ = [ψ l ] 1 l be dzie itegralym rozwia zaiem u ladu (2). Oczywiście ψ l : (p, q) K. Po lóżmy ϕ = ψ 1. Wówczas z olejych rówań u ladu (2) mamy ψ 2 = ϕ,..., ψ = ϕ ( 1), ϕ () (x) = a 1 (x)ϕ ( 1) (x) a (x)ϕ(x) + b(x), x (p, q). Odwrotie, iech ϕ : (p, q) K spe lia rówaie (1). Po lóżmy ψ 1 = ϕ, ψ 2 = ϕ,..., ψ = ϕ ( 1). Wówczas ψ 1(x) = ψ 2 (x),..., ψ 1(x) = ψ (x), ψ (x) = a (x)ψ 1 (x) a 1 (x)ψ (x) + b(x), x (p, q). To ończy dowód. W dalszym cia gu tego paragrafu za lożymy, że K = R. Zatem a 1,..., a, b be teraz fucjami rzeczywistymi.

2 12. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE -TEGO RZȨDU 49 Niech η = (η 1,..., η ) R. K = R) dostajemy Z twierdzeia 8.1 i powyższej w lasości (dla Twierdzeie 1. Dla ażdego putu (ξ, η) (p, q) R istieje do ladie jedo rozwia zaie itegrale ϕ : (p, q) R rówaia (1) spe liaja ce warui pocza towe (por. (1.2)). ϕ(ξ) = η 1, ϕ (ξ) = η 2,..., ϕ ( 1) (ξ) = η, Wobec powyższego twierdzeia ograiczymy sie tylo do rozwia zań itegralych rówaia (1). Gdy b = 0, to rówaie (1) ma postać (4) y () = a 1 (x)y ( 1) a (x)y. Rówaie (4) azywać be dziemy jedorodym rówaiem różiczowym liiowym -tego rze du. Z w lasości 1 (dla K = R) i z w lasości 8.3 dostajemy W lasość 2. Ogó l itegralych rozwia zań rówaia (4) jest rzeczywista przestrzeia wetorowa -wymiarowa. Każ baze przestrzei, o tórej mowa powyżej, azywać be dziemy fudametalym u ladem rozwia zań rówaia (4). Z w lasości 2 otrzymujemy atychmiast Twierdzeie 2. Jeżeli ϕ 1,..., ϕ tworza fudametaly u lad rozwia zań rówaia (4), to ogó l rozwia zań itegralych rówaia (4) wyraża sie wzorem ϕ(x) = c 1 ϕ 1 (x) c ϕ (x), x (p, q), gdzie c 1,..., c sa dowolymi liczbami rzeczywistymi. Podamy teraz twierdzeie aalogicze do twierdzeia 9.1. sprowadzaj ace poszuiwaie fudametalego u ladu rozwi azań rówaia rzȩdu -tego, do poszuiwaia fudametalego u ladu rozwi azań rówaia rzȩdu ( 1) - go. Twierdzeie 3. Jeśli 1 ϕ 1 jest itegralym rozwi azaiem rówaia (4) taim, że ϕ 1 (x) 0 dla x (p, q), 2 ψ 2,..., ψ tworz a fudametaly u lad rozwi azań rówaia (5) z ( 1) = 1 ϕ 1 (x) 2 l=0 [ 1 =l+1 a l + 1 (x) ϕ ( l 1) 1 (x) ] ϕ ( l 1) l (x) z (l),

3 50 III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZȨDÓW 3 ω 2,..., ω s a dowolymi ustaloymi fucjami pierwotymi odpowiedio fucji ψ 2,..., ψ, to fucje (6) ϕ 1, ϕ 1 ω 2,..., ϕ 1 ω tworz a fudametaly u lad rozwi azań rówaia (4). D o w ó d. Poażemy ajpierw, że ażda z fucji (6) jest rozwi azaiem rówaia (4). Istotie, pierwsza z fucji (6) jest rozwi azaiem rówaia (4) a mocy 1, atomiast dla pozosta lych fucji (6) mamy (ϕ ) () = ϕ ( ) () =0 = ϕ () + = ϕ () l=0 =l+1 1 =1 1 =1 ( l = ϕ () 1 ω s + ϕ ( ) ( 1) + ϕ ( 1) ϕ ( ) ( 1) 1 m=1 =m 1 = ϕ () 1 ω s + a =1 m=1 ) a ϕ ( l 1) (l) 2 l=0 a m ϕ ( m) (m) ϕ ( m) m (m) 1 = ϕ () 1 ω [ s + a (ϕ ) () ϕ () =1 =0 ] ϕ ( l 1) l + 1 (l) [ ] 1 1 = ω s ϕ () 1 a ϕ () 1 + a (ϕ ) () + ω s a ϕ 1 =1 1 = a (ϕ ) (), s = 2,...,. =0 W osewecji wszystie fucje (6) s a rozwi azaiami rówaia (4). Poażemy teraz, że fucje (6) s a liiowo iezależe. Istotie, jeśli istiej a liczby c 1,..., c taie że c 1 ϕ 1 (x) + c 2 ϕ 1 (x) ω 2 (x) c ϕ 1 (x) ω (x) = 0 dla x (p, q), to poieważ ϕ 1 (x) 0 dla x (p, q), wiȩc (7) c 1 + c 2 ω 2 (x) c ω (x) = 0 dla x (p, q) i po zróżiczowaiu c 2 ψ 2 (x) c ψ (x) = 0

4 12. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE -TEGO RZȨDU 51 dla x (p, q). Poieważ ψ 2,..., ψ tworz a fudametaly u lad rozwi azań rówaia (5), wiȩc c 2 = 0,..., c = 0 i z (7) wyia, że c 1 = 0. To ończy dowód. Z twierdzeia 2 i w lasości 1 (dla K = R) otrzymujemy latwo Wiose 1. Niech ϕ 0 be dzie rozwia zaiem itegralym rówaia (1) oraz ϕ 1,..., ϕ be dzie fudametalym u ladem rozwia zań rówaia (4). Wówczas ogó l rozwia - zań rówaia (1) wyraża sie wzorem ϕ(x) = ϕ 0 (x) + c 1 ϕ 1 (x) c ϕ (x), x (p, q), gdzie c 1,..., c sa dowolymi liczbami rzeczywistymi. Niech ϕ 1,..., ϕ be itegralymi rozwia zaiami rówaia (4). Wyzaczi det[ϕ (l 1) ] 1 l, azywamy wrońsiaem u ladu ϕ 1,..., ϕ. Uwaga 1. Gdy day jest u lad fudametaly rozwia zań ϕ 1,..., ϕ rówaia (4), to ϕ 0 moża zaleźć meto wariacji sta lych, orzystaja c z twierdzeia 8.4. Ćwiczeia 1. Wyzaczyć ogó l rozwi azań itegralych astȩpuj acych rówań liiowych jedorodych w (p, q) R wiedz ac, że podaa fucja ϕ 1 jest rozwi azaiem: 2x a) y = (x+1)2 x 2 +1 y x 2 +1 y, (p, q) = R, ϕ 1 (x) = e x, x R, b) y = 12 x y, (p, q) = (0, + ), ϕ 2 1 (x) = x 4, x (0, + ). 2. Wyzaczyć ogó l rozwi azań itegralych astȩpuj acych rówań liiowych w (p, q) R wiedz ac, że podaa fucja ϕ 1 jest rozwi azaiem odpowiediego rówaia jedorodego: a) y = 4x x 2 +1 y 6x2 2 (x 2 +1) 2 y + 2x, (p, q) = R, ϕ 1 (x) = x 2 + 1, x R, b) y = 2x x 2 +1 y 2 x 2 +1 y 1, (p, q) = R, ϕ 1 (x) = x, x R, c) y = 2x x 2 +1 y 2 x 2 +1 y + 1 x, (p, q) = (0, + ), ϕ 1 (x) = x 2 1, x (0, + ), d) y = x 1 x y x y + x 1, (p, q) = (1, + ), ϕ 1 (x) = e x, x (1, + ), e) y = 2(x 1) 2x x 2 y + 2 2x x 2 y 2 2x x 2, (p, q) = (0, 2) ; ϕ 1 (x) = x 1, x (0, 2), f) y = 3 x y 4 x 2 y + x, (p, q) = (0, + ), ϕ 1 (x) = x 2, x (0, + ), g) y = 1 x y + 1 x 2 y + 4x (x 1), (p, q) = (0, + ), ϕ 1 (x) = x, x (0, + ). 3. Korzystaj ac z teorii rówań liiowych rzȩdu wyższego, wyzaczyć ogó l rozwi azań itegralych astȩpuj acych rówań w zbiorze (p, q) R: a) x 2 y = 12y, (p, q) = R (por. ćwiczeie 1b)), b) (1 x) y = xy + y, (p, q) = R (por. ćwiczeie 1d)), c) x 2 y = 3xy 4y, (p, q) = R (por. ćwiczeie 2f)).

5 52 III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZȨDÓW 13. Jedorode rówaie różiczowe liiowe -tego rze du o sta lych wspó lczyiach Pod ta azwa rozumieć be dziemy rówaie postaci (1) y () = a 1 y ( 1) a y, gdzie a 1,..., a K. Tutaj, podobie ja poprzedio, K = R lub C. Wielomiaem charaterystyczym rówaia (1) azywamy wielomia postaci (2) λ a 1 λ 1... a. Rozważmy teraz jedorody u lad rówań różiczowych liiowych pierwszego rze du o sta lych wspó lczyiach postaci (3) y 1 = y y 1 = y y = a y 1 + a 1 y a 1 y Macierz charaterystycza tego u ladu jest postaci λ a a 1... a 1 λ Wielomia charaterystyczy u ladu (3), be cy wyzacziiem powyższej macierzy jest rówy ( 1) (λ a 1 λ 1... a ), co sprawdzamy latwo z prostych w lasości wyzacziów. Widzimy sta d, że wielomia charaterystyczy (2) ma idetycze pierwiasti z wielomiaem charaterystyczym u ladu (3). Twierdzeie 1. Jeżeli λ 0 K jest p-rotym pierwiastiem wielomiau (2), to (4) e λ 0x, xe λ 0x,..., x p 1 e λ 0x sa liiowo iezależymi ad K rozwia zaiami rówaia (1). D o w ó d. Z powyższej obserwacji wyia, że λ 0 jest p-rotym pierwiastiem wielomiau charaterystyczego u ladu (3). Zatem z twierdzeia 11.2 i w lasości 12.1 dostajemy, że rówaie (1) ma p liiowo iezależych ad K rozwia zań postaci (5) e λ 0x P 1 (x),..., e λ 0x P p (x), x R, gdzie P jest wielomiaem o wspó lczyiach z K stopia ie wie szego iż 1, = 1,..., p. Wyia sta d, że wielomiay P 1,..., P p sa rówież liiowo iezależe ad K. Latwo sprawdzamy, że zbiór wielomiaów stopia ie wie szego iż p 1

6 13. JEDNORODNE RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE -TEGO RZE DU jest p-wymiarowa przestrzeia wetorowa ad K. Zatem P 1,..., P p sa jej baza. W osewecji dla ażdego {0,..., p 1} gdzie a l K. Sta d x = a 1 P 1 (x) a p P p (x), x R, (6) x e λ 0x = a 1 P 1 (x)e λ 0x a p P p (x)e λ 0x, x R. Latwo sprawdzamy, że ombiacja liiowa rozwia zań rówaia (1) jest jego rozwia - zaiem (w przypadu K = R jest to bezpośredia osewecja w lasości 12.2). Sta d, z (5) i (6) dostajemy, że fucje postaci (4) sa rozwia zaiem rówaia (1). Sa oe oczywiście liiowo iezależe ad K. To ończy dowód. W dalszym cia gu za ladamy, że K = R i a 1,..., a R. Bezpośredio z twierdzeia 1 dostajemy Wiose 1. Jeżeli λ 0 jest p-rotym rzeczywistym pierwiastiem rówaia (2), to rówaie (1) ma p liiowo iezależych ad R rozwia zań postaci (4). Wiose 2. Jeżeli λ 0 = σ+iτ jest p-rotym zespoloym pierwiastiem rówaia (2), τ 0, to rówaie (1) ma 2p liiowo iezależych ad R rozwia zań postaci (7) e σx cos τx, xe σx cos τx,..., x p 1 e σx cos τx, e σx si τx, xe σx si τx,..., x p 1 e σx si τx, x R. D o w ó d. Z twierdzeia 1 (dla K = C) wyia, że fucje postaci (4) sa rozwia zaiami rówaia (1). Sta d i z fatu, że rówaie (1) ma teraz wspó lczyii rzeczywiste wyia, że fucje postaci (7) sa rówież rozwia zaiami (1). Liiowa iezależość ad R fucji (7) wyia bezpośredio z lematu To ończy dowód. Z lematu 10.1 i z powyższych wiosów dostajemy latwo twierdzeie o fudametalym u ladzie rozwia zań rówaia (1). Niech λ 1 = σ 1 + iτ 1,..., λ r = σ r + iτ r be wszystimi różymi pierwiastami wielomiau (2) spe liaja cymi warue τ 0. Niech p 1,..., p r be odpowiedio rotościami tych pierwiastów. Twierdzeie 2. Jeżeli ażdemu {1,..., r} zgodie z wiosiem 1 albo 2 przyporz adujemy p albo 2p rozwi azań w zależości od tego czy τ = 0, czy τ > 0, to otrzymamy fudametaly u lad rozwia zań rówaia (1). Uwaga 1. W przypadu rówaia (12.1), gdy a 1,..., a sa sta lymi rzeczywistymi, moża zajdować rozwia zaia szczególe tego rówaia meto przewidywań ie orzystaja c z metody wariacji sta lych.

7 54 III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZȨDÓW Ćwiczeia 1. Wyzaczyć ogó l rozwi azań itegralych astȩpuj acych rówań liiowych jedorodych o sta lych wspó lczyiach w R R: a) y 2y y + 2y = 0, b) y (5) 2y (4) + y (3) = 0, c) y + 4y = 0, d) y (4) + y = Wyzaczyć ogó l rozwi azań itegralych astȩpuj acych rówań liiowych w R R: a) y y = 1 e x +1, b) y 3y + 3y y = ex 1+x, 2 c) y y = x 2 x + 1, d) y y = e 2x, e) y y = e x, f) y + y + y = cos 2x.