ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

Transkrypt

1 AALIZA FOURIEROWSKA szybi trasformaty Fourira dowola fuję priodyzą F( w zasi lub przstrzi (tx, ors T) moża przdstawić jao () F( b o + [ a si( + b os( ] gdzi π / T lub ω zauważmy, ż ω, jst ajiższą zęstośią w szrgu zęstośią fuji orsowj Aaliza fourirowsa: zalzii współzyiów a b ( ) T a F( si( dt ors b F( os( dt T ors dla fuji iorsowj ajiższa zęstość moż być mijsza od ω i zęstośi w rozładzi () mogą przbigać iągł widmo:

2 ( 3) F( π ( ω) iω t dω - iągła fuja (ω) odpowidi a, b wówzas (4) ( ω) F( iω t dt widzą, ż ω πf, T /f mamy ( A) F( ( f ) π ift df ( B) ( f ) F( π ift dt C(f) mówi z jaą wagą występuj zęstość f w sygal ałi są od [-, + ], podobi dla ał po ω ( f ), zęstośi będą wówzas dodati i ujm fuja F( moż być p sygałm zdfiiowaym w pwym przdzial zasowym, rówaia (A) i (B) poazują jai jst widmo (rozład) fuji F ( sygału ) a zęstośi ; tz z jaih zęstośi się słada W praty mamy a ogół sygał F próboway dysrti z roim F F( ),,,,3,

3 DYSKRETA TRASFORMATA FOURIERA Zalzii zęstośi sładająyh się a F( zęstość rytyza yquista f f jst zęstośią fuji si(, dla tórj próbowai odbywa się x a ors; jst to ajwięsza zęstość, tórą moża odwzorować przy taim próbowaiu jśli F( i zawira zęstośi więszyh od f, tz C(f) dla f > f (*) wówzas F( jst śiśl orślo przz dysrty, isońzoy rozład F( si[ f ( t )] + F π ( t ) moża poazać, ż dla rzzywistj fuji F( C(-f) [C(f)]* ; dla :,-,-,,,, C porywa f [-, + ] Gdy jda waru (*) i jst spłioy zęstośi z przdziału f > f zostają fałszywi zmapowa do przdziału f < f

4 przy próbah (załóżmy parzys możmy dostać max zęstośi w przdzial -f - f poszuamy ih tylo dla ułamów tz f f,,, przybliżają ałę (B) przz dysrtą sumę ( f ) F( π if t dt F π if t (pamiętamy, ż Δ to ro zasu; przz Δ możmy sróić wyiągają przd sumę ) pamiętają, ż f /( Δ) oraz ż t Δ dostajmy f t / a ozazi F π i / daj am uład zspoloyh rówań algbraizyh C orślają wagę z jaą f występuj w sygal

5 gdzi b xp(πi/) wyzazi wymaga * możń (w dzidzii zspoloj) jśli ^6 (tz p próbowai z zęstotliwośią GHz sygału trwajągo ms) to dla *7 opraji zmioprziowgo możia a sudę, DFT wymaga 3 godzi oblizń FFT Załóżmy (parzys i ozazmy zatm,, F F b b b W i / π i F / π

6 dzilą zbiór lizb (jst ih ) a parzyst i iparzyst a to jst π i( ) / ( + ) / + π i F F + π i /( ) π i /( ) F + W F + +W p p tz trasformata Fourira z parzystyh prób (tóryh jst /) + trasformata Fourira z iparzystyh prób * W (tóryh tż jst /) ażda o wymiarz / sortują ajpirw parzyst, a potm iparzyst F mamy

7 p p p p W W W W / / / / (***) i ta susywi możmy rozładać olj trasformaty a trasformaty o wymiarz x mijszym w tym rou mamy możń ( x /) w astępym będzi możń ( x x /4) w oljyh będzi możń (już w tym pirwszym rou, wyoujmy możń, al ażda z trasformat połówowyh wymagałaby tylo (/)*(/) możń, zyli x /4 /, o w sumi daj + / < * (dla dużyh ) roów jst tyl,, il razy dzili się przz, tz log zatm ilość możń jst log swja tyh roów musi być wyoywaa od ońa Dla 6 (~ ) i 7 FLOPS zas oblizń wyisi sudy

8 Algorytm FTT słada się z tapów Sgrgaji F a parzyst i iparzyst ( musi być potęgą ) Wyoaia pętli roów (z możiami w ażdj) ad rozważmy przypad 8, pozątow idsy oljyh prób są: uładają ajpirw parzyst parzyst iparzyst al w drugim rou musimy w ażdj grupi od owa idsować próbi 3 3 i poowi w ażdj grupi podzilić a parzyst i iparzyst 3 3 parz parz parz parz a ostatzi zostaą poidsowa jao zapytajmy w jaim szrgu stoją traz orygial próbi? tai ustawii od pozątu, gwaratuj, ż dzilą ids / zawsz dostaimy wpirw parzyst a astępi iparzyst bz oizośi iągłgo przstawiaia prób

9 podobi dla 6 śldzą oljość pozątowj swji dostaimy alży zatm ta posgrgować wjśiowy wtor wartośi F żby przy ażdym podzial / ajpirw były zawsz idsy () parzyst a astępi iparzyst - żby i trzba było iągl sortować z względu a zyii b - (pamiętają, ż w ażdym rou (podzial) umrujmy F od owa od - do - / tz pozątow jst podzilo / ) Zobazmy o to ozaza dla biarj rprztaji idsów Przyład 8, (3)

10 bit () () () (3) () () () (3) bit () () () () () () () () widzimy, ż jst to opraja odwraaia bitów w dwójowj rprztaji a dzili przz to obiai ostatigo bitu algorytm odwraaia bitów: () oraz - () i ulgają zmiai ih i przbiga wartośi od do i - umruj olj idsy atural [ pętla adrzęda ] -, tz dla dago i, ih j będzi idsm, tóry alży przstawić z i (tylo gdy j>i ); dla ażdgo i, ładzimy a pozątu j dzilimy susywi i/ w pętli aż do otrzymaia a olj rszty R możymy przz -, gdzi powięsza się od o jd w ażdym rou pętli przstawiia dooujmy <> j>i

11 fragmt programu dla tabliy F idsowaj od do lab: j:; for i: to do bgi if j>i th bgi tmp:f(j); F(j):F(i); F(i):tmp; d; m:/; if (m>)ad(j>m) th bgi j:j-m; m:m/; goto lab; d; j:j+m; d; ilustruj to program P_P_FTT ad Zazyamy od tabliy dayh F jj lmty możymy oljo przz,w,,w,,w, (przz i trzba możyć) tworzą olj C z pary dwóh oljyh F i dla przyładu 8 : F F F F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 - pozątow F F 4 F F 6 F F 5 F 3 F 7 - uszrgowa ajpirw z oljyh dwóh, p F F 4 tworzymy pary

12 C C C C C C C C p C F + W * F 4, C F + W * F 6, itp w sumi 8 możń z tyh 4-h par tworzymy dwi 4-i C C + W * C C C + W * C C C + W * C C 3 C + W 3 * C oraz drugą zwórę C C + W * C C C + W * C C C + W * C C 3 C + W 3 * C b W moża utrzymywać tablię wartośi W, lub oljo amażać W a W w astępym rou pętli bigąj aż do log i oljy ro da z tyh dwu zwór -> ósm wartośi w sumi 3 roi po 8 możń 4 możia, (a mogło być 8x864) algorytm odwraaia bitów idsów zapwia, ż wszysti F zostaą odpowidio uszrgowa, zapwiają w ażdym rou oljość parzyst / iparzyst