Fraktale - ciąg g dalszy

Transkrypt

1 Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety ogóliejszej teorii wyjaśiaj iającej feome powstałego zbioru. 1. Koleja próba defiicji fraktala 1.1. Cechy określaj lające fraktal Beoit Madelbrot - The Fractal Geometry of Nature, Fraktal ma trzy własow asości. Nie jest bezpośredio określoy wzorem, lecz przy pomocy algorytmu rekurecyjego. Ma własow asość samopodobieństwa stwa (część faraktala przypomia całość ść. Wymiar fraktala ie jest liczbą całkowit kowitą Wymiar fraktaly Wiadomo, że pukt ma wymiar 0, odciek ma wymiar 1, kwadrat ma wymiar 2, sześcia ma wymiar 3 i tak dalej. Jaki wymiar mają,, zbiór Catora,, trójk jkąt t Sierpińskiego czy zbiór Madelbrota? Wydaje się dość sesowe uogólieie pojęcia wymiaru a liczby iecałkowite. 3 Defiicja wymiaru Hausdorffa (1919 Defiicja wymiaru Kołmogorowa (1958 Wymiar zbioru według Kołmogorowa (dla R 2 Pokrywa się zbiór r siatką figur geometryczych (p. kwadratów w o boku rówymr i oblicza liczbę d. - rozmiar oczka siatki N( - ajmiejsza liczba oczek,, potrzeba do pokrycia zbioru log N( d = lim 0 log( 1 4 1

2 Przykład 1 - trójk jkąt t Sierpińskiego Przykład 2 - trójk jkąt t rówoboczyr = 1, N( = 1 = 1/2, N( = 3 = 1, N( = 1 = 1/2, N( = 4 = 1/4, N( = 9 = (1/2, N( = 3 = 1/4, N( = 16 = (1/2, N( = 4 log N ( log( 3 d = lim = lim 0 log( 1 log( 2 log 3 = = 1, log 2 log N ( log( 4 d = lim = lim 0 log( 1 log( 2 log 4 2 log 2 = = = 2 log 2 log Wymiar fraktaly dla iektórych zbiorów: zbiór Catora d = log2/log3 = 0,630929, krzywa vo Kocha d = log4/log3 = 1,261869, trójk jkąt t Sierpińskiego d = log3/log3 = 1,584962, dywa Sierpińskiego d = log8/log3 = 1,892789, brzeg zbioru Madelbrota d =? Zastosowaie - filtracja fraktala obrazu pukt a obrazie obszar, w którym obliczay jest d pukt a obrazie d 0, 75 pukt usuwa się d > 0, 75 obszar, w którym obliczay jest d pukt pozostaje 7 2. Układy odwzorowań iterowaych (IFS IFS - Iterated Fuctio System 2.1. Odwzorowaia afiicze Rozważmy astępuj pujące odwzorowaie w R 2 (,y (,y ϕ : gdzie (, y y i (,y są puktami płaszczyzyp aszczyzy. Rozpatrywaa będzie b szczególa postać odwzorowaia, tak zwae odwzorowaie afiicze opisae wzorem = a + by + c ϕ : y = d + ey + f 8 2

3 Defiicja 1: Odwzorowaie afiicze azywamy zwęż ężającym, jeśli każdy odciek podday temu przekształceiu ulega skróceiu. Przykład 3 Niech będąb dae odwzorowaia afiicze 1, 2, 2, 4 o współczyikach zapisaych w tabeli 1 oraz liczby s i p Tabela 1 a b c d e f s p 1-0, ,00-0,18 0,81 10,0 0,8613 0, , ,00-0,10 0,40 0,0 0,6217 0, , ,00-0,10 0,40 0,0 0,6217 0, , ,00 0,44 0,44-2,0 0,6263 0,0440 s - długość odcika [0,1], poddaego odwzorowaiu i p - pole figury o polu 1,, poddaej odwzorowaiu i 9 lgorytm geeracji zbioru oparty a odwzorowaiach 1, 2, 2, 4 jest astępuj pujący: 1. Za pukt startowy procesu geeracji zbioru wybrać dowoly pukt płaszczyzy p R Ze zbioru czterech odwzorowań 1, 2, 2, 4 wylosować jedo, posługuj ugując c się geeratorem dyskretej zmieej losowej p. (p i =1/4; i=1, 2, 3, 4 3. UżywajU ywając c wylosowaego odwzorowaia wyliczyć współrz rzęde owego puktu płaszczyzyp R 2 4. Przyjąć wyliczoy pukt, jako owy pukt startowy i powtórzy rzyć krok Po wykoaiu iteracji obraz uzyskaego zbioru wygląda tak: a po wykoaiu iteracji tak:

4 Wiosek: Bardzo skomplikoway obiekt jest możliwy do opisaia przy pomocy stosukowo iewielkiego zbioru iformacji: 24 liczby ( współczyiki odwzorowań 1, 2, 3, 4, prosty algorytm obliczeiowy. Pytaie 1: Czy i jak otrzymay po dużej liczbie iteracji zbiór r zależy y od puktu startowego algorytmu i jakie sąs własości tego zbioru? Pytaie 2: Jaka jest rola czyika losowego występuj pującego w algorytmie? Czy możliwa jest geeracja zbioru przy pomocy algorytmu determiistyczego? 13 Przykład 4 Niech będzie dae astępujące odwzorowaie ϕ( = ϕ1( ϕ2( ϕ3( ϕ4( gdzie jest podzbiorem przestrzei R 2 a 1, 2, 2, 4 odwzorowaiami określoymi w tabeli 1. Zbiór choiki moża otrzymać przy pomocy algorytmu determiistyczego w astępujący sposób. 1. Za pukt startowy procesu geeracji obrać dowoly podzbiór 0 płaszczyzy R 2, w szczególości pukt. 2. Wygeerować podzbiór 1 = ( 1 ϕ Geerować koleje podzbiory według reguły czyli iaczej k + 1 = ϕ( k 0-1 pukt 1-4 pukty 2-16 puktów k - 4 k puktów W graicy powstaie te sam zbiór r co poprzedio Podstawy aalizy fukcjoalej Niech będzie b day zbiór r pewie zbiór X. Defiicja 2: Metryką w zbiorze X azywamy fukcję d : X X R spełiaj iającą astępuj pujące waruki: d (, = 0 = d( 1,2 = d( 2,1 d( 1,2 + d( 2,3 d( 1,3 Dla przykładu X=R 2 i tzw. metryka euklidesowa d 2 [(, y,(, y ] = ( + ( y y2 16 4

5 Defiicja 3: Przestrzeią metryczą azywamy parę (X, d. Defiicja 4: Ciąg { 1, 2,,, i, } elemetów w metryczej (X, d jest ciągiem Cauchy ego jeżeli eli d (, m 0 gdy przestrzei Defiicja 5: Jeżeli eli dla każdego ciągu Cauchy ego { i } istieje w przestrzei metryczej (X, d elemet taki, że d (, to przestrzeń (X, d d jest zupeła a Cauchy ego ego. 0 gdy azywa się graicą ciągu Defiicja 6: Operację f azywamy zwęż ężającą w przestrzei metryczej (X, d jeżeli eli dla dowolego X zachodzi f( X i jeżeli eli istieje taka liczba λ ( 0, 1,że, e dla dowolych 1, 2 X spełioy jest waruek Lipschitza w postaci Defiicja 7: Rozwiązaie zaie puktem stałym operacji f. [ f (, f ( ] d(, d 1 2 λ 1 2 rówaia r =f( azywae jest Twierdzeie (Baacha o odwzorowaiu zwęż ężającym W przestrzei metryczej zupełej (X, d operacja zwęż ężająca ma dokładie jede pukt stały Odległość pomiędzy zbiorami Niech (X, d będzie przestrzeią metryczą zupełą (p. R 2 z metryką euklidesową a H(X przestrzeią,, której elemetami sąs zwarte i iepuste podzbiory X. Pytaie : Jak określi lić metrykę w przestrzei H(X czyli odległość pomiędzy zbiorami? 0dległość zbioru od zbioru d(,b B d(b, d(,b = ma d( B, = ma y { d(,b : } { d( y, : y B} 0dległość puktu od zbioru d(,b B d(y, y d(,b = mi d( y, = mi y { d(,y : y B} { d(, y : } 0dległość pomiędzy zbiorami (metryka Hausdorffa h (,B = ma h(,, B spełia trzy waruki metryki. { d(,b, d( B, }

6 2.4. Wioski W zbiorze H(X określoo metrykę h,, czyli (H(X,(X, h jest przestrzeią metryczą. Dla choiki geerowaej według algorytmu z rysuku, moża pokazać, że e koleje zbiory j są elemetami H(X oraz, że e odwzorowaie ( jest zwęż ężające. 0-1 pukt pukty Spełioe sąs więc założeia twierdzeia Baacha, czyli choika w graicy jest zawsze taka sama i ie zależy y od tego jaki jest zbiór