Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Transkrypt

1 Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to proszę wyjaśić dlaczego. Zad Udowodić, że każda symetrycza macierz idempoteta jest określoa ieujemie. (Wskazówka: z założeń: M = M, MM = M, czyli M M = M. Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) Zad Pokazać, że det( A ) = det( A) (Wskazówka: AA I AB = A B ). = oraz det( ) det( ) det( ) Zad Czy macierz A = oparciu o zadaie 7 z ćwiczeń. jest macierzą idempotetą? Proszę odpowiedzieć w Zad 5 Daa jest fukcja f ( x, x) = 5x + x xx x +. Wyzacz ekstrema (określić typ miimum czy maksimum lokale). Zad 6 Daa jest fukcja f ( x, x) = x + x xx. Czy pukt (,) jest puktem ekstremalym? (Wskazówka: wystarczy sprawdzić czy pukt (,) spełia warukek koieczy a istieie ekstremum lokalego). Zad 7 Sprawdź, że macierz jest określoa dodatio. Proszę pokazać to a dwa sposoby: z defiicji oraz stosując kryterium, że d > 0, d > 0. Zad 8

2 x Niech x = x będzie wektorem losowym takim, że: x obliczyć: E( x + x + 5 x ) a) b) Var x x + x ( ) c) corr x x x ( +, ) (korelacja) (Wskazówka: corr( x x, x ) E( x) =, Var 0 =. Proszę 0 cov( x + x, x ) + = Var x + x Var x ) ( ) ( ) Zad 9 x Niech x = x będzie wektorem losowym takim że: E( x) =, Var =. x x + obliczyć wartość oczekiwaą i wariację wektora losowego y = x x. + Proszę Zad 0 Niech X będzie zmieą losową. Ile wyosi corr( ax + b, X ), gdzie a,b są liczbami cov( ax + b, X ) rzeczywistymi? (Wskazówka: corr( ax + b, X ) = oraz cov( b, X ) = 0 ) Var ( ax + b) Var ( X ) Zad Mamy wektor x ~ N ( µ, ), gdzie y x + x? = x x + µ =,. = Jaki rozkład ma wektor losowy Zad a) Niech X i Y będą iezależymi zmieymi losowymi. Czemu jest rówe E( X + XY Y)? (Wskazówka: Należy skorzystać z astępujących własości warukowej wartości oczekiwaej: E( ay + by X ) = ae( Y X ) + be( Y X ) ; X i Y są iezależe, to E( Y X ) = EY; E( a X ) = a gdzie a ozacza skalar oraz jeżeli Z = f ( X ), to E( ZY X ) = ZE( Y X ) ) b) Proszę obliczyć E( Y ), jeśli E( X ) =, E( Y X ) = X. Zad Niech X,..., X 6 (=6) będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie N = ( µ, ). Defiiujemy astępujący estymator parametru µ : ˆ µ = X. a) Wyzacz wartość oczekiwaą i wariację ˆ. µ Czy jest to estymator ieobciążoy? Jaki rozkład ma ˆ µ? (Wskazówka: Sumując zmiee losowe z rozkładu ormalego i przemażając przez skalar otrzymujemy rozkład ormaly, a u w zadaiu mamy: ˆ µ X i= = = X ; trzeba tylko określić średią i wariację) i

3 b) Załóżmy dodatkowo, że: = i X =. Wyzacz 95% przedział ufości dla X µ. (Wskazówka: Jeżeli X ~ N( m, ), to m ~ N(0,). Jaki rozkład ma X µ? ) c) Przy daych z podpuktu b) przetestuj hipotezę H : 0 0 µ = a poziomie istotości 0,05. (Wskazówka: Należy użyć X µ jako statystyki testowej). W podpukcie b) i c) będzie potrzeby kwatyl rzędu 0,975 z rozkładu ormalego stadardowego: u 0,975 =,96. Zad Niech X ~ N( µ, ), X ~ N( µ, ) oraz X i X są iezależe. Defiiujemy estymator parametru µ w astępujący sposób: ˆ µ = a X + a X. a) Wyzaczyć a, a w taki sposób, aby ˆµ był estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji. b) Jaki rozkład ma ˆµ, dla uzyskaych w podpukcie a) wartości a, a? Zad 5 Rzucamy 0 razy symetryczą moetą. Niech X ozacza liczbę orłów w pierwszych czterech rzutach, atomiast Y ozacza łączą liczbę uzyskaych orłów w 0 rzutach. Obliczyć E( Y X ). (Wskazówka: Niech Z ozacza liczbę orłów w 6 ostatich rzutach. Wówczas: Y = X + Z E( Y X ) = E( X + Z X ) i korzystamy z własości warukowej wartości oczekiwaej). Zad 6 Z defiicji kowariacji pokazać, że dla a, b, c, d R oraz dowolych zmieych losowych X i Y zachodzi: cov( ax + b, cy + d) = ac cov( X, Y ). Zad 7 Zmiea losowa X ma wariację rówą / oraz cov( X, Y ) =. Dla jakiej wartości stałej c, zmiee losowe X i Y cx są ieskorelowae? Przykładowa kartkówka: Zadaie Zazacz, czy podae stwierdzeie jest prawdziwe czy fałszywe (poprawa odpowiedź: pkt, brak odpowiedzi: 0 pkt, ieporawa odpowiedź: pkt). a) Niech A będzie macierzą wymiaru x. Z tego, że det( A ) = 007 wyika, że macierz A ie może być ujemie określoa. PRAWDA / FAŁSZ Stwierdzeie jest prawdziwe, poieważ macierz A wymiaru x jest ujemie określoa d < 0, d > 0, d < 0. Zgodie z treścią zadaia d = det( A) = 007 > 0, czyli A ie koże być ujemie określoa. β Aβ b) Jeśli macierz A jest macierzą symetryczą, to β = Aβ. PRAWDA / FAŁSZ Uzasadieie prawdziwości stwierdzeia zajduje się w materiałach powtórkowych z aalizy.

4 c) det( ABC) = det( A )det( B )det( C ) PRAWDA / FAŁSZ Korzystamy z det( ABC) = det( A)det( B)det( C) oraz faktu, że wyzaczik dowolej macierzy i macierzy do iej traspoowaej są sobie rówe. d) Istieje ieskończeie wiele symetryczych macierzy idempotetych, których ślad wyosi 007. PRAWDA / FAŁSZ Korzystamy z twierdzeia: symetrycza macierz idempoteta M ma wartości włase rówe 0 lub oraz r( M ) = tr( M ). Poieważ zawsze r( M ) 0, to ślad ie może być ujemy. Zadaie a) Udowodij, że macierz X X jest macierzą symetryczą. b) Pokazać, że ( AB) = B A. Rozwiązaie a) Pytaie czy zachodzi X X = ( X X )? Skorzystamy z faktu, że ( AB) = B A : ( X X ) = X ( { X ) = X X X b) ( AB) = B A A przemażamy z prawej stroy ( AB) A = B { A A B przemażamy z prawej stroy ({ AB) { AB = { B B C C I C C = I I Zadaie Daa jest fukcja f ( x, x ) = x + x x x. Czy pukt (,) jest puktem ekstremalym? Rozwiązaie Wyzaczamy gradiet: f x x x = x x + Sprawdzamy, czy gradiet zeruje się w pukcie (,): f * 0 x (,) = = + * 0 czyli pukt (,) ie może być puktem ekstremalym. Zadaie Zazacz, czy podae stwierdzeie jest prawdziwe czy fałszywe (poprawa odpowiedź: pkt, brak odpowiedzi: 0 pkt, iepoprawa odpowiedź: pkt). a) Jeśli E( Y X ) = EY, to X i Y muszą być iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie ormalym. PRAWDA / FAŁSZ E( Y X ) = EY - zachodzi dla dowolych iezależych zmieych losowych, założeie o ormalości rozkładu jest iepotrzebe. b) Błąd drugiego rodzaju, to prawdopodobieństwo odrzuceia hipotezy H, 0 gdy jest oa prawdziwa. PRAWDA / FAŁSZ

5 Jest to defiicja błędu pierwszego rodzaju. c) Niech g( θ ) będzie fukcją iezaego parametru. Rozważmy dwie statystyki g = g( X,..., X ) i g = g( X,..., X ). Mówimy, że [ g, g ] jest przedziałem ufości dla g( θ ) a poziomie ufości α, jeśli dla każdego θ zachodzi: P( g( X,..., X ) g( θ ) g( X,..., X )) < α. PRAWDA / FAŁSZ W defiicji przedziału ufości mamy, że P( g( X,..., X ) g( θ ) g( X,..., X )) α. Zadaie 5 Mamy wektor x ~ N ( µ, ), gdzie y x + x? = x x + Rozwiązaie µ =,. = Jaki rozkład ma wektor losowy x + x x y = x x = + x - y powstaje w wyiku afiiczego przekształceia + { B a wektora losowego, który ma rozkład ormaly, więc rówież będzie miał rozkład ormaly. Pozostaje tylko wyzaczyć wartość oczekiwaą i macierz wariacji-kowariacji: E( x ) + E( x) + * 9 E( y) = = = E( x ) E( x) + * * + Wyzaczając wariację skorzystamy z faktu: dla dowolego wektora losowego ε, wektora ielosowego a i macierzy ielosowej B: Var( a + Bε ) = BVar( ε ) B. Var( y) = = 9 Czyli ostateczie otrzymujemy: y ~ N ; Zadaie 6 Niech X,..., X 6 (=6) będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie N = ( µ, ). Defiiujemy astępujący estymator parametru µ : ˆ µ = X. Załóżmy dodatkowo, że: = i X =. Wyzacz 95% przedział ufości dla µ. Do rozwiązaia zadaia potrzeby będzie kwatyl rzędu 0,975 z rozkładu ormalego stadardowego: u 0,975 =,96. Rozwiązaie Zaczyamy od wyzaczeia rozkładu ˆ µ = X = ( X X ).... ~ ( µ, ) Z = X + + X N - zmiea losowa będąca sumą iezależych zmieych losowych o rozkładzie ormalym N ( µ, ) dalej ma rozkład ormaly. Wartość oczekiwaą i wariację Z wyzaczamy w astępujący sposób: 5

6 E( Z) = E( X ) E( X ) = µ, µ µ Var Z Var X X ( ) = ( ) = {Wariacja sumy iezależych zmieych losowych jest rówa sumie wariacji tych zmieych losowych}= Var( X) Var( X ) = Następie zmieą losową Z o rozkładzie ormalym przemażamy przez / jest to przekształceie liiowe, więc w wyiku otrzymamy zmieą losową także o rozkładzie ormalym. Poiżej wyzaczamy wartość oczekiwaą i wariację: E( X ) = E( Z) = { E( Z) = µ µ Var( Z ) = Var( Z) = Czyli ostateczie otrzymujemy: ~ (, ). X N µ Następie dokoujemy stadaryzacji zmieej losowej X - odejmujemy średią i dzielimy przez odchyleie stadardowe: X µ X µ = ~ N(0,). Uzyskaa zmiea losowa dalej ma rozkład ormaly, gdyż powstaje w wyiku liiowego przekształceia zmieej o rozkładzie ormalym. Poiżej wyliczamy wartość oczekiwaą i wariację: X µ E( ) = ( { E( X ) µ ) = 0 µ X µ Var( ) = Var( X µ ) = Var( X ) = Przechodzimy do wyzaczeia przedziału ufości. Wiemy, że u 0,975 =,96 jest kwatylem rzędu 0,975 dla rozkładu ormalego stadardowego, czyli F( u 0,975) = 0,975, gdzie F jest dystrybuatą rozkładu ormalego stadardowego. Korzystając z symetryczości tego rozkładu mamy, że u = u Liczymy astępujące prawdopodobieństwo: 0,05 0,975. P( u u ) = F( u ) F( u ) = 0,975 0,05 = 0,95 X µ 0,05 0,975 0,975 0,05 Przekształcamy podwóją ierówość w taki sposób, aby pośrodku został samo µ : P( u u ) = P( u X µ u ) = P( X + u µ X + u ) = X µ 0,05 0,975 0,05 0,975 0,05 0,975 P( X u0,975 µ X u0,05 ) = { u 0,05 = u 0,975 } = P( X u0,975 µ X + u0,975 ) Czyli poszukiway przedział ufości ma postać: [ ; ] [,96* ;,96* X u X + u = + ] = [0,0;,98] 0,975 0,