ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.

Transkrypt

1 ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką a zbiorze Jak wyglądają kule w przestrzei (X, σ) w stosuku do kul w przestrzei (X, ρ)? Wykaż, że metryki ρ i σ są rówoważe. 2. Sprawdź waruki metryki, a astępie arysuj kule a płaszczyźie z metryką euklidesową, maksimum, rzeka, kolejową i dyskretą. Które z tych metryk są rówoważe a które ie? 3. Podaj przykład ieskończoego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych, w którym metryka dyskreta i aturala metryka euklidesowa są rówoważe. 4. Niech X = C[0,1] będzie zbiorem wszystkich fukcji ciągłych określoych a odciku domkiętym [0,1]. Udowodij, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(f, g) = sup x [0,1] { f(x) g(x) } jest metryką a zbiorze 6. Niech X będzie przestrzeią z poprzediego zadaia. Jakie fukcje ależą do kuli o promieiu 1 której środkiem jest fukcja a) stała, dla każdego x przyjmująca wartość 2, b) idetyczościowa ( zdefiiowaa wzorem f(x) = x )? 7. Podaj przykład podzbioru płaszczyzy, który jest domkięty a płaszczyźie z metryką rzeka a ie jest domkięty a płaszczyźie z metryką kolejową i przykład zbioru, który jest domkięty a płaszczyźie z metryką kolejową a ie jest domkięty a płaszczyźie z metryką rzeka. 8. Wykazać, że dla każdej przestrzei metryczej (X, d) po wprowadzeiu a zbiorze X owej metryki za pomocą wzoru d (x, y) = d(x,y) 1+d(x,y) otrzymujemy przestrzeń homeomorficzą z przestrzeią wyjściową. 9. Czy w ieskończoej przestrzei metryczej musi być ieskończeie wiele różych kul? II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE. 1. Podaj przykład przestrzei metryczej i jej podzbioru, który jest jedocześie otwarty i domkięty, różego od całej przestrzei i od zbioru pustego. 2. Podaj przykład pokazujący, że przeliczala suma zbiorów domkiętych ie musi być zbiorem domkiętym. 3. Podaj przykład pokazujący, że przeliczaly iloczy zbiorów otwartych ie musi być zbiorem otwartym. 4. Udowodij, że podzbiór A przestrzei metryczej X jest domkięty wtedy i tylko wtedy gdy ρ(x, A) = 0 x A, gdzie ρ(x, A) = if ρ(x, a) 5. a) Wykazać, że zbiór puktów płaszczyzy o obu współrzędych całkowitych jest podzbiorem domkiętym płaszczyzy. x A

2 b) Wykazać, że zbiór puktów płaszczyzy o obu współrzędych wymierych ie jest podzbiorem domkiętym płaszczyzy. III. CIĄGI ZBIEŻNE. 1. Niech x =< 1, 1 >, y =< 1, 1 >, z =< 1, 1 >, t =< 1 + 1, 1 >, s =< 1, >, r =< 1 + 1, >. Na płaszczyźie z jakimi metrykami (z metryk: maksimum, euklidesowa, dyskreta, kolejowa, rzeka ) poszczególe ciągi są zbieże? 2. Podaj przykład przestrzei metryczej X, jej podprzestrzei A oraz ciągu puktów A zbieżego w X, który ie jest zbieży w A. 3. Udowodij, że przestrzeń metrycza X jest dyskreta (ma topologię dyskretą, ie koieczie metrykę 0 1 ) wtedy i tylko wtedy gdy w przestrzei X są zbieże jedyie ciągi od pewego miejsca stałe. IV. OPERACJA DOMKNIĘCIA. WNĘTRZE ZBIORU. 1. Zajdź domkięcie, wętrze i ograiczeie a płaszczyźie z metryką rzeka astępujących zbiorów: a) A = (0,1] (0,1], b) B = Q R, c) C = R Q, d) D = { 1 : N\{0}} (0,1). 2. Uzasadij, że w przestrzei dyskretej X dla każdego podzbioru A przestrzei X prawdziwe są rówości: ita = cla = A oraz FrA = Ø. 3. Udowodij, że zbiór A jest w przestrzei metryczej X a) otwarty wtedy i tylko wtedy gdy FrA = cla\a, b) domkięty wtedy i tylko wtedy gdy FrA = A\itA. 4. Udowodij, że jeśli zbiór A jest gęsty, a zbiór U otwarty w przestrzei X, to clu = cl(a U). 5. Podaj przykład pokazujący, że założeie otwartości zbioru U w poprzedim zadaiu jest istote. V. ZBIORY GĘSTE, NIGDZIEGĘSTE, BRZEGOWE. OŚRODKOWOŚĆ. 1. Które z astępujących zbiorów są gęste, które igdziegęste, a które brzegowe a płaszczyźie z metryką rzeka : A = R Q, B = Q R, C = R Z, D = Z R, E = { 1 : N\{0}} (0,1), F = Z Q, G = Q Z, H = R P, K = R { 1 : N\{0}}? 2. a) Udowodij, że jeśli A jest gęstą podprzestrzeią przestrzei X, a X gęstą podprzestrzeią przestrzei Y, to A jest gęste w Y.

3 b) Podaj przykład pokazujący, że w poprzedim zadaiu założeie gęstości X w Y jest istote. 3. Udowodij, że jeśli A jest brzegowym podzbiorem przestrzei X, która jest podprzestrzeią przestrzei Y, to A jest brzegowe w Y. 4. Czy astępujące podprzestrzeie płaszczyzy z metryką rzeka są ośrodkowe: a) A = Q R, b) B = R Q, c) C = Q P, d) D = P Q? 5. Udowodij, że przestrzeń dyskreta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy gdy jest przeliczala. 6. Wykazać, że zbiór puktów izolowaych przestrzei ośrodkowej jest co ajwyżej przeliczaly. VI. PODPRZESTRZENIE. ILOCZYNY KARTEZJAŃSKIE SKOŃCZONE. 1. a) Udowodij, że jeśli A jest podzbiorem przestrzei X, która jest podprzestrzeią przestrzei Y, to: i) cl X A = X cl Y A ii) it X A X it Y A b) Podaj przykład pokazujący, że w pukcie b) poprzediego zadaia ikluzji ie moża zastąpić rówością. 2. Udowodij, że domkięta podprzestrzeń przestrzei zwartej jest zwarta. 3. Udowodij, że domkięta podprzestrzeń przestrzei zupełej jest zupeła. 4. Udowodij, że jeśli A jest zwartą podprzestrzeią przestrzei X, to A jest domkięte w 5. Udowodij, że jeśli A jest zupełą podprzestrzeią przestrzei X, to A jest domkięte w 6. Udowodij, że iloczy kartezjański skończeie wielu przestrzei ośrodkowych jest przestrzeią ośrodkową. 7. Udowodij, że jeśli przekształceie f: X X przestrzei Hausdorffa (p. metryczej) X w siebie jest ciągłe, to zbiór {x X: f(x) = x} jest domkięty w 8. Udowodij, że jeśli f : X Y jest przekształceiem ciągłym przestrzei metryczej X w przestrzeń metryczą Y to wykres W(f) = {< x, f(x) > X Y: x X} fukcji f jest domkiętym podzbiorem iloczyu X Y. VII. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI. 1. Wykaż, że w defiicji ciągłości fukcji f: X Y zbiory otwarte w przestrzei Y rówoważie moża zastąpić elemetami ustaloej bazy, tz. udowodij, że fukcja f: X Y jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego elemetu ustaloej bazy przestrzei Y jest otwarty w przestrzei 2. a) Wykaż, że każde przekształceie określoe a przestrzei dyskretej jest ciągłe. b) Wykaż, że przekształceie różowartościowe w przestrzeń dyskretą jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy jest określoe rówież a przestrzei dyskretej. 3. Udowodić, że jeżeli przestrzeń X = U V gdzie U i V są zbiorami otwartymi, to istieją zbiory domkięte A i B takie, że A U, B V i A B =

4 4. Udowodij, że jeśli A jest gęstym podzbiorem przestrzei X, fukcje f: X Y i g: X Y są ciągłe oraz x A f(x) = g(x), to x X f(x) = g(x). 5. a) Wykazać, że jeżeli fukcja określoa a przestrzei metryczej X jest ciągła, to jej wykres jest homeomorficzy z przestrzeią b) Podać przykład odwzorowaia ieciągłego o domkiętym wykresie. 6. Uzasadij, że astępujące pary przestrzei (z metrykami euklidesowymi) przedstawiają przestrzeie homeomorficze: (a) dowoly okrąg i elipsa (b) dowola sfera i elipsoida (c) powierzchia walca i pierścień a płaszczyźie VIII. PRZESTRZENIE ZWARTE. 1. Czy astępujące podprzestrzei płaszczyzy z metryką rzeka są zwarte: a) A = {1,2,3,4,5} [ { 1 : N\{0}} {0} ] b) B = [ { 1 : N\{0}} {0} ] {1,2,3,4,5}? W przypadku odpowiedzi egatywej tezę uzasadij dwoma sposobami (korzystając z defiicji pokryciowej i ciągowej). 2. Udowodij, że przestrzeń metrycza X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego jej pokrycia kulami moża wybrać podpokrycie skończoe. 3. Udowodij, że przestrzeń metrycza X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda fukcja ciągła z X w prostą euklidesową jest ograiczoa. 4. a) Udowodij, że przekształceie f: X Y przestrzei metryczej X w przestrzeń zwartą Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy wykres W(f) = {< x, f(x) > X Y: x X} fukcji f jest domkiętym podzbiorem iloczyu X Y. b) Podaj przykład pokazujący, że założeie zwartości w poprzedim pukcie jest istote. 5. Udowodij, że podzbiór przestrzei euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkięty i ograiczoy. Podaj przykład pokazujący, że tak ie jest w przypadku iych metryk a płaszczyźie. I PRZESTRZENIE ZUPEŁNE. 1. Które z astępujących podprzestrzei płaszczyzy z metryką rzeka są zupełe: A= [ 1,2] P, B= P [1,2 ], C= ( 1,2) [1,2 ], D= [ 1,2] (1,2 )? Odpowiedź uzasadij. 2. Udowodij, że jeśli A jest zupełym podzbiorem przestrzei metryczej X, to A jest domkięte w 3. Udowodij, że jeśli w przestrzei metryczej X prawdziwe jest Twierdzeie Catora, to przestrzeń X jest zupeła. 4. Podaj przykład pokazujący, że zupełość ie jest iezmieikiem homeomorfizmów.

5 PRZESTRZENIE SPÓJNE. 1.Opisz wszystkie podzbiory spóje prostej. 2. Wykaż, że przestrzeń X jest spója wtedy i tylko wtedy gdy ie istieje ciągłe przekształceie przestrzei X a dwupuktową przestrzeń dyskretą D. 3. Udowodij, że suma dowolej rodziy zbiorów spójych o iepustym przecięciu jest spója. 4. Udowodij, że jeśli przestrzeń X moża przedstawić w postaci sumy X = N X, gdzie wszystkie przestrzeie X są spóje oraz dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość X X +1, to przestrzeń X jest spója. 5. Udowodij, że każde przekształceie ciągłe odcika domkiętego w siebie posiada pukt stały. 6. Podaj przykład fukcji ieciągłej f: R R, która przekształca podzbiory spóje a spóje.