Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2

Transkrypt

1 Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95% przedziałem ufości (dla ) Ogólie rozważamy przedziały ufości a dowolym poziomie ufości 0%<1-<100%: dla 95% PU mamy = 0.05 dla 90% PU mamy =... dla 99% PU mamy =..., itd. Podstawa kostrukcji przedziału ufości: Jeżeli obserwacje pochodzą z rozkładu N(, ), to średia z obserwacji ma rozkład N, Test: Ile wyosi kwatyl 50% dla? Kostrukcja przedziału ufości: Zajdziemy przedział, w którym mieści się z prawdopodobieństwem 95%: Użyjemy kwatyli rzędu 0.05 i dla rozkładu zmieej Najpierw przypomimy kwatyle stadardowego rozkładu ormalego Pr(Z>1.96) = 0.05, Pr(Z< -1.96) = Ozaczeie: Z 0.05 = Ogólie Z / jest taką liczbą, że Pr(Z > Z / ) = Pr(Z < - Z / ) = /, zatem P(-Z / < Z < Z / ) =... Przedział ufości, gdy zae jest σ Szukae kwatyle dla wyoszą Np. kwatyle rzędu 0.05i dla i Iaczej ujmując, 1.96 Pr( < μ < ) = 0.95 Z / / 1.96 to Opis słowy Mamy 95% pewości, że odciek [ ] zawiera Przedział te azywamy 95% przedziałem ufości Niestety długość przedziału ufości zależy tu od wartości, której a ogół ie zamy. 1

2 Przedział ufości dla μ, gdy σ jest iezae Estymujemy za pomocą s. Defiiujemy stadardowy błąd średiej jako SE = s SE jest estymatorem odchyleia stadardowego średiej :, którego użyliśmy poprzedio w PU Będziemy używali SE zamiast Musimy zapłacić pewą ceę za iezajomość : ie możemy brać kwatyli z rozkładu ormalego: Estymacja wprowadza dodatkową iepewość Przedziały ufości są szersze iż w przypadku, gdy zamy Rozkład Studeta Jest to rodzia ciągłych rozkładów, o gęstościach przypomiających stadardowy rozkład ormaly, ale mających cięższe ogoy. Zależą oe od parametru df, liczby stopi swobody (degrees of freedom) Np. dla df = 1 otrzymujemy tzw. rozkład Cauchy ego,ajbardziej odległy od rozkładu ormalego, p. ie ma skończoej wartości oczekiwaej ai wariacji i ie zachodzi dla iego CTG. 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, Rozkłady Studeta (i ormaly) -4,3-3,6 -,9 -, -1,5-0,8-0,1 0,6 1,3,7 3,4 4,1 4, Z Przedziały ufości cd. Estymując za pomocą s, do kostrukcji przedziału ufości bierzemy kwatyle z rozkładu Studeta z df=-1 stopiami swobody. Rysuek i tablica wartości krytyczych pochodzą z ``Itroductio to the Practice of Statistics, D.S. Moore, G. P. McCabe

3 Przykłady: Dla jakiej wartości t mamy P(T>t)=0.05, gdzie T jest zmieą losową o rozkładzie Studeta z 8 stopiami swobody? Zajdź dwie symetrycze wartości z takie, że między imi zawiera się 95% masy rozkładu Studeta z 11 stopiami swobody. Przedział ufości dla μ, gdy σ jest iezae y t * SE Kwatyle rozkładu T wykorzystujemy do kostrukcji przedziałów ufości dla. Przykład: Dla = 5 obserwacji, y= 31.7 i s = Wyzacz 95% przedział ufości dla. Zajdź też 90% PU: 3

4 Uwagi ogóle Szerokość przedziału ufości wzrasta wraz z poziomem ufości 90% PU jest... iż 95% PU. Gdy wzrasta to szerokość przedziału ufości a ogół... Większy poziom ufości -> Szerszy przedział Miejszy poziom ufości-> Węższy przedział Szerokość przedziału ufości zmiejsza się wraz ze wzrostem rozmiaru próby: Przykład: Tim Kelly waży się co tydzień. Ostatio: 190.5, 189.0, 195.5, Zajdź 90% i 95% przedziały ufości. Większa próba-> zwykle węższy przedział Miejsza próba-> zwykle szerszy przedział Przykład: Zawartość wit. C w bieżącej produkcji mieszaki sojowo-kukurydziaej: 6, 31, 3,, 11,, 14, 31. Podaj 95% przedział ufości. 4

5 Jak duża powia być próba? Poprzez wybór odpowiediego możemy uzyskać PU o odpowiediej (dowolie małej) szerokości: możemy estymować z zadaą precyzją. Przykład: zajdź rozmiar próby taki, aby 95% PU dla średiej miał szerokość 5. Załóżmy, że =10. Wtedy Na ogół ie zamy, możemy jedak wykoać badaie wstępe (mała próba) i użyć s. Podstawowe założeie (przypomieie): Próba musi być losowa: każdy elemet w populacji ma jedakową szasę być wybraym poszczególe wybory są od siebie iezależe Jeżeli to założeie ie jest spełioe, to wzrost może ie gwaratować zmiejszeia SE. 5