Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Transkrypt

1

2 Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest w det ( A I ) c c λ λ λ + λ c to wówczas spełioe jest rówaie macierzowe w ( A) c A + c A c I Niech x i będzie wektorem własym odpowiadającym wartości własej λ i, czyli w ( λ i ) oraz Axi λ i xi - - Mamy: w A xi ( c A + c A c I) x i ( c λ i + c λ i c ) xi w λ x x i i i Powyższy związek jest prawdziwy dla dowolego wektora własego macierzy A, a więc w(a) musi być macierzą zerową. Przykład: A w ( λ ) λ λ w A Wykład 9-9

3 Zastosowaia tw. Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa moża wykorzystać do zalezieia odwrotości macierzy: w A c A A... I możąc obustroie przez A - + c + + c otrzymujemy: A w ( A) c A + c A c A a stąd A ( c A + c A c I) c Przykład: Zajdź macierz odwrotą do macierzy A λ 7 5 w ( λ ) 4 λ λ + 6 λ λ λ w ( A) A + 6 A A + 6 I A w ( A) A + 6 A I + 6 A - A ( A 6 A + I) Wykład 9-9

4 Zastosowaia tw. Cayleya-Hamiltoa Zastosowaie tw. Cayleya-Hamiltoa do zajdowaia wysokich potęg macierzy: ( A) w c A + c A c I A ( c A c I) c Możąc ostatie rówaie obustroie przez A i podstawiając go jedocześie za A dostajemy: + c A c c c c c c A... A I c c c c c Proces te może być kotyuoway, co ozacza, że dowolą całkowitą potęgę macierzy stopia moża zapisać w postaci wielomiau macierzy stopia co ajwyżej - Wykład 9-49

5 Zastosowaia tw. Cayleya-Hamiltoa Przykład: Zajdź macierz A jeśli A w λ λ λ λ 8 ( λ 4)( λ + ) λ 4, λ λ A więc wartościami własymi macierzy A są i czyli spełioe są rówaia włase: A x λ x oraz A x λ x A α A + β I A x α A+ β I x αλ + β x λ αλ + β A x α A + β I x αλ + β x λ αλ + β Stąd mamy: ( α + β ) ( αλ + β) Rozwiązując układ rówań względem α i β otrzymujemy: α ( λ λ ) ( ) 4 λ λ 6 β λ λ λ λ 4 + λ λ λ λ Z drugiej stroy, wiemy a podstawie tw. C-H, że macierz A możemy zapisać jako kombiację liiową macierzy A i I (poieważ A jest stopia ): A 4 A I 6 a więc: ( ) ( ) ( ) Wykład 9-59

6 Diagoalizacja macierzy kwadratowej Daa jest macierz A â. Jej wartości włase λ i i wektory włase spełiają rówaie Axi λ ix i dla i,..., Każde z rówań własych osobo moża zapisać w postaci: a a a xi λ i xi a a a xi λ i xi a a a xi λ i xi Natomiast wszystkie jedocześie daje się zapisać w zwartej postaci w formie: a a a x x x λ x λ x λ x a a a x x x λ x λ x λ x a a a x x x λ x λ x λ x x x x x x x x x x x i λ λ λ Wykład 9-69

7 Diagoalizacja macierzy kwadratowej Wprowadzając ozaczeia x x x λ x x x λ S oraz L x x x λ możemy powyższe rówaie macierzowe zapisać w postaci AS SL S - AS Wiosek: Wykorzystując macierz zbudowaą z wektorów własych moża za pomocą trasformacji podobieństwa przetrasformować macierz A do postaci diagoalej w której elemetami diagoalymi są wartości włase macierzy A. Przykład: Zdiagoalizuj macierz za pomocą trasformacji podobieństwa. A det ( A I) λ λ λ λ λ λ λ wektory włase: v oraz v - S S S AS ( ) ( ) ( ) ( λ ) λ - L Wykład 9-79

8 Diagoalizacja macierzy kwadratowej Po zormalizowaiu wektorów własych utworzoa macierz jest uitara (ortogoala) u oraz u - U U Trasformację - U AU U AU L azywamy uitarą trasformacją podobieństwa. Przykład: Zdiagoalizuj macierz za pomocą trasformacji podobieństwa. A det ( A λ I) ( λ )( λ ) λ, λ, 5 4 Wektory włase: λ : v λ, : v 6 4 Wiosek: Tej macierzy ie da się zdiagoalizować. Uwaga: Kompletym układem wektorów własych macierzy A â azywamy każdy układ liiowo iezależych wektorów własych tej macierzy. Macierze które ie posiadają kompletego układu wektorów własych azywamy iekompletymi. Uwaga: Macierz A â jest diagoalizowala wtedy i tylko wtedy gdy posiada komplety układ wektorów własych. Wykład 9-89

9 Macierze hermitowskie i symetrycze macierz (aty)hermitowska: macierz (aty)symetrycza: A ± A aij ± a ji T A ± A aij ± a ji * wartości włase macierzy hermitowskiej (lub rz. symetryczej) są rzeczywiste: D : A x λ x x A x λ x x ( ) ( * x A A x ) x x λ - λ * * x A λ x x A x λ x x ( * A A λ λ ) x x * x x λ λ wektory włase odpowiadające różym wartościom własym macierzy hermitowskiej (lub rz. symetryczej) są wzajemie ortogoale: D : A x λ x xa x λ x x x x A x λ x xa x λ x x λ λ - λ λ x x Defiicja: Macierz kwadratową A azywamy ormalą wtedy i tylko wtedy gdy komutuje oa ze swoim sprzężeiem hermitowskim, tz. AA A A. Wiosek: Wszystkie macierze (aty) hermitowskie (rz. (aty) symetrycze), uitare (rz. ortogoale) są macierzami ormalymi. Wykład 9-99

10 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Twierdzeie: Macierz hermitowską (lub rz. symetryczą) moża zdiagoalizować za pomocą macierzy uitarej (lub ortogoalej). D: W przypadku wszystkich różych wartości własych macierz moża zdiagoalizować - za pomocą trasformacji podobieństwa S AS L Pokażemy, że macierz hermitowską moża zdiagoalizować rówież w przypadku zdegeerowaych wartości własych. Niech λ będzie zdegeerowaą wartością własą macierzy hermitowskiej H â a x wektorem własym do tej wartości własej. Kostruujemy układ ortoormalych wektorów x i tak aby pierwszym z ich był x Z wektorów tych budujemy uitarą macierz U ( x x... x ) Trasformacja uitara ma dokładie te sam zestaw wartości własych co macierz H: U HU - - ( ) - det U HU λ I det U H λ I U det U det H λ I det U det U U det H λ I det H λ I Macierz U HU jest hermitowska: U HU U H U U HU Wykład 9-9

11 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Mamy: * x * x UHU H x x x * x x λ * * x α α x h h λ * x α α det H λ I det U HU λ I λ λ α λ α α α α λ α λ λ α α α λ α λ α α α α λ α Hx λ x oz Hxi h i, i x x δ α α α λ i i bo jest UHU hermitowska Wykład 9-9

12 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Defiiujemy macierz H stopia -: H α α α α α α α α α Wśród wartości własych H musi pojawić się λ. Kostruujemy układ - ortoormalych wektorów z których pierwszy jest wektorem własym macierzy H do wartości własej λ : y y y y y y y, y,..., y - y y y Defiiujemy uitarą macierz U stopia : U HU λ H U H y λ y y y y y Wykład 9-9

13 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Wówczas uitara trasformacja podobieństwa za pomocą U daje: U U HU U H y λ y y y δ λ λ * * λ y y y y β β H * * y y y y β β Jeśli λ jest m-krotie zdegeerowaą wartością własą to powyższy schemat powtarzamy m razy. Pozostała część macierzy może być zdiagoalizowaa przez wektory włase odpowiadające różym wartościom własym. Do zdiagoalizowaia macierzy stopia potrzeba - trasformacji uitarych: U HU Λ U UU U - Wiosek: Każda macierz hermitowska (lub rz. symetrycza) stopia posiada ortogoalych wektorów własych bez względu a degeeracje wartości własych. U HU U U HU U HU U Λ Λ Λ i i Wykład 9-9

14 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Przykład: Zajdź uitarą macierz U diagoalizującą poprzez trasformację podobieństwa macierz hermitowską i H i i i Wartości włase macierzy H są pierwiastkami jej rówaia charakterystyczego λ i det ( H λ I ) i λ i λ + 6 λ 9 λ λ ( λ ) i λ Mamy trzy wartości włase λ λ λ v v v v T Niech będzie jedym z wektorów własych do wartości własej λ : i v i i v v iv v v i v Wybieramy trzy liiowo iezależe wektory v v v Wykład 9-49

15 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Korzystając z metody Grama-Schmidta zajdujemy układ wektorów ortoormalych: v x x v v x v x v x x v x x x x U x x x i UHU i i i i i Uitara trasformacja podobieństwa za pomocą macierzy Wykład 9-59

16 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Poieważ H i UHU mają te same wartości włase, więc λ i λ muszą być wartościami własymi podmacierzy Zormalizowae wektory włase macierzy H do wartości własych λ i λ to i y i y U i i A więc macierz diagoalizująca U ma postać H i i 6 U UU i i i i 6 Wykład 9-69

17 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej Rzeczywiście mamy: 6 i U HU i i i i i 6 6 i i 6 Kolumy macierzy U są ortoormalymi wektorami własymi macierzy H: i / / Hu λ u : i i i / / i / 6 / 6 Hu λ u : i i i / i / i / / 6 6 i / / Hu λ u : i i i / i / i / / Wykład 9-79

18 Diagoalizacja macierzy hermitowskiej W praktyce korzystamy z udowodioego twierdzeia. Wektory włase do iezdegeerowaych wartości własych zajdujemy w zwykły sposób. Wektory włase do zdegeerowaej wartości własej λ muszą spełiać waruek x ix x x ix + x W ogólości wektory włase dae są więc przez Jede z wektorów własych zajdujemy wybierając p. x : Drugi wektor wybieramy jako ortogoaly do : u u ix + x i u x x + x x u u ix + x ( ) x ix + x x ix x u x i i 6 Drugi wektor własy do wartości własej λ to Wykład 9-89

19 Rówoczesa diagoalizacja macierzy Twierdzeie: Dwie macierze A i B moża jedocześie zdiagoalizować poprzez trasformację podobieństwa wtedy i tylko wtedy gdy macierze A i B komutują tz. ABBA. ( ) D : D S AS DD S ASS BS S ABS D S BS D D S BSS AS S BAS D D D D S ABS- S BAS S ABS S BAS AB BA ( ) - - D : S AS D S BS B λ b λ b λ b S ABS S ASS BS DB λ b λ b λ b λ b λ b λ b S BAS S BSS AS B D λ b λ b λ b λb Dla λ i λ j AB BA D B B D B D λ b Wykład 9-99

20 Rówoczesa diagoalizacja macierzy Dla λ i λ j λ mamy Poieważ B B - S AS D λ λ - - S BS S BS T T ( S BS) T D - - ò i-ty wiersz ò j-ty wiersz więc istieje uitara macierz T taka, że: S AS T T D T D T T D Z drugiej stroy mamy A więc istieje macierz hermitowska UST diagoalizująca jedocześie A i B. Uwaga: W mechaice kwatowej operatory które moża jedocześie zdiagoalizować odpowiadają wielkościom fizyczym, których jedoczesy pomiar ie jest ograiczoy zasadą ieozaczoości. Wykład 9-9

21 Rówoczesa diagoalizacja macierzy Przykład: Zajdź uitarą macierz U diagoalizującą jedocześie macierze 8 7 A B AB BA 7 8 Zajdujemy wartości włase i wektory włase macierzy A: λ det A λ I ( λ )( λ ) λ λ λ v v A więc uitara macierz diagoalizująca to S S - Rzeczywiście mamy: - S AS - S BS 5 Jedocześie widać, że wartościami własymi macierzy B są λ i λ 5 Wykład 9-9