APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

Transkrypt

1 APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość f dla argumetów poza siatą 1,8,6,4, ,2 -,4 ajczęściej g( x) a g ( x) g(x) - zae fucje prostsze

2 aprosymacja wielomiaowa fucjami trygoometryczymi fucjami wymierymi realizacja p.: wybieramy taie g, że M i i i 1 { g( x )} { f ( x )} g (x i ) - jedomiay ----> aprosymacja wielomiaowa UWAGA! jeśli f(x) jest wyiiem doświadczeń ie moża stosować iterpolacji, tu stosujemy p. metodę ajmiejszych wadratów (postulujemy ształt g, z parametrami) Tw. Weierstrassa mi ( ;,..., ) ( ) i ( g xi a1 a p f xi ) 2

3 Jeżeli f(x) jest ciągła w [a,b], f ( x) P ( x) < ε ε >, P ( x) Tw. Weierstrassa (dla fucji oresowych) jeśli F(x) jest ciągła i oresowa (2π), to dla ażdego ε> istieje wielomia trygoometryczy stopia że dla ażdego x o 1 S ( x) a + ( a cos( x) + b si( x)) F( x) S ( x) < ε iterpolacja estrapolacja

4 Iterpolacja wielomiaowa zalezieie, dla uładu +1 różych węzłów { x i }, i,1,.. i wartości { f i }{ f(x i ) }, wielomiau stopia co ajwyżej, P (x) taiego, że P (x i ) f i TW. Istieje doładie jede tai wielomia. Sposoby ostrucji wielomiau iterpolacyjego Dlaczego ostrucje? Dlaczego ie ta: P (x) a x + a 1 x a x - +1 współczyiów, { P (x i ) f i } i, rówań a) możliwa utrata doładości przy rozwiązywaiu dużej liczby rówań b) chcemy tylo móc obliczyć wartość P dla x spoza siati chcemy mieć prosty przepis (wzór) z małą liczbą operacji gdyby awet to: - rozwiązaie uładu (+1) rówań algebraiczych wymaga (ja zobaczymy) ~ 3 możeń

5 1) wielomia iterpolacyjy Lagrage a a) uogólieie iterpolacji liiowej ( x, y ) i ( x 1, y 1 ) (***) P( x) ( x x1) ( x x ) 1 y + ( x x) ( x x ) 1 y 1 a w ogólości: gdzie wielomiay L, L są postaci P( x) f L ( x) L,, f y (ilorazy) stopia, ( x ) δ i i L ( x) i i ( x xi ) ( x x ) i ( x x)( x x1)..( x x 1)( x x + 1)..( x x ) ( x x )( x x )..( x x )( x x )..( x x ) ideale do zaprogramowaia... (pętle) możeń prostych ilorazów; ażdy iloraz to jedo dzieleie, razem to 2 możeń, obl. wartości wielomiau -> razy powyższe możeia... łączie ~ 2 możeń

6 ćwiczeie: porówaj przybliżeie do wartości fucji f(x) 1/x w pucie x3 za pomocą 3-wyrazowego rozwiięcia w szereg Taylora w otoczeiu x 1 oraz wielomiau Lagrage a a 3 węzłach w putach 1., 2., 4. Błąd iterpolacji wielomiaowej Twierdzeie Jeśli x, x 1,..x [a,b] i f C +1 [a,b] to f ( x) P( x) x [ a, b] ξ( x) ( a, b) f ( + 1) ( ξ( x)) ( x x)( x x1)...( x x) ( + 1)! dowód zdefiiujmy L ( x) ( x xo )( x x1 )...( x x ) (wielomia +1 stopia), oraz ϕ( x) f ( x) P( x) K L ( x) wybierzmy taie K, żeby dla dodatowego x z [a,b] ϕ( x ) Tw. Rolle a ϕ( x ) : ma +2 miejsc zerowych ϕ ( ) ( x) : ma 1 miejsce zerowe

7 to istieje taie ξ w [a,b], że ( + 1) ( + 1) ϕ ( ξ) f ( ξ) K ( + 1)! (*) (zia pochoda P(x), pochoda L (x) (+1)! ) wstawieie K do (*) ończy dowód.... program INTERP_G... węzły rówoodległe wprowadzając zmieą dostajemy x i+1 - x i h t (x - x ) / h L ( x) ( ) 1 ( t i)! i i dla P( x) f L ( x)

8 w L - 2 możeń, łączi ~ 2 ale b. prosty algorytm (!) metoda Neville a (iterpolacja iteracyja) ja zaleźć rząd wielomiau, tóry dostateczie doładie przybliża f w pucie x bez oieczości geerowaia od początu olejych wielomiaów iech x, x 1, x 2,... x Q i,j-1, i j-1 ozacza wielomia stopia j-1 oreśloy a j węzłach: x i-j+1, x i-j+2,... x i-1, x i to wielomia stopia j moża zbudować jao Q i, j ( x) ( x x ) Q ( x) ( x x ) Q ( x) i j i, j 1 i i 1, j 1 x x i i j tz. a taiej samej zasadzie ja ostruowaliśmy oleje wielomiay Lagrage a w (***) (p. i1, j1 ) x Q, x 1 Q 1, Q 1,1

9 x 2 Q 2, Q 2,1 Q 2,2 x 3 Q 3, Q 3,1 Q 3,2 Q 3, odpowiedi fragmet algorytmu * wprowadź wartości x, x 1,... x a xt[..m] oraz f(x ),.. f(x ) jao Q,, Q 1,,.. Q, a Q[..m,..m] i:; repeat i:i+1; for j:1 to i do Q[i,j]:( (x-xt[i-j])*q[i,j-1] - (x-xt[i])*q[i-1,j-1] ) / (x[i]-xt[i-j]) ; util abs( Q[i,i] - Q[i-1,j-1] ) < epsilo; WIELOMIAN INTERPOLACYJNY NEWTONA 1. Różice sończoe różice progresywe f ( x) f ( x) 1 1 f ( x) f ( x + h) f ( x) f x 1 i i ( ) ( ) f ( x ih) i + różice wstecze

10 f ( x) f ( x) 1 1 f ( x) f ( x) f ( x h) tablice różic sończoych f i f(x + ih)... x f 1 f 2 f 3 f f f x 1 f 1 1 f 1 2 f f 1 x 2 f 2 1 f 2 2 f x -1 f -1 1 f -1 x f wzór iterpolacyjy Newtoa (w przód) P( xo + h s) i f i s i (**) gdzie s i ależy rozumieć jao

11 s ( s 1)( s 2) ( s i + 1) i! dla dowolego s rzeczywistego, taże dla s <, 2. Ilorazy różicowe x f[x ] f[x,x 1 ] x 1 f[x 1 ] f[x,x 1,x 2 ] f[x 1,x 2 ] f[x,x 1,x 2,x 3,x 4 ] x 2 f[x 2 ] f[x 1,x 2,x 3 ] f[x 3,x 2 ] x 3 f[x 3 ] f [ x, x,.., x ] i i + 1 i + f [ xi + 1, xi + 2,.., xi + ] f [ xi, xi + 1,.., xi + 1] x x i + i gdzie f[x i ]f i, f[x i,x i+1 ](f[x i+1 ]-f[x i ]) / (x i+1 x i ) itd. Dowód wyrażeia (**) zapiszmy wielomia iterpolacyjy jao: P ( x) ao + a1( x xo ) a ( x xo )( x x1)...( x x 1 ) gdzie a o, a 1, a 2,... wyzaczoe są z wartości f(x i )

12 ao f ( xo ) f [ xo ] a1 f ( x1) f ( xo ) x1 xo... a f [ x, x,..., x ] o 1 f [ x, x ] o 1 ostateczie o o 1 o 1 1 P ( x) f [ x ] + f [ x, x,..., x ]( x x )...( x x ) dla rówoodległych węzłów (x i+1 - x i ) h i x x + sh mamy (iloczy (x-x ) da h s(s-1)(s-2)...(s-+1) ) P s ( xo + sh)! h f [ xo, x1,..., x ] ale poieważ f [ x,..., x ] o (gdyż (x i+ x i )h ) 1! h f ( x ) o, dostajemy (**) P( xo + h s) i f i s i (**)