lim a n Cigi liczbowe i ich granice

Transkrypt

1 Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a ) N ozacza bdziemy take symbolem (a, a, a, a 4, ). Cig (a ) N azywamy - malejcym, gdy a + <a dla wszystkich N; - ieroscym, gdy a + a dla wszystkich N; - roscym, gdy a + >a dla wszystkich N; - iemalejcym, gdy a + a dla wszystkich N. Jeli cig (a ) N spełia który z powyszych waruków, azywamy go mootoiczym. Mówimy, e cig (a ) N jest ograiczoy z góry, jeli istieje taka liczba M, e wszystkie wyrazy cigu s miejsze od M, czyli gdy a M N < M Aalogiczie defiiujemy cig ograiczoy z dołu. Jeli cig (a ) N jest ograiczoy z góry i z dołu, to azywamy go cigiem ograiczoym. Mówimy, e liczba g jest graic cigu (a ) N gdy dla dowolie małej liczby dodatiej ε dostateczie dalekie wyrazy cigu rói si od g o miej i ε, czyli gdy a g ε > > < ε Mówimy wówczas, e (a ) N dy lub jest zbiey do g i piszemy a = g Cig, który jak graic g azywamy zbieym. Mówimy, e cig (a ) N dy do ieskoczooci, gdy a M > > M

2 Piszemy wówczas a = Aalogiczie - (a ) N dy do -, gdy Piszemy wówczas a M > a < = M Twierdzeie. Jeli cig (a ) N jest zbiey do liczby g, za cig (b ) N rói si od (a ) N tylko skoczo iloci wyrazów, to cig (b ) N jest zbiey do tej samej liczby g. Jeli cig (a ) N dy do (- ), to (b ) N take dy do (- ). Twierdzeie. Jeli cig (a ) N jest zbiey do liczby g, to ie jest zbiey do adej iej graicy. Nie dy take do ai do -. Twierdzeie. Jeli cig (a ) N jest zbiey do liczby a, za cig (b ) N jest zbiey do liczby b, to cig (c ) N o wyrazie ogólym c =a +b jest zbiey do liczby a+b. Symboliczie zapisujemy to w postaci: ( a + b ) = a b + Aalogiczie oraz ( a b ) = a b ( a b ) = a b Jeli b, to poczwszy od pewego ideksu wszystkie wyrazy cigu (b ) s róe od zera i wówczas a b = a b

3 Twierdzeie 4. Jeli cigi (a ) i (b ) d do, to cigi (a +b ) i (a b ) take d do. Zapisujemy to symboliczie: Podobie [ + ]= oraz [ ]=. [(- )+(- )]=- oraz [(- ) (- )]=. Uwaga: Z iformacji, e cigi (a ) i (b ) d do, ie moemy wywioskowa, jaka jest graica cigu (a -b ) ai (a /b ). Mówimy krótko, e symbole [ - ] oraz [ / ] s symbolami ieozaczoymi. Twierdzeie 5. Jeli cig (a ) jest zbiey do liczby a, za cig (b ) dy do, to cig (a +b ) dy do ieskoczooci. Symboliczie: Poadto oraz - dla a>- [a+ ]=[ +a]= [a- ]=[- +a]=- [a/ ]=[a/- ]= [a ]= i [a (- )]=- Uwaga: Z faktu, e cig (a ) jest zbiey do zera ie moa wioskowa o graicy cigu (/a ), czyli [/] jest symbolem ieozaczoym. + 5 = = = Twierdzeie 6. Jeli cig jest zbiey, to jest ograiczoy Uwaga: Istiej ograiczoe cigi, które ie s zbiee Twierdzeie 7. (o trzech cigach) Jeli dla kadej liczby aturalej

4 a b c i cigi (a ) i (c ) s zbiee do tej samej graicy g, to cig (b ) jest zbiey do g. Twierdzeie 8. Cig roscy i ograiczoy z góry jest zbiey. Cig malejcy i ograiczoy z dołu jest zbiey. Cig ograiczoy i mootoiczy jest zbiey.. Dla dowolej liczby dodatiej a a =.. Jeli cig (a ) o wyrazach ieujemych jest zbiey do liczby dodatiej a, to 4. Cig liczbowy o wyrazie ogólym = a = jest zbiey. Graic tego cigu ozaczamy symbolem e. Liczba e jest liczb iewymier rów w przyblieiu, Dla dowolego cigu (a ) dcego do ieskoczooci (lub do - ) a = +. + a 5 = a = e.. + = + 6 = + = e 6 ( ) = e Twierdzeie 9. Jeli f jest jakkolwiek fukcj elemetar (p. fukcj potgow, wykładicz, trygoometrycz lub logarytmicz), x jest puktem z dziedziy fukcji f, za (x ) cigiem elemetów z dziedziy fukcji f zbieym do x, to 4

5 ( f ( x )) = f ( ) x Uwaga: Podaa wyej właso wyika z cigłoci rozwaaych fukcji. Pojcie fukcji cigłej i jej własoci zosta omówioe a astpym wykładzie... si = si = 4 = 4 =. 6 5 = 6 = Podcigiem cigu (a ) azywamy kady cig postaci gdzie (k ) liczb aturalych. ( ) a k jest roscym cigiem Twierdzeie. Kady podcig cigu zbieego jest zbiey do tej samej graicy. Wiosek: Jeli cig zawiera dwa podcigi zbiee do dwóch róych graic, to ie jest zbiey. 5

6 Graice fukcji Załómy, e daa jest fukcja f zmieej rzeczywistej o wartociach rzeczywistych okreloa a zbiorze D R zawierajcym pewe ssiedztwo puktu x (czyli zbiór postaci (x -h,x +h)\{x }, dla pewej liczby h>). Mówimy, e fukcja f ma w pukcie x graic g, co zapisujemy symbolem f = g x gdy dla kadego cigu (x ) N zbieego do x, o wyrazach alecych do zbioru D, cig (f(x )) N ma graic g. Mówimy, e fukcja f ma w pukcie x graic (- ) i piszemy f = f = gdy dla kadego cigu (x ) N zbieego do x, o wyrazach alecych do zbioru D, cig (f(x )) N ma graic (- ). Przykład. Fukcja x =. x f = ma w pukcie x = graic 6, ale ie ma graicy w pukcie x Fukcja f ma w pukcie x graic lewostro g, co zapisujemy symbolem f = g gdy dla kadego cigu (x ) N zbieego do x, o wyrazach alecych do zbioru D oraz miejszych od x, cig (f(x )) N ma graic g. Aalogiczie defiiujemy prawostro graic g w pukcie x oraz jedostroe graice ieskoczoe. Fukcja zdefiiowaa w przykładzie ma w pukcie lewostro graic, za prawostro -. Twierdzeie. Fukcja f ma w pukcie x graic g wtedy i tylko wtedy, gdy ε > δ > x D ( < x x < δ f g < ε ). Twierdzeie. Fukcja f ma w pukcie x graic wtedy i tylko wtedy, gdy M δ > x D ( < x x < δ f > M ) Twierdzeie. Fukcja f ma w pukcie x graic wtedy i tylko wtedy, gdy f ma w pukcie x obie graice jedostroe i graice te s sobie rówe. 6

7 Załómy teraz, e fukcja f jest okreloa a zbiorze D zawierajcym półprost postaci (a, ). Mówimy, e fukcja f ma w graic g co zapisujemy symbolem f = g jeli dla kadego cigu (x ) N, o graicy, cig (f(x )) N ma graic g. Aalogiczie defiiujemy ieskoczoe graice fukcji f w, oraz graice fukcji f w -. Twierdzeie 4. Fukcja f ma w graic g wtedy i tylko wtedy, gdy ( x > K f < ε ). g ε > K x D Wykorzystujc twierdzeie o graicach sumy, róicy, iloczyu i ilorazu cigów, otrzymujemy atychmiast: Twierdzeie 5. (O działaiach algebraiczych a graicach fukcji) Jeeli fukcja f ma w pukcie x graic g oraz fukcja f ma w tym pukcie graic g, to a) ( f + f ) = f + f x x b) ( f f ) = f f c) af = a f x x d) ( f f ) = f f e) o ile graica g jest róa od zera, f f =. x f f Aalogicze rówoci zachodz dla skoczoych graic g i g dla. Jeli graice fukcji f i f s ieskoczoe, to aby zale graic sumy, iloczyu czy ilorazu wykorzystujemy odpowiedie wyiki dla ieskoczoych graic cigów. W te sposób otrzymujemy a przykład, e jeli fukcja f ma w pukcie x graic, to f = x x. 7