n [a k, b k ) k=1 A = A = (b k a k ) n A k. B = {x A : x j < c}, C = {x A : x j c}, N 1 B A k, C =

Transkrypt

1 6. Króta teoria ałi Riemanna w R n 1. Miara Jordana. Zbiory postai (6.1) A = n [a, b ) =1 będziemy nazywali przedziałami (półotwartymi) w R n. Lizbę n A = (b a ) nazwiemy objętośią przedziału. = Jeśli A i B są przedziałami, to A B jest taże przedziałem, natomiast A \ B jest sumą nie więej niż 2n rozłąznyh przedziałów. Rozbiiem przedziału A będziemy nazywali rodzinę parami rozłąznyh podprzedziałów π = {A }, taą że A = A. Rodzinę wszystih rozbić A oznazymy przez P A Dla ażdej pary rozłąznyh przedziałów A 1, A 2 istnieje rozdzielająa je hiperpłaszzyzna. Dowód. Istnieje oś, powiedzmy o numerze j, taa że rzuty A 1 i A 2 są rozłązne. Zatem dla pewnej lizby 6.4. Jeśli {A } jest rozbiiem A, to, Dowód. Nieh A 1 {x A : x j < }, A 2 {x A : x j }. A = A = n A. =1 N A R n, 1 gdzie suma jest rozłązna i A są niepuste. Przeprowadzimy induję ze względu na N. Jeśli N = 1, to nie ma zego dowodzić. Gdy N 2, orzystają z (6.3), widzimy, że istnieje hiperpłaszzyzna x j =, taa że A = B C, a ponadto A 1 B, A N C. Mamy wię B = B = {x A : x j < }, C = {x A : x j }, N 1 =1 B A, C = N C A. Zatem, jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla rozbić o najwyżej N 1-elementowyh (założenie induyjne), to A = B + C = =2 N B A + C A = =1 N A. =1

2 2 Dla dowolnego ogranizonego F R n definiujemy v (F ) = inf{ A : F A }. Wielość tę nazywamy zewnętrzną miarą Jordana zbioru F. Mówią przystępnie, miara zewnętrzna zbioru F A jest resem dolnym objętośi opisanyh na zbiorze F sońzonyh rodzin przedziałów. Zauważmy, że z własnośi przedziałów wynia, że w definiji miary zewnętrznej można rozpatrywać tylo poryia przedziałami parami rozłąznymi Dla ażdego ogranizonego F R n v ( F ) = v (F ). 6.6 (Zadanie). Poaż, że dla ażdego przedziału B R n Dla dowolnego F R n definiujemy v (w(b)) = v (B) = v ( B) = B. v (F ) = sup{ A : A F }. (Kropa wewnątrz znau sumy oznaza, że sładnii są parami rozłązne.) Wielość tę nazywamy wewnętrzną miarą Jordana zbioru F. Mówią przystępnie, miara wewnętrzna zbioru F A jest resem górnym objętośi wpisanyh w F sońzonyh rodzin przedziałów parami rozłąznyh Dla ażdego ogranizonego F R n v (w(f )) = v (F ). 6.8 (Zadanie). Poaż, że dla ażdego przedziału B R n v (w(b)) = v (B) = v ( B) = B. 6.9 (Zadanie). Poaż, że jeśli odine [a, b] R n ma punt wspólny ze zbiorem F i z jego dopełnieniem, to ma taże punt wspólny z brzegiem F Miara wewnętrzna ogranizonego zbioru F R n jest równa zero wtedy i tylo wtedy, gdy w(f ) = Twierdzenie. Dla ażdego ogranizonego F R n v (F ) = v (F ) v ( F ) =. Dowód. Nieh v ( F ) =. Nieh ε > i nieh bf A, A < ε, gdzie A są parami rozłązne. Uzupełnijmy {A } do poryia {A } {B j } zbioru F i zauważmy, że dla ażdy ze zbiorów B j jest zawarty w F lub z nim rozłązny. Dlatego v (F ) v (F ) A < ε.

3 Z drugiej strony przypuśćmy, że v (F ) = v (F ). Nieh ε > i nieh {A } i {B j } będą rodzinami rozłąznyh przedziałów, taimi, że A w(f ) F B j, B j A < ε. j j Wtedy F B j \ A = C s,,j s 3 gdzie s C s < ε. Ogranizony zbiór F nazwiemy mierzalnym w sensie Jordana, jeśli v (F ) = v (F ). Jeśli F R n jest zbiorem mierzalnym, to lizbę będziemy nazywać miarą Jordana zbioru F. v(f ) = v (F ) = v (F ) Ogranizony podzbiór F R n jest mierzalny wtedy i tylo wtedy, gdy jego brzeg jest miary zero Jeśli zbiory F i G są mierzalne, to taże zbiory F G, F G oraz F \G są mierzalne Jeśli zbiory {F j } 1 j N są mierzalne i parami rozłązne, to N M v = v(f j ). F j j=1 Warto jeszze odnotować następująe własnośi miary Jordana: Miara Jordana jest niezmienniza na translaje w R n i permutaje zmiennyh. Jeśli J t x = tx jest jednoładnośią, to v(j t (F )) = t n v(f ). j=1 2. Cała Riemanna. Nieh będzie dana ogranizona funja f na mierzalnym zbiorze F. Nieh π = {F } będzie rozbiiem F na zbiory mierzalne. Dla ażdego nieh Wówzas sumy L(f, π) = M = sup F f, m = inf F f. m v(f ), U(f, π) = M v(f ) nazywamy odpowiednio dolną i górną sumą ałową odpowiadająą rozbiiu π. Nieh Ω(f, π) = U(f, π) L(f, π) = sup (f(x) f(y)) v(f ). x,y F Dla ażdyh dwóh rozbić π 1 i π 2 zbioru F L(f, π 1 ) U(f, π 2 ).

4 Definiujemy dolną i górną ałę Darboux: f = sup{l(π, f) : π P F }, f = inf{u(π, f) : π PF } i mówimy, że funja f jest ałowalna w sensie Riemanna, o oznazamy przez f R(F ), jeśli f = f. Dla f R(F ) wspólną wartość ałe Darboux nazywamy ałą Riemanna i oznazamy przez f = f = f. F Obie ałi Darboux i ała Riemanna są niezmiennize na translaje Funja ogranizona f na zbiorze F jest ałowalna wtedy i tylo wtedy, gdy dla ażdego ε > istnieje rozbiie π P F, taie, że Ω(f, π) < ε Jeśli f : F R jest iągła i ogranizona, to jest ałowalna Jeśli f, g R(F ), to f + αg R(F ), fg R(F ), f R(F ) oraz f + αg = f + α g, f f Lemat. Nieh A będzie przedziałem. Zbiór F F A jest mierzalny wtedy i tylo wtedy, gdy χ F jest ałowalna. Wtedy też v(f ) = χ F Nieh f : F R będzie ałowalna. Wtedy wyres f jest zbiorem miary Jordana zero. W = {(x, y) R n+1 : y = f(x)} Zagadnienie realizaji ałi funji ałowalnej przez sumy ałowe podziałów o średniy dążąej do zera trohę się ompliuje w porównaniu z teorią w jednym wymiarze Lemat. Jeśli F jest dowolnym zbiorem i to Dowód. Nieh ε > i nieh F δ = {x R n : dist (x, F ) < δ}, < δ < 1, F A, A lim δ v (F δ ) =. A < v (F ) + ε, gdzie A są parami rozłązne. Jeśli A ma rawędzie l, to A δ zawiera się w prostopadłośianie A o rawędziah l + 2δ. Dlatego v (F δ ) A, 4

5 gdzie A = (l 1 + 2δ)... (l n + 2δ) = A ((1 + 2δ )... (1 + 2δ ), l l n o poiąga v (F ) lim sup v (F δ ) v (F ) + ε, δ a wobe dowolnośi ε > naszą tezę Lemat. Nieh będzie dany podział π zbioru mierzalnego F. Nieh π = Q π Q. Jeśli π jest podziałem o średniy δ >, to dla ażdego P π mamy P ( π) 2δ lub istnieje Q π, tai że P Q. Dowód. Jeśli P π i P nie zawiera się w żadnym ze zbiorów Q π, to istnieją punty x, y P oraz Q π, taie że x Q, y / Q. Odine [x, y] musi przeinać brzeg Q, a ponieważ x y < δ, to taże dist(x, Q) < δ. Ostateznie wię P ( π ) 2δ Uwaga. Dla ażdego podziału π zbiór π jest miary zero. Pomysł uproszzenia dowodu poniższego twierdzenia podsunęli mi pp. Łuasz Chrzanowsi i Marin Kazmare Twierdzenie. Nieh A R n będzie zbiorem mierzalnym. Jeśli f R(A), to f = Dowód. Przyjmijmy oznazenia A lim L(f, π) = lim δ(π) ω(f, P ) = sup f(x) f(y), x,y P U(f, π). δ(π) M = sup f(x). x A Nieh ε > i nieh π będzie podziałem, taim że Ω(f, π ) < ε. Jeśli π jest dowolnym podziałem A o średniy δ = δ(π) i P π, to na moy Lematu 6.24 P zawiera się w ( π ) 2δ lub w pewnym elemenie Q π. Dlatego Ω(f, π) = P π ω(f, P )v(p ) ω(f, P )v(p ) + ω(f, Q)v(Q) π P ( π ) 2δ Q π 2Mv (( π ) 2δ ) + ε 2ε, gdy δ jest dostateznie mała, o wynia z Lematu Zatem o ile δ(π) jest dostateznie mała. U(f, π) L(f, π) 2ε, Jeśli funja ogranizona f na prostopadłośianie A jest ałowalna, to dla ażdego ε > istnieje rozbiie π P A na prostopadłośiany, taie że Ω(f, π) < ε. I jeszze twierdzenie o wartośi średniej. 5

6 6.28. Jeśli f jest funją iągłą na mierzalnym zbiorze wypułym F miary dodatniej, to istnieje punt F, tai że f() = 1 f(x) dx. v(f ) F Dowód. Nieh M będzie resem górnym, a m resem dolnym wartośi funji na F. Wtedy m 1 f(x) dx M. v(f ) F Jeśli jedna z nierównośi nie jest ostra, to f jest funją stałą i sprawa jest ozywista. W przeiwnym wypadu istnieją punty a, b F, taie że f(a) < 1 f(x) dx < f(b). v(f ) F Rozważmy funję iągłą jednej zmiennej ϕ(t) = f(a + t(b a)). Mamy ϕ() = f(a) i ϕ(1) = f(b), wię istnieje t = t (, 1), taie że f(a + t (b a)) = ϕ(t ) = 1 f(x) dx. v(f ) Wystarzy teraz wziąć = a + t (b a) F. Na zaońzenie paragrafu lemat, w tórym słyhać eho zagadnienia różnizowania ałi nieoznazonej Lemat. Nieh f będzie ałowalna na otwartym podzbiorze U R n. Wtedy dla ażdego puntu iągłośi a U funji f 1 lim f(x) dx = f(a). r v(k(a, r)) K(a,r) Dowód. Fatyznie, jeśli f jest iągła w a, to f(a) 1 f(x) dx v(k(a, r)) 1 v(k(a, r)) K(a,r) F K(a,r) f(a) f(x) dx ε, 6 jeśli tylo r > jest ta małe, by f(a) f(x) ε dla x a r. 3. Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie to gra doniosłą rolę, bo sprowadza oblizanie ałe wielomiarowyh do ałe jednorotnyh. Ma taże wiele innyh ieawyh zastosowań Twierdzenie (Fubini). Nieh A R n, B R m będą przedziałami. Nieh f będzie ałowalna na A B. Wtedy funje są ałowalne na A i f # (x) = B B f (x) dy = f(x, y) dy, f (y) = A f # (x) dx = A B A f(x, y) dx f(x, y) d(x, y).

7 Dowód. Dla danego ε nieh π 1 P(A), π 2 P(B) będą taimi rozbiiami, że Wtedy U(f, π 1 π 2 ) L(f, π 1 π 2 ) < ε. L(f, π 1 π 2 ) L(f #, π 1 ) Uf #, π 1 ) U(f, π 1 π 2 ), sąd wynia nasza teza dla f #. W przypadu funji f rozumujemy analogiznie. Tezę twierdzenia Fubiniego będziemy najzęśiej zapisywać w postai ( ) ( ) f(x, y) d(x, y) = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy. A B Zamiast d(x, y) będziemy też pisać dxdy. A B Wniose. Jeśli f jest iągła na A, gdzie przedział A jest postai (6.1), to bn bn 1 b1 f(x) dx =... f(x 1,..., x n 1, x n ) dx 1... dx n 1 dx n. a n 1 a 1 A Przyład. Mamy a n [,1] 2 ye xy dxdy = = 1 ( Przyład. Oblizmy ałę sin x π x dxdy = π y 2π y π x π B A ) 1 ye xy dx dy = e xy 1 dy (e y 1) dy = e 2. sin x x π+x π dydx = π sin x dx = Wniose (zasada Cavallieri). Jeśli zbiór F A B R n R m jest mierzalny, to v n+m (F ) = vm(f x ) dx, gdzie F x = {y B : (x, y) F }. Przyład. Wyprowadzimy reurenyjny wzór na objętość uli. Nieh D = K(, R) R n+1 = R n R. Oznazmy zmienną w R n R przez (x, t). Wtedy dla t R A D t = K(, R 2 t 2 ), wię oznazają miarę uli n-wymiarowej o promieniu r przez Ω n (r) otrzymujemy Nietrudno jedna zauważyć, że wię Ω n+1 (R) = R R Ω n ( R 2 t 2 )dt. Ω n (r) = r n Ω n (1) = r n Ω n, 1 Ω n+1 = Ω n (1 t 2 ) n/2 dt. 1 7

8 8 Przez podstawienie trygonometryzne 1 (1 t 2 ) n/2 dt = 2 1 wię podstawiają znane wartośi gdzie I 2 = π/2 sin n+1 x dx = 2I n+1, π 2w, I 2+1 = w 2 + 1, w = 4 ( 2 ) 1, w π, jest iągiem Wallisa, otrzymujemy W szzególnośi i ogólnie Ω 2+2 Ω 2 = π + 1, Ω 2+1 Ω 2 1 = π + 1/2. Ω 1 = 2, Ω 2 = π, Ω 3 = 4 3 π, Ω 4 = 1 2 π2, Ω 5 = 8π2 15 Ω 2 = π!, Ω 2+1 = Sprawdzenie tyh wzorów pozostawiamy Czytelniowi Zadanie. Poaż, że π 1/2 3/2 ( + 1/2). Ω n = Γ( n 2 πn/2 + 1), n N. Przyład. Oblizmy jeszze objętość bryły obrotowej. Nieh będzie dana płasa figura A = {(x, z) : x a, z f(x)} pod wyresem funji iągłej f : [, a] [, ). Nieh F będzie bryłą otrzymaną przez obrót figury A doooła osi x. Mamy Dlatego na moy zasady Cavallieriego F = {(x, y, z) : y 2 + z 2 f(x) 2, x a}. v(f ) = π a f(x) 2 dx Zadanie. Nieh f : R n R będzie wielomianem. Udowodnij, że dla ażdego r > zbiór jest miary zero. F (r) = {x K(, r) : f(x) = }

9 Przyład. A oto przyład poazująy, że ałi jednorotne mogą istnieć, a mimo to teza twierdzenia Fubiniego nie sprawdza się, i wobe tego definija ałi wielorotnej nie ma sensu. Nieh f(x, y) = x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2, (x, y) [, 1]2 \ {(, )}. Ja widać, funja jest oreślona i iągła w wadraie [, 1] 2 poza zbiorem jednopuntowym Z = {(, )}. Dla ażdyh x, y (, 1] mamy 1 f(x, y)dy = x 2, f(x, y)dx = y 2 i wobe tego 1 1 f(x, y)dydx = 1 1 f(x, y)dxdy = π 4. Przyzyną, dla tórej twierdzenie Fubiniego zawodzi w tym przypadu jest to, że funja f jest nieogranizona na swojej dziedzinie, a wię nie należy do R([, 1] 2 ). Jest to dla nas przestroga - nie wystarzy, że ałi iterowane istnieją, aby można było z sensem posługiwać się ałą wielorotną. Twierdzenie Fubiniego pomaga taże w różnizowaniu ałe z parametrem. Przypomnijmy najpierw, że jeśli g C([a, b] [, d]), to funja jest iągła na [a, b]. G(x) = d g(x, y) dy Wniose. Nieh f i x f będą funjami iągłymi na [a, b] [, d]. Wtedy funja jest różnizowalna na (a, b) i Innymi słowy, Dowód. Mamy F (x) = F (x) = d d f(x, y) dy x f(x, y) dy. d d d f(x, y) dy = x f(x, y) dy. dx f(x, y) = wię na moy twierdzenia Fubiniego F (x) = d f(x, y) = x a d x o poazuje, że F jest różnizowalna i = a ( x d a F (x) = t f(t, y) dt + f(a, y), d t f(t, y) dt dy + ) d t f(t, y) dy t f(t, y) dy. dt + f(a, y) dy d f(a, y) dy, 9

10 Nieh f C 1 (R 2 ), ϕ, ψ C 1 (R). Nieh Poaż, że F (x) = ψ(x) ϕ(x) F (x) = ψ(x) ϕ(x) f(x, y) dy. x f(x, y) dy + ψ (x)f(x, ψ(x)) ϕ (x)f(x, ϕ(x)). 4. Zamiana zmiennej w ałe Riemanna. Ja zmienia się miara zbioru i ała funji pod wpływem przeształeń przestrzeni R n? Aby zbadać tę westię, zazynamy od przeształeń liniowyh Lemat. Jeśli T : R n R n jest przeształeniem liniowym, a F zbiorem mierzalnym, to obraz T (F ) jest mierzalny i (#) v(t (F )) = det T v(f ) Dowód. Jeśli T jest osobliwe, to v (T (F )) =, wię T (F ) jest mierzalny i v(t (F )) = = det T v(f ). Jeśli T jest nieosobliwe, musimy najpierw zająć się prostopadłośianami. Zauważmy, że brzeg prostopadłośianu P jest sumą sońzonej lizby zbiorów leżąyh w hiperpłaszzyznah, wię T ( P ) = T (P ) jest zbiorem miary zero, wię T (P ) jest też mierzalny. Aby otrzymać wzór (#) dla prostopadłośianów, przedstawiamy T w postai ilozynu przeształeń elementarnyh typu oraz I σ x = (x σ(1), x σ(2),..., x σ(n) ), T t x = (x 1, x 2,..., tx,..., x n ) M ± ij x = (x 1,..., x i,..., x j ± x i,..., x n ). W pierwszyh dwóh przypadah sprawa jest jasna. Trzei wystarzy sprawdzić w dwóh wymiarah. Nieh P = [a, b) [, d) R 2. Nieh A(x, y) = (x + y, y). Zgodnie z zasadą Cavalieriego (6.4) v(ap ) = d v ((AP ) y ) dy = d = (b a) v ([a + y, b + y)) dy d dy = v(p ). Zatem teza lematu zahodzi dla prostopadłośianów. Nieh T bedzie nieosobliwe, a F zbiorem mierzalnym i nieh P j F R, j gdzie P j są parami rozłąznymi prostopadłośianami, a R prostopadłośianami, taimi że dla zadanego z góry ε > R ε v(f ) P j + ε. j

11 11 Wtedy oraz T (P j ) T (F ) T (R ) j det T (v(f ) ε) det T P j v (F ) v (F ) j det T R det T (v(f ) + ε), o wobe dowolnośi ε > ońzy dowód Jeśli ϕ jest izometrią R n, to v(ϕ(f )) = ϕ(f ) dla ażdego mierzalnego F. Pamiętamy wzór na zamianę zmiennej w ałe jednowymiarowej. Jeśli f jest funją ałowalną, a u jest lasy C 1, to u(b) b f(y) dy = f(u(x))u (x) dx. u(a) Wzór ten można przepisać w postai f(y) dy = u((a,b)) a (a,b) f(u(x)) u (x) dx. Ta druga wersja wzoru ma swój wielowymiarowy odpowiedni Twierdzenie (o zamianie zmiennej). Nieh U R n będzie otwarty, a ϕ : U R n będzie dyfeomorfizmem lasy C 1. Nieh F F U i ϕ(f ) będą zbiorami mierzalnym w sensie Jordana. Jeśli f jest ałowalna na ϕ(f ), to f ϕ jest ałowalna na F, a ponadto f(y) dy = (f ϕ)(x) det ϕ (x) dx. ϕ(f ) W szzególnośi (6.43) v(ϕ(f )) = F F det ϕ (x) dx. Dowód. (1). Istota sprawy polega na tym, by udowodnić twierdzenie dla zbioru F będąego ostą. Nieh wię aż do odwołania F będzie ostą. Zazniemy od luzowego lematu Dla ażdego ε > istnieje δ >, taa że jeśli Q F jest ostą o środu a i rawędzi l, a T = ϕ (a), to o ile l < δ. (1 ε) v(t (Q)) v (ϕ(q)) (1 + ε) v(t (Q))

12 (a). Nietrudno sprowadzić zagadnienie do przypadu, gdy a = F i ϕ() =. Nieh Q będzie ostą o środu i rawędzi 1. Nieh T Q G, gdzie G jest otwarty i mierzalny oraz v(g) (1 + ε)v(t Q ) a stąd v(tg) (1 + ε)v(t (tq )), t >. Wtedy dist (G, T Q) = ρ >, wię dist(tg, T (tq)) = ρt. Neh δ > będzie ta małe, aby (*) ϕ(th) T (th) sup ϕ () ϕ () ρ th < ρt, h Q, t < δ. [,th] Stąd ażdy punt ϕ(tq) jest oddalony od T (tq) o mniej niż ρt, wię ϕ(tq) tg. Zatem dla t < δ v (ϕ(tq)) (1 + ε)v(tu) (1 + ε)v(t Q) o dowodzi nierównośi v (ϕ(tq )) (1 + ε) v(t (tq )). Pamiętają o reduji do a =, widzimy że nasza osta jest postai Q = lq, wię v(ϕ(q) (1 + ε)v(t Q), o ile l < δ. Zauważmy, że δ nie zależy od położenia osti, a tylo od wielośi jej rawędzi, o wynia z jednostajnej iągłośi pohodnej na F. (b). Dowód lewej nierównośi jest podobny, ale nieo deliatniejszy. Ciągle załadamy, że a = i ϕ() =. Nieh K w(t Q ) będzie wypułym zbiorem zwartym (a wię mierzalnym), taim że v(t Q ) (1 + ε)v(k) a stąd v(t (tq )) (1 + ε)v(tk), t >. Wtedy też dist (K, (T Q ) ) = ρ >, wię dist(tk, (T (tq )) ) = ρt. Neh δ > będzie ta małe, ja w (*). Każdy punt ϕ(tq ) = ϕ(t Q ) jest oddalony od T (tq ) = T (t Q ) o mniej niż ρt, wię nie może przeinać tk. Ale tk jest wypuły i ma punt współny z ϕ(tq ), wię tk ϕ(tq ). Zatem dla < t < δ v(t (tq )) (1 + ε)v(tk) (1 + ε)v(ϕ(tq )), o po podstawieniu Q = tq dowodzi drugiej potrzebnej nierównośi i ońzy dowód (6.44). (2). Z (6.44) wynia, że jeśli M M U ma miarę zero, to taże v (ϕ(m)) =. A jao że ϕ( K) = (ϕ(k)), obrazem zbioru mierzalnego zawartego w U wraz z domnięiem jest zbiór mierzalny. To spostrzeżenie pozwala we wzorze (6.44) użyć miary v zamiast miary zewnętrznej v. (3). Przystępujemy do zaońzenia dowodu. Nieh ε >. Nieh π będzie rozbiiem osti F na osti Q o środah x i jednaowej średniy. Wtedy π = {P }, gdzie P = ϕ(q ), jest rozbiiem ϕ(f ) i δ(π ) Cδ(π). Jeśli δ(π) < ε jest ta mała, ja wymaga tego (6.44), to (1 ε) v(p ) det ϕ (x ) v(q ) (1 + ε) v(p ). 12

13 Porównajmy teraz sumy riemannowsie dla obu ałe. Jeśli δ(π) < ε jest ta mała, ja wymaga tego (6.44), to f ϕ(x ) det ϕ (x ) v(q ) f(ϕ(x ))v(p ) f det ϕ (x ) v(q ) v(p ) ε f v(p ) = ε f v(ϕ(u)), o ile średnie podziałów są dostateznie małe, o poazuje, że funja (*) x f(ϕ(x)) det ϕ (x) jest ałowalna na K i ϕ(k) f(y) dy = K f(ϕ(x)) det ϕ (x) dx. Zauważmy jeszze, że soro det ϕ (x) > na U, a F jest zbiorem zwartym, to istnieje stała >, taa że det ϕ (x) dla x F. Zatem również funja f ϕ jest ałowalna. (4). Do tej pory załadaliśmy, że F jest ostą. Pora odrzuić to ogranizenie. Jeśli F nie jest ostą, to przynajmniej daje się rozbić na prawie-osti. Możemy mianowiie znależć rodzinę parami rozłąznyh oste R j R j U, taih że 13 F F 1 = j R j U, a następnie przedłużyć f na F 1. Nieh f 1 będzie funją równą f na ϕ(f ) i na ϕ(f 1 ) \ ϕ(f ). Wtedy f(y) dy = f 1 (y) dy = f 1 (y) dy, ϕ(f ) ϕ(f 1 ) j ϕ(r j ) gdzie na moy wześniejszyh rozważań f 1 (y) dy = Zatem ϕ(r j ) R j f 1 (ϕ(x)) det ϕ (x) dx. f(y) dy = f 1 (ϕ(x)) det ϕ (x) dx ϕ(f ) j R j = f 1 (ϕ(x)) det ϕ (x) dx = F 1 o było naszym elem. Przyład. Nieh F f(ϕ(x)) det ϕ (x) dx, ϕ(x, y) = (x 2, y2 x ), (x, y) U = (, )2. Wtedy ϕ (x, y) = 4y. Nieh a, b > i nieh D h = [a, a + h] [b, b + h] dla h >.

14 14 Znajdźmy miarę ϕ(d h ). Jeśli to i przy ustalonym ξ (ξ, η) = (x 2, y2 x ) F = ϕ(d h), a 2 ξ (a + h) 2 b 2 (b + h)2 η, v(f ξ ) = (b + h)2 b 2. ξ ξ ξ Wobe tego Stąd zaś v(f ) = ( (b + h) 2 b 2) (a+h) 2 a 2 = 4 ( (b + h) 2 b 2) (a+h) 2 dξ ξ a 2 = 4 ( (b + h) 2 b 2) h. ( v(ϕ(d h )) 4 (b + h) 2 b 2) lim = lim = 4b = ϕ (a, b). h v(d h ) h h Przyład. A oto inny przyład oblizania objętośi bryły obrotowej. Nieh ja wyżej A = {(x, z) : x a, z f(x)} będzie zbiorem puntów leżąyh pod wyresem funji iągłej f : [, a] [, ). Nieh F będzie bryłą powstałą przez obrót A woół osi z. Punt (x, y, z) należy do F, gdy jego współrzędne spełniają nierównośi x 2 + y 2 a, z f( x 2 + y 2 ). Doonują podstawienia x = r os t, y = r sin t, z = ζ, otrzymujemy a v(f ) = 2π rf(r) dr. Zmieniają nieo dowód można wyprowadzić inną wersję twierdzenia o zamianie zmiennej Twierdzenie. Nieh U będzie otwartym zbiorem mierzalnym w sensie Jordana. Nieh ϕ : U ϕ(u) będzie różnowartośiowym odwzorowaniem lasy C 1 na mierzalny zbiór ϕ(u). Wtedy dla ażdej funji f R(ϕ(U)) funja jest ałowalna na U oraz ϕ(u) x f(ϕ(x)) det ϕ (x) f(y) dy = (f ϕ)(x) det ϕ (x) dx. U

15 Przyład. Nieh ϕ : R 3 R 3 będzie zadane wzorem r sin α os β ϕ(r, α, β) = r sin α sin β. r os α Bez trudu widzimy, że ϕ jest lasy C 1, a jego pohodna ma maierz sin α os β r os α sin β r sin α os β ϕ (r, α, β) = sin α sin β r os α sin β r sin α os β, os α r sin α sąd znajdujemy jaobian J ϕ (r, α, β) = r 2 sin α. Ja widać, jaobian zależy od dwóh tylo zmiennyh. Jeśli U = (, R) ( π, π) (, 2π), to nietrudno zauważyć, że ϕ(u) = V = K(, R) \ F, gdzie v(f ) =. Ozywiśie zarówno U, ja i V są otwarte i mierzalne, a ϕ : U V dyfeomorfizmem lasy C 1. Na moy Twierdzenia 6.45 dla ażdej funji f R(U) f(x, y, z)dxdydz = f(r sin α os β, r sin α sin β, r os α) r 2 sin α dr dα dβ K(,R) = U π 2π R 15 f(r sin α os β, r sin α sin β, r os α) r 2 sin α dr dα dβ. W szzególnośi podstawiają f = 1 otrzymujemy raz jeszze ( ) π 2π R Ω 3 (R) = µ K(, R) = r 2 sin α dr dα dβ = 4 3 πr Przyład. Nieh n 2. Nieh U = R n i nieh os t 2 os t 3... os t n sin t 2 os t 3... os t n sin t Φ(r, t 2,..., t n ) = r 3 os t 4... os t n.... sin t n 1 os t n sin t n Odwzorowanie Φ jest lasy C 1 i o przelizymy za hwilę. Jeśli det Φ (r, t) = r n 1 os n 2 t n os n 3 t n 1... os t 3, V = (, 1) ( π, π) ( π/2, π/2) n 2, to Φ jest dyfeomorfizmem na V i Φ(V ) = K(, 1). W taim razie dla ażdej funji f R(K(, 1)) f(x) dx = f(φ(r, t))r n 1 os n 2 t n os n 3 t n 1... os t 3 dt 2 dt 3... dt n dr. K(,1) V Zauważmy, że zbiór Φ(V ) \ K(, 1) jest niepusty, ale v(φ(v ) \ K(, 1)) =.

16 Zbiory po tóryh ałujemy można zresztą zastąpić przez ih domnięia, bo brzegi są miary zero Lemat. Przy oznazeniah Przyładu 6.46 det Φ (r, t) = r n 1 os n 2 t n os n 3 t n 1... os t 3. Dowód. Nieh Φ (r, t) = ra n. Aby ułatwić zapis rozumowania induyjnego, nieh A n 1 = ( a ij ) 1 i,j n 1 będzie analogizną maierzą w wymiarze o jeden niższym. Mamy os t 2 os t 3... os t n sin t 2 os t 3... os t n... os t 2 os t 3... sin t n A n = sin t 2 os t 3... os t n os t 2 os t 3... os t n... sin t 2 os t 3... sin t n sin t n... os t n a 11 os t n a 12 os t n... a 11 sin t n = a 21 os t n a 22 os t n... a 21 sin t n , sin t n... os t n a wię det A n = os n t n det A n 1 + sin 2 t n os n 2 t n det A n 1 = os n 2 t n det A n 1, sąd już łatwo otrzymujemy ońowy wzór Przyład. Nieh A będzie maierzą dodatnio oreśloną. Po doonaniu podstawienia y = Ax, otrzymujemy e Ax,x dx = 1 e y 2 dy = 1 ( ) n e t2 dt = πn/2 R n det A R n det A R det A Przyład. Oblizymy na nowo ałę Poissona Mamy gdzie x N/ 2 ( N N e x 2 dx N lim N N 2 e dt) t2 = Po doonaniu podstawienia biegunowego e x 2 dx = 2π sąd już łatwo wynia x N e t2 dt. [ N,N] 2 e x 2 N [ N,N] 2 e x 2 dx N lim e t2 dt = π. N N dx, x N re r2 dr = π(1 e N 2 ), e x 2 dx. 16

17 6.5. Przyład. Ja wiemy, objętość uli n-wymiarowej wynosi Z drugiej strony K(, 1) = x 1 Ω n = K(, 1) = dx = 1 = 2π n r n 1 π π/2 π/2 π π n/2 Γ(n/2 + 1). π/2 π/2 dt os n 2 t dt... π/2 π/2 os n 2 t dt... π/2 π/2 os t dt, os t dt wię π/2 π/2 ω n 1 = 2π os n 2 t dt... os t dt = nω n. π/2 π/2 Stąd R n e x 2 dx = ω n 1 r n 1 e r2 dr = ω n 1 s n/2 1 e s ds 2 = ω n 1Γ(n/2) = Ω n Γ(n/2 + 1) = π n/2. 2 W ten sposób oblizyliśmy jeszze raz ałę Poissona w dowolnym wymiarze, nie orzystają z wyniu jednowymiarowego, tóry znaznie łatwiej daje ten sam wyni. Nieh u R n. Przypomnijmy, że równoległośian to zbiór postai n R = a + [u 1, u 2,..., u n ] = {a + α u : α 1}. Jeśli U jest odwzorowaniem liniuowym o maierzy (u 1, u 2,..., u n ), to wię =1 R = a + U([, 1] n ), v(r) = det U = det(u 1, u 2,..., u n ). Symplesem zbudowanym na wetorah u nazywamy zbiór postai n S = a+ < u 1, u 2,..., u n >= {a + α u : α 1 α 2 α n 1}. Nietrudno zauważyć, że =1 [u 1, u 2,..., u n ] = σ S(n) < u σ1, u σ2,..., u σn > albo, róej, R = S σ, gdzie ażdy z symplesów ma tę samą miarę, a ih przeroje są miary zero. Dlatego v(s) = 1 n! det(u 1, u 2,..., u n ) Zadanie. Symples S =< u 1, u 2,..., u n > jest najmniejszym zbiorem wypułym zawierająym punty, u 1, u 1 + u 2,..., u 1 + u u n. 17

18 Czasem wygodnie jest zapisać miarę równoległośianu za pomoą wyznaznia Grama gdzie v(r) = (det U T U) 1/2, U T U = ( u i, u j ) 1 i,j n Zadanie. Nieh A = {x R n + : n j=1 x j 1}. Udowodnij, że ( n 1 1 f x j )dx = f(u)u n 1 du, (n 1)! a następnie obliz miarę A. A j= Zadanie. Poaż, że ogranizony zbiór wypuły jest mierzalny w sensie Jordana. 18