ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

Transkrypt

1 Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech: W ( ) = max{ Y, 0} + max{ Y, 0} max{ Y N, 0} ozacza łączą wartość odszkodowań z tego ubezpieczeia przy założeiu, że ubezpieczyciel pokrywa jedyie adwyżki każdej szkody poad kwotę, gdzie jest liczbą aturalą. Wiemy, że: 3 ( Y > 0) =, 0 E [ W (0)] = 60, var [ W (0)] = 400, λ = 0. Wobec tego var[ W ()] wyosi: (A) 77 (B) 80 (C) 83 (D) 337 (E) 343

2 Zadaie. Rozważa się iekiedy astępującą formułę składki Π (X ) za ryzyko X: Π ( X ) = x + E X x, ε ε {[ ε ] + } x to kwatyl rzędu ( ε ), czyli taka wartość x, dla której ( X > x) = ε gdzie ε, zaś ε (0, ) jest parametrem formuły. Rolę formuły składki (z parametrem η (0, ) ) może też spełiać sam kwatyl. Dla zadaego rozkładu ciągłego zmieej losowej X moża zaleźć postać fukcji g : (0,) (0,) przypisującej wartości parametru ε wartość parametru η = g(ε ) taką, że obie formuły zwracają tę samą składkę, a więc iż zachodzi: x x + E X x {[ ] } η = ε ε + Jeśli zmiea losowa X ma rozkład Pareto o dystrybuacie postaci: v F X ( x) =, v + x gdzie parametry dystrybuaty spełiają waruki: v > 0 oraz α >, to fukcja g jest postaci: α x η (A) g ( ε ) (B) g ( ε ) (C) g ( ε ) (D) g ( ε ) (E) g ( ε ) ε = ε α ε = ε α α α ε = ε α + ε ε = ε α + ε ε = ε α α α + ε α + ε

3 Zadaie 3. Liczba szkód N w ciągu roku z pewego ryzyka ma rozkład Poissoa z wartością oczekiwaą rówą λ. Wartości kolejych szkód Y, Y,, K wartości pojedyczej szkody określoy jest a przedziale oczekiwaą rówą μ oraz dodatią wariację rówą σ. Y N są i.i.d., iezależe od zmieej N. Rozkład ( 0,] i ma wartość Ubezpieczyciel wystawia a to ryzyko polisę z sumą ubezpieczeia, z pokryciem każdej kolejej szkody proporcjoalym do ieskosumowaej do tej pory części sumy ubezpieczeia, a więc: za (ewetualą) szkodę wypłaca odszkodowaie w pełej wysokości Y Y za (ewetualą) szkodę Y wypłaca odszkodowaie w wysokości ( Y ) Y za (ewetualą) szkodę wypłaca odszkodowaie w wysokości [ Y ( Y ) Y ] Y3, co rówe jest ( Y ) ( Y ) Y3 Y 3 za (ewetualą) szkodę Y 4 wypłaca odszkodowaie w wysokości [ Y ( Y ) Y ( Y )( Y ) Y3 ] Y4, to zaczy ( Y )( Y )( Y3 ) Y4, itd. Niech X ozacza sumę wypłat z tej polisy. Wariacja sumy wypłat var(x ) daa jest wzorem: (A) exp( λμ ){ exp( λσ + λμ ) } (B) exp( λ)exp( λσ + λμ ) exp( λμ) { } (C) exp( λμ)exp( λσ + λμ ) exp ( λμ ) { } (D) exp( λ)exp( λσ + λμ ) exp ( λμ ) (E) exp( λμ )exp( λσ + λμ ) Wskazówka: zauważ że var( X ) = var( X ) 3

4 Zadaie 4. oces U z kapitałem początkowym U 0 = u zaday jest wzorem rekurecyjym: U = ( U + c)( + i) W, =,,3,... gdzie i to stopa przychodów z iwestycji bieżącej adwyżki, c to składka rocza płata z góry, zaś to łącza wartość szkód w roku płata a koiec roku. W Zakładamy, że W, W, W3,... to iezależe zmiee losowe o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą i wariacją rówą odpowiedio μ, σ. Niech: B = v U ozacza zdyskotowaą (przy użyciu roczej stopy dyskota początkowy wartość adwyżki po latach, zaś: B = lim B v = ( + i) ) a momet Ustalamy składkę c w taki sposób, aby zapewić iż ( B > u) = prowadzi to do formuły składki o postaci: c = μ + cost σ,.04 Gdzie stała cost z dokładością do jedej tysięczej wyosi:. Dla i = 4% (A) cost (B) cost (C) cost (D) cost (E) cost Uwaga: kwatyl rzędu 0.95 stadaryzowaej zmieej ormalej wyosi ok

5 Zadaie 5. Niech S = N + N N ozacza sumę iezależych zmieych losowych o idetyczym rozkładzie ujemym dwumiaowym: r + k ( N k) ( q) r q k = =, k = 0,,,... k o zaej wartości parametru r > oraz iezaej wartości parametru q ( 0, ). Wiadomo, że estymator ajwiększej wiarogodości parametru q jest postaci: S qmnw = r + S Który z poiższych estymatorów (sam estymator MNW, czy też jeda z jego czterech modyfikacji) jest estymatorem ieobciążoym? (Uwaga: zakładamy, że r > ) (A) (B) (C) (D) (E) S r + S S r + S S + r + S S r + S S + r + S 5

6 Zadaie 6. oces adwyżki ubezpieczyciela jest złożoym procesem Poissoa z zerową adwyżką początkową, z dodatią wartością oczekiwaą przyrostów procesu, oraz z rozkładem wartości pojedyczej szkody daym gęstością: x 0 < x < f ( x) = 0 poza tym Warukowa wartość oczekiwaa deficytu w momecie ruiy (pod warukiem że do ruiy dojdzie) wyosi: (A) /3 (B) 3/8 (C) 5/ (D) 7/6 (E) 4/9 6

7 Zadaie 7. Szkody pojawiają się zgodie z procesem Poissoa o itesywości λ. Niech: T, T,..., T,... ozaczają momety pojawieia się szkód, zaś: T + D, T + D,..., T + D,... momety ich likwidacji. Zakładamy, że zmiee losowe D T, D,( T T ), D,( T ),... są iezależe, przy, 3 3 T czym zmiee losowe D, D,..., D,... mają idetyczy rozkład wykładiczy o gęstości: β exp( βt) gdy t > 0 f D ( t) = 0 w p. p. awdopodobieństwo, że momet likwidacji ( +) -szej szkody poprzedzi momet likwidacji -tej szkody (dla pewego ustaloego ), tz.: ( T + + D+ < T + D ), wyosi: (A) (B) (C) (D) λ β + λ λ β + λ β β + λ β β + λ λβ (E) ( β + λ) 7

8 Zadaie 8. zyjmijmy, że N( ), Y, Y, Y3,... są iezależymi zmieymi losowymi, przy czym: Y, Y, Y3,... mają idetyczy rozkład określoy a półosi dodatiej taki, że: x > 0 ( Y x) < N() ma rozkład Poissoa z wartością oczekiwaą rówą pewej liczbie aturalej Niech M ozacza maksimum spośród N() pierwszych wyrazów, a dokładiej: N () 0 M N ( ) = max( Y, Y,... Y zyjmijmy też ozaczeie N ) M gdy gdy N( ) = 0 N( ) > 0 dla maksimum z pierwszych wyrazów ciągu Y, Y, Y3,..., a więc: M = max( Y, Y,..., Y ). Wybierz zdaie, które poprawie charakteryzuje relację rozkładów zmieych losowych oraz. M M N ( ) (A) (B) x> 0 {,,3,... } x> 0 {,,3,... } ( M < x) > ( M < x) N ( ) ( M < x) < ( M < x) N ( ) N ( ) x > 0 (C) Istieją zarówo takie liczby aturale, że ( M < x) ( M < x) N ( ) x > 0 jak i takie, że ( M < x) ( M < x) (D) Dla każdej liczby aturalej istieje takie x 0 > 0, że x (, x ) 0 0 ( M < x) > ( M < x), oraz ( M < x) < ( M < x) N ( ) N ( ) x > x0 (E) Dla każdej liczby aturalej istieje takie x 0 > 0, że x (, x ) 0 0 ( M < x) < ( M < x), oraz ( M < x) > ( M < x) N ( ) N ( ) x > x0, 8

9 Zadaie 9. Niech ( T, D) ozaczają czas kaledarzowy zajścia szkody oraz czas likwidacji szkody (okres czasu, jaki upływa od zajścia szkody do jej likwidacji). zyjmijmy że: itesywość procesu pojawiaia się szkód rosła od iepamiętych czasów do mometu t = 0 wykładiczo (z wykładikiem δ > 0 ), co ozacza że czas zajścia losowo wybraej szkody zaszłej przed czasem t = 0 ma rozkład o gęstości: δ exp( δt) gdy t < 0 f T ( t) =, 0 w p. p. rozkład czasu likwidacji szkody day jest gęstością: β exp( βt) gdy t > 0 f D ( t) = 0 w p. p. ( T, D) są iezależymi zmieymi losowymi. Oczekiwaa wartość czasu likwidacji dla tych szkód, które w momecie czasu t = 0 mają status szkód zaszłych, ale jeszcze ie zlikwidowaych, a więc: E DT + D > 0, ( ) Wyosi: (A) (B) (C) (D) (E) β β βδ + β ( β + δ ) β + β β + δ δ + β β + δ 9

10 Zadaie 0. W kolejych latach t =,, 3, 4 ubezpieczoy charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N, N3, N4 są warukowo iezależe i mają idetyczy rozkład Poissoa: k λ ( N t = k Λ = λ) = e λ t =,, 3, 4, k = 0,,, K k! Parametr Λ w populacji ubezpieczoych ma rozkład wykładiczy z wartością oczekiwaą rówą. 4 Niech A ozacza zdarzeie polegające a tym, że: w ciągu liczb N, N, N N ) wystąpiły trzy zera i jeda liczba dodatia. ( 3, 4 Warukowa wartość oczekiwaa E( Λ A) wyosi: (A) (B) (C) (D) (E)

11 Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 007 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadaie r Odpowiedź Puktacja C C 3 A 4 E 5 B 6 B 7 A 8 A 9 D 0 E * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja.