Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Transkrypt

1 Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: Oczywiście, gdy staje się ieskończeie wielki, aturale potęgi też są ieskończoe. Z tej graicy wyika także, że: Też jest to proste - im większa liczba, tym większy jest jej pierwiastek - dla 00 mamy 0 a dla 0000 jest 00. Przypadek gdy k < 0 łatwo moża sprowadzić do poprzediego: Jako przykłady mogą służyć: k k [ 0 0 ] 0 Ostati przypadek powiie być oczywisty - dla k 0 mamy k 0, więc ciąg jest wówczas stały.. Mamy tu do czyieia z ciągiem geometryczym. Jeśli mamy liczbę k, miejszą co do modułu od to podosząc ja do kolejych potęg otrzymujemy coraz miejsze liczby:,, 8..., 9, 8 7,...

2 Nietrudo dostrzec, że wówczas ciąg takie maleje mootoiczie do zera. Dla k > sytuacja wygląda odwrotie: im wyższe potęgi, tym liczby są większe:,, 8, , 000,... W tym wypadku ciąg jest rozbieży do ieskończoości. Dla k mamy ciąg stały, bo - graica takiego ciągu oczywiście jest rówa. Dla k < dostajemy ciąg aprzemieie dodati i ujemy, p. pierwsze wyrazy ciąg a ) to:,, 8, 6,... W tym wypadku ciąg ie może dążyć do żadej graicy.. Ciąg: a ) jest rosący i ograiczoy dowód pomię). Ciąg taki ma graicę, defiiujemy ją jako liczbę e.. Wielomiay Graice wielomiaów są proste. Aby taką graicę policzyć, wyciągamy przed awias ajwyższą potęgę : ) [ 0 0)] ) 7 [ 0 0 0)] Łatwo zauważyć, że w zależości od współczyika przy ajwyższej potędze graica będzie wyosiła lub... Zadaia Oblicz graicę ciągu a : a 5 a a a a a 6 a 0! 0! 9! 9! 8! 8! 7! 7! a π π e a e ee. Fukcje wymiere Licząc graicę z ciągu opisaego ilorazem dwóch wielomiaów dostajemy symbol ieozaczoy. Aby go zlikwidować, dziey liczik i miaowik przez ajwyższą potęgę miaowika: [ ] [ ] 0 [ ] Tu łatwo zauważyć, że gdy wielomiay w licziku są tego samego stopia, to graica jest rówa ilorazowi współczyików przy ajwyższych potęgach. Gdy liczik jest stopia iższego, graicą jest 0. Gdy liczik jest wyższego stopia iż miaowik, graicą jest lub, w zależości od współczyików przy ajwyższych potęgach.

3 .. Zadaia Oblicz graicę ciągu a : a a a a 6 a 6 a a a 6 5 b 8 a a eπ 6 π e a!!!! 5! e 5!! 5 a a ee 6e π π e a!0! 0! 98! a! 09! 7ee Różica pierwiastków Graice typu: k a k b gdy a, b są ciągami rozbieżymi do ieskończoości dają symbol ieozaczoy. Aby go usuąć, używamy wzoru: a k b k a b) a a b a b... ab b ) Dla, wzory te przyjmują postać: Na przykład: a b a b) a b) a b a b) a ab b ) [ ] ) ) ) ) ) ) [ ] 0 Dla potęgi przykład wygląda bardziej skomplikowaie: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) [ ] ) )

4 Ostati przykład wymaga kometarza. Ostatie przekształceie polegało a podzieleiu liczika i miaowika przez. Dzieląc liczik przez dostajemy oczywiście. W miaowiku dziey każdy z składików sumy osobo przez. Tak a przykład w pierwszym składiku mamy: ) ) W przypadku, gdy współczyiki przy ajwyższych potęgach wielomiaów w awiasach są róże, liczeie moża zaczie ułatwić: ) [ )] W przypadku, gdy współczyiki te są rówe, postępowaie takie prowadzi do symbolu ieozaczoego 0: ) [ )] [ 0] 5.. Zadaia Zajdź graicę ciągu a : a a a a 5 a a a a 5 π 6 5 e 7 a 6. Graica z liczbą e Symbol jest symbolem ieozaczoym. Z defiicji mamy: e ) Zamiast moża tu wstawić dowoly ciąg rozbieży do ieskończoości. ) t t Niektóre ie ciągi moża odpowiedio przekształcić: t t ) t e ) ) ) ) [ ] e e ) ) ) ) ) ) [ ] e ) ) e 6 e

5 6.. Zadaia Zajdź graicę ciągu a : a ) a ) a 6 5 a 56) a ) a a a ) ) a ) a 6) a a 6 ) ) ) ) 7. Twierdzeie o ciągach Jeśli ciągi a, b, c dla prawie wszystkich spełiają ierówosć: a b c Tz. wyrazy ciągu b leżą pomiędzy wyrazami ciągów a i c oraz ciągi a i c mają wspólą graicę: To tą samą graicę ma ciąg b : Przykład: a c g b g si Zauważmy, że si jest fukcją ograiczoą, przyjmującą wartości od do. Tak więc: si Poieważ 0 to a podstawie twierdzeia o ciągach mamy: Policzyć graicę: si 0 ) si Zów zauważamy, że zarówo sius jak i ) jest ograiczoe. Tak więc dla > mamy: Dalej liczymy: ) si Tak więc a podstawie twierdzeia o ciągach mamy: ) si 5 [ ] 0 0 [ ] 0 0

6 7.. Zadaia Zajdź graicę ciągu a : a si a cos! a ) a cos si ) 8 8 a si cos a si a arccos! cos! a si a ) ) a si arcsi cos arccos si!cos! cos arcta a si si cos π ) a! si e! a ee si cos ta a ) a 8. Ilorazy sum fukcji wykładiczych W tym przypadku dziey liczik i miaowik ułamka przez ajwiększą z tych liczb: [ ] ) 0 ) 0 Tu podzieliliśmy liczik i miaowik przez. Dla przykładu: ) Korzystając z graicy ciągu geometryczego wiemy, że prawie wszystkie składiki sumy dążą do 0. Należy zwrócić uwagę a wykładiki potęg. W tym przypadku wygodiej jest ajpierw zamieić: i podzielić liczik i miaowik przez : ) [ ] ) 0 0 ) 0 0 Kolejy przykład: Zadaia Zajdź graicę ciągu a : [ ] ) 5) 7 5) 5) 9 5 a 5 5 a 0 a ) a a ) a a a a Pierwiastki -tego stopia Korzystając z graic: a, dlaa > 0 oraz twierdzeia o ciągach możemy obliczyć pewe graice. Dla przykładu, pierwiastek -tego stopia z wielomiau ma graicę. Na przykład licząc graicę: 6

7 Szacujemy: Dalej mamy: ) [ ] ) [ ] Tak więc a postawie twierdzeia o ciągach mamy: Prostą sytuację mamy rówież, gdy pod pierwiastkiem jest suma ciągów geometryczych tj. postaci a ). Wówczas przed pierwiastek wyłączamy składik, gdzie a jest ajwiększe, p: ) ) ) ) ) Skorzystałem tu z tożsamości: ) ) [ ] a a Czyli pomiąłem potęgę i pierwiastek tego samego stopia. Sytuacja ie zmieia się, gdy współczyiki te są miejsze iż : ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) [ ] 9.. Zadaia Zajdź graicę ciągu a : a a 5 a 5 5 a 6 a 6 8 a ) a ) ) 5) a ) ) ) a 6 a a a Podciągi Wiele ciągów ie ma graicy. Do takich ależy p. ciąg: a ) Nie powio to dziwić - ciąg przyjmuje aprzemieie wartości i - ie ma więc mowy o zbieżości do jedej z liczb. Aby udowodić jego rozbieżość korzystamy z twierdzeia: Ciąg a ma graicę g wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieży do g. Patrząc a to z drugiej stroy: jeśli zajdziemy podciągi ciągu a, zbieże do różych graic, to ciąg a ie ma graicy. Dla pierwszego przykładu ajłatwiej wziąć podciągi a oraz a. Wówczas: a ) 7

8 a ) ) Co dowodzi, że ciąg a ) ie ma graicy. Największą trudość sprawia wybraie odpowiedich podciągów. Dla przykładu dla ciągu: Należy wziąć podciągi a oraz a. Wówczas: 0.. Zadaia a si π a π si si π 0 0 a ) π si π si π ) si π Udowodij, że ciągi ie mają graicy: a cos π a ) ) a ta π a ) a si π a si π cos π a { ) a si l π dla,,... a dla,,.... Zadaia mieszae Zajdź graicę ciągu a lub udowodij, że graica ie istieje: a ) a a ) ) ) 5 a 5 5 a a π 5 a π e πe) 5 7 ) a 7 a 5 π a a 7 a a a π e 6 e π πe a a a ) a π e π e ) a ) a ) a ) )! 6 e a 5 si cos ta cos 7 a a a a a a 5 a π e a 5 a si!e ) a a ) a!!!! a a si cos cos π a π 6 6 a 6 7 e 5 66) 66 a a ) π ) a 7 6 a 8 ) a sih a cosh a tah a si cos a ) a l ) l a cos π a ) a 8