INDUKCJA MATEMATYCZNA
|
|
- Maciej Nowakowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera INDUKCJA MATEMATYCZNA
2 Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia zdefiiowaa jest astępująco: O! =! = () (-) (-)... (3) () (), dla defiicja reurecyja fucji silia: O! =! = (-)!, dla
3 Matematya Dysreta Małgorzata Stera WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY współczyi dwumiaowy symbol Newtoa po! ( )( )...( )!( )! ( )( )... występuje we wzorze a -tą potęgę dwumiau (x+y) : ( x y) ( x y) (x y)... (x y) x y 3 3 ( x y) x 3 y 3 3 y 3 x 3 y 3 x 3 y 3 x y 3 x 3 3 y 3xy 3x y 3 x 3
4 WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY współczyi dwumiaowy ( po ) oreśla liczbę -elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego (): Małgorzata Stera Matematya Dysreta 4... ) (... ) (! )! (! Podstawowe tożsamości: reguła symetrii reguła dodawaia s s s m m tożsamość Cauchy ego reguła pochłaiaia
5 Matematya Dysreta Małgorzata Stera WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY Współczyi dwumiaowy występujący we wzorze a -tą potęgę dwumiau (x+y): dla x=y= (x y) x oreśla liczość zbioru potęgowego y ( ) 5
6 Matematya Dysreta Małgorzata Stera TRÓJKĄT PASCALA obliczaie wartości współczyia Newtoa w oparciu o regułę dodawaia (x+y) = x y (x+y) = x y + x y (x+y) = x y + x y + x y (x+y) 3 = x 3 y + 3x y + 3x y + x y 3 (x+y) 4 = x 4 y + 4x 3 y + 6x y + 4x y 3 + x y 4 (x+y) 5 = x 5 y + 5 x 4 y + x 3 y + x y x y 4 + x y 5 współczyii -tego wiersza:... 6
7 WSPÓŁCZYNNIK WIELOMIANOWY współczyi dwumiaowy to przyład współczyia wielomiaowego Małgorzata Stera Matematya Dysreta 7 r,...,, r r !...!!! r występującego w rozwiięciu wielomiau r ) x... x x (...,...,, r r r r r...x x x,...,, dla = +, =,
8 Matematya Dysreta Małgorzata Stera INDUKCJA MATEMATYCZNA Iducja matematycza, to techia dowodzeia twierdzeń oparta a specyficzych własościach liczb całowitych, w szczególości a zasadzie dobrego uporządowaia. 8
9 Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA DOBREGO UPORZĄDKOWANIA Każdy iepusty podzbiór zbioru liczb całowitych dodatich Z +, zawiera elemet ajmiejszy. czyli Zbiór Z + jest dobrze uporządoway. Własość ta ozacz, że Z + = {xz: x > } Z + = {xz: x } (aalogiczą własość posiada ażdy podzbiór zbioru liczb całowitych, p. zbiór liczb aturalych N = {xz: x }). Zbiory p. liczb wymierych lub rzeczywistych dodatich Q + ={xq: x > }, R + ={xr: x > } ie są dobrze uporządowae. 9
10 Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA SKOŃCZONEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ (PIERWSZA ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ) Niech S() ozacza pewe zdaie otwarte, w tórym występuje zmiea reprezetująca dodatią liczbę całowitą, Z +. S() Z S() S( ) Z S() Jeśli i to () S() jest prawdziwe () dla dowolego Z +, S(+) jest prawdziwe, jeśli S() jest prawdziwe, S() jest prawdziwe dla wszystich Z +.
11 Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA SKOŃCZONEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ S() Z S() S( ) Z S() W zasadzie sończoej iducji matematyczej S(), to warue początowy, założeie o prawdziwości S() dla dowolego Z +, to hipoteza iducyja,. S() S( ),to ro iducyjy. Zasada iducji matematyczej mówi, że prawdziwość waruu początowego i rou iducyjego dowodzi prawdziwości hipotezy iducyjej.
12 Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA SKOŃCZONEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ Jeśli i to warue początowy może być poday dla dowolego elemetu Z +, tóry uzamy za pierwszy w procesie iducyjym wówczas zasada przyjmuje postać: S( ) () S( ) jest prawdziwe dla pewego Z + () dla dowolego, Z +, S() S( ) S(+) jest prawdziwe, jeśli S() jest prawdziwe, S() jest prawdziwe dla wszystich, Z +. S()
13 Matematya Dysreta Małgorzata Stera DOWÓD INDUKCYJNY S( ) S() S( ) Dowód oparty o zasadę iducji matematyczej wymaga: sformułowaia hipotezy iducyjej S(), dowiedzeia prawdziwości waruu początowego S( ), dowiedzeia prawdziwości rou iducyjego S() (wyazując prawdziwość rou iducyjego, ie dowodzi się prawdziwości zdaia S(+), ale prawdziwość impliacji S()S(+)). Dowód oparty o zasadę iducji matematyczej, to pośredie dowiedzeie iesończeie wielu twierdzeń (dla =): S(), S()S(), S()S(3), S(3)S(4),... 3
14 Matematya Dysreta Małgorzata Stera DOWÓD INDUKCYJNY - PRZYKŁAD Dowód i i Udowodij, że: Z i i... ( ) ( ) i 3... Z sformułowaie hipotezy iducyjej: i Z i i S() : i i ( ) ( )( ) ( ) wyazaie prawdziwości waruu początowego S(), =: ( ) ( ) dla,s() : i i ro iducyjy - wyazaie prawdziwości impliacji S()S(+): ( ) ( i ( i ) ) ( ) ( )( ) z założeia o prawdziwości S() ( ) c.b.d.u. 4
15 Matematya Dysreta Małgorzata Stera DOWÓD SKOŃCZONEJ ZASADY INDUKCJI MATEMATYCZNEJ Założeia: iech S() będzie pewym zdaiem spełiającym warui () i () czyli: S() S() S( ) Z iech F będzie zbiorem postaci: F={tZ + : S(t) jest fałszywe} iech F Dowód przez sprowadzeie do sprzeczości: z zasady dobrego uporządowaia wyia, że F zawiera elemet miimaly s, sf z założeia, S() spełia warue (), więc S() jest zdaiem prawdziwym, tym samym F i s, czyli s > poieważ s >, to s- > i s-z + poieważ s jest miimalym elemetem w F, to s-f, to S(s-) jest zdaiem prawdziwym z założeia, S() spełia warue (), czyli prawdziwość S(s-) pociąga za sobą prawdziwość S((s-)+), czyli S(s) jest zdaiem prawdziwym i sf c.b.d.u. otrzymaa sprzeczość wyia z założeia, że F, tym samym wyazao, że F= i S() jest spełioe dla wszystich Z + 5
16 Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASTOSOWANIE ZASADY INDUKCJI MATEMATYCZNEJ Zasada iducji matematyczej wyorzystywaa jest w rozumowaiu iducyjym, czyli w procesie formułowaia fatów ogólych w oparciu o zbiór obserwacji. Aaliza przypadów, wyiaia poszczególych przypadów jede z drugiego, pozwala odgadąć wzory ogóle i sugeruje sposób przeprowadzeia rou iducyjego w procesie ich dowodzeia. 6
17 Matematya Dysreta Małgorzata Stera PRZYKŁAD Day jest ciąg liczb x, x, x,... zdefiioway jao x =a x + =x +b dla a,b,n. Czy moża wyrazić x jao fucję parametru? =, x =a =, x =(a) + b =, x =(a+b) +b =3, x 3 =(4a+3b) +b =4, x 4 =(8a+7b) +b = a + b = a + b = 4 a + 3 b = 8 a + 7 b =6 a +5 b = a + (-)b = a + ( -)b = a + (-)b = a + ( -)b = 4 a + (4-)b = a + ( -)b = 8 a + (8-)b = 3 a + ( 3 -)b =6 a+ (6-)b = 4 a + ( 4 -)b x = a +( -)b 7
18 Matematya Dysreta Małgorzata Stera PRZYKŁAD Zaobserwowaą zależość moża udowodić orzystając z zasady iducji matematyczej. Założeia: x =a dla an Hipoteza iducyja: x + =x +b dla b,n S(): x = a+( -)b dla ażdego N Wyazaie prawdziwości waruu początowego dla =, S(): S(): x = a+( -)b = = a + b = = a Kro iducyjy - wyazaie prawdziwości S()S(+) dla dowolego, czyli: N x a ( )b x a ( )b S(+): x + = x + b = = ( a+( -)b) + b = = a+ ( -)b + b = = + a+( + -+)b = = + a+( + -)b 8
19 Matematya Dysreta ZASADA SILNEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ (DRUGA ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ) Niech S() ozacza pewe zdaie otwarte, w tórym występuje zmiea reprezetująca dodatią liczbę całowitą, Z +. Niech, Z +,. Jeśli () S( ), S( +),..., S( -), S( ) są prawdziwe i () dla dowolego Z +, S(+) jest prawdziwe, jeśli S( ), S( +),..., S(-), S() są prawdziwe, to S() jest prawdziwe dla wszystich Z +,. Małgorzata Stera S( ) S( S( ) S( )... S( ) )... S() S( ) S() 9
20 Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA SILNEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ () () S( ) S( S( ) S( )... S( ) )... S() S( ) S() Podobie ja w pierwszej zasadzie iducji matematyczej: () oreśla warue początowy () ro iducyjy założeie o prawdziwości S( )S( +)... S(-)S() dla Z + to hipoteza iducyja.
21 Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA SILNEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ S( ) S( S( ) S( )... S( Zasadę silej iducji matematyczej stosuje się: ) )... S() S( ) S() jeśli prawdziwość aalizowaego zdaia wyia z prawdziwości pewych zdań poprzedzających (a ie wyłączie z prawdziwości zdaia bezpośredio poprzedzającego), jeśli ro iducyjy ie jest prawdziwy dla pewych początowych wartości (prawdziwość zdań S() dla tych wartości musi być sprawdzoa iezależie w ramach dowodzeia waruu początowego), w aalizie defiicji reurecyjych, w tórych pewe wyrazy oreśloe są za pomocą wyrazów iych iż bezpośredio poprzedzający.
22 Matematya Dysreta Małgorzata Stera PRZYKŁAD Day jest ciąg liczb x, x, x,... zdefiioway astępująco: x =, x =, x =3, x =x - +x - +x -3 dla N, 3. Twierdzeie: S(): x 3, dla dowolego N Dowód Dowodzimy warue początowy wyazując, że zdaia S(), S(), S() są prawdziwe ( =, =): S(): x = 3 = S(): x = 3 =3 S(): x =3 3 =9 W rou iducyjym załadamy prawdziwość zdań S(), S(),..., S(-), S(-), S() dla N,, aby wyazać prawdziwość S(+): S(+): x + = x + x - + x = 3(3 ) = 3 + Kro iducyjy wymagał założeia prawdziwości 3 zdań poprzedzających, tz. [S(-) S(-) S()]S(+)
23 Matematya Dysreta Małgorzata Stera ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ Pierwsza zasada (sończoej) iducji matematyczej S( ) S() S( ) i druga zasada (silej) iducji matematyczej S() S( ) S( )... S( ) S() S( ) S( )... S() S( ) są rówoważe, tz. jeśli zaaceptujemy jedą z ich, to druga też jest poprawa. Jeśli założymy prawdziwość wszystich przypadów poprzedzających S(+), tz. S( ), S( +),..., S(-), S(), to założyliśmy rówież prawdziwość przypadu bezpośredio poprzedzającego - S(). Dowód prawdziwości S ()=S( )S( +)... S() w pierwszej zasadzie iducji jest rówoważy dowodowi S() w drugiej zasadzie. 3
24 Matematya Dysreta Małgorzata Stera POPRAWNOŚĆ DOWODU INDUKCYJNEGO Poprawy dowód iducyjy twierdzeia słada się z: dowodu waruu początowego, dowodu rou iducyjego. Prawdziwość rou iducyjego S() S( Z ) ie wystarcza do udowodieia aalizowaego twierdzeia. Koiecze jest wyazaie prawdziwości waruu początowego S( ), od tórego proces iducyjy może się rozpocząć. 4
25 Matematya Dysreta Małgorzata Stera PRZYKŁAD Udowodij, że dla dowolego Z +, liczba +5+ jest liczbą parzystą, czyli udowodij, że dla Z + istieje rn taie, że +5+=r. Dowód rou iducyjego S()S(+): S(): dla Z + istieje pn taie, że +5+=p S(+): dla (+)Z + istieje p N taie, że (+) +5(+)+=p S(+): (+) + 5(+) + = = ( +5+) + (+6) = = p + (+3) = (p++3) = p Kro iducyjy jest prawdziwy. Dowód waruu początowego: =: +5+ = +5+ = 7 S() jest fałszywe =: +5+ = 4++ = 5 S() jest fałszywe =3: +5+ = 9+5+ = 5 S(3) jest fałszywe... Nie istieje żada wartość Z +, dla tórego dowodzoa własość zachodzi pomimo, że ro iducyjy jest prawdziwy. Twierdzeie jest fałszywe! 5
26 Matematya Dysreta Małgorzata Stera WERYFIKACJA POPRAWNOŚCI PROGRAMÓW Weryfiacja poprawości programu, to sprawdzeie czy program rzeczywiście realizuje zadaie, tóre przed im postawioo. Weryfiacji poprawości ie moża przeprowadzać wyłączie poprzez testowaie programu dla różych daych wejściowych. Program powiie być poprawy iezależie od daych wejściowych. 6
27 Matematya Dysreta Małgorzata Stera PRZYKŁAD Twierdzeie: Następujący fragmet programu oblicza wartość x(y ) dla zadaych wartości parametrów, x,yr, N: start while do begi x:=xy; :=-; ed; Aswer:=x; ustaw początowe wartości x,yr i N ta x:=xy; :=-; ie Aswer:=x 7
28 Matematya Dysreta SFORMUŁOWANIE TWIERDZENIA start ustaw początowe wartości x,yr i N Małgorzata Stera while do begi x:=xy; :=-; ed; Aswer:=x; ta x:=xy; :=-; ie Aswer:=x S(): jeśli dla dowolych x,yr, N, program rozpoczya wyoywaie pętli while z wartością, to po omiięciu pętli (dla =) lub -rotym wyoaiu istrucji (dla >) zmiea Aswer przyjmuje wartość x(y ). Dowód prawdziwości S() oparty będzie o pierwszą zasadę iducji matematyczej. 8
29 Matematya Dysreta Małgorzata Stera WARUNEK POCZĄTKOWY S() S(): jeśli dla dowolych x,yr, N, program rozpoczya wyoywaie pętli while z wartością, to po omiięciu pętli (dla =) lub -rotym wyoaiu istrucji (dla >) zmiea Aswer przyjmuje wartość x(y ). start Program rozpoczya pętle while z wartością =, podąża gałęzią ie i ończy się z wartością Aswer = x = x() =x(y ) =x(y ) dla = Warue początowy S() jest prawdziwy. ustaw początowe wartości x,yr i N ta x:=xy; :=-; ie Aswer:=x 9
30 Matematya Dysreta Małgorzata Stera DOWÓD KROKU INDUKCYJNEGO S()S(+) S(): jeśli dla dowolych x,yr, N, program rozpoczya wyoywaie pętli while z wartością, to po omiięciu pętli (dla =) lub -rotym wyoaiu istrucji (dla >) zmiea Aswer przyjmuje wartość x(y ). start dla =+ pętla while ie może być pomiięta, gdyż =+. Istrucje pętli zostaą więc wyoae co ajmiej raz, po ich uończeiu astąpi powrót a począte pętli z wartościami: x = xy = -=(+)- = Program rozpoczya więc pętlę z =, x i y, czyli zgodie z hipotezą iducyją S() ończy obliczeia z wartością: Aswer = x (y ) = (xy)(y ) = x(y + ) czyli ro iducyjy S()S(+) jest prawdziwy dla dowolego N i x,yr ustaw początowe wartości x,yr i N ta x:=xy; :=-; ie Aswer:=x 3
31 Matematya Dysreta Małgorzata Stera POPRAWNOŚĆ PROGRAMU S(): jeśli dla dowolych x,yr, N, program rozpoczya wyoywaie pętli while z wartością, to po omiięciu pętli (dla =) lub -rotym wyoaiu istrucji (dla >) zmiea Aswer przyjmuje wartość x(y ). prawdziwość waruu początowego S() i rou iducyjego S()S(+) dla dowolych N i x,yr dowodzi prawdziwości twierdzeia S() dla dowolych N i x,yr Następujący fragmet programu oblicza wartość x(y ) dla zadaych wartości parametrów, x,yr, N: while do begi x:=xy; :=-; ed; Aswer:=x; c.b.d.u. 3
32 Matematya Dysreta Małgorzata Stera NIEZMIENNIKI PĘTLI Zdaie p jest iezmieiiem pętli postaci dopói g, wyouj S gdy spełia astępujący warue: jeśli zdaia p i g są prawdziwe, zaim zostaą wyoae roi S, to zdaie p będzie prawdziwe po wyoaiu S. while do begi x:=xy; :=-; ed; Aswer:=x; warue dozoru pętli g treść pętli S wyoaie treści pętli, to przebieg pętli lub iteracja Zdaie S(): Jeśli dla dowolych x,yr, N, program rozpoczya wyoywaie pętli while z wartością, to po omiięciu pętli (dla =) lub -rotym wyoaiu istrucji (dla >) zmiea Aswer przyjmuje wartość x(y ). jest iezmieiiem aalizowaej pętli while. 3
33 Matematya Dysreta Małgorzata Stera TWIERDZENIE O NIEZMIENNIKACH PĘTLI Przypuśćmy, że p jest iezmieiiem pętli dopói g, wyouj S oraz, że zdaie p jest prawdziwe, iedyolwie wchodzimy w pętle. Wtedy zdaie p jest prawdziwe po ażdej iteracji pętli. Jeśli pętla się ończy, to zdaie p jest adal prawdziwe, a zdaie g jest fałszywe. Niezmieii pętli mogą być używae do: projetowaia algorytmów (oreślają cel do wyoaia), dowodzeia poprawości algorytmów. Kostrucja iezmieia pętli jest przeważie zadaiem trudym. Wybrae zdaie S() może: ie być iezmieiiem algorytmu, gdy metoda ie realizuje postawioego zadaia, spełiać warui arzucoe a iezmiei, ale metoda realizuje błędie postawioe zadaie. 33
Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Analiza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Analiza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Zajęcia nr. 2 notatki
Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:
Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Wykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
IV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce
IV Uiwersyteca Sobota Matematycza 4 wietia 208 Fucje tworzące w ombiatoryce Dla ciągu a 0 a a 2... defiiujemy fucję tworzącą: G(x) = a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0. Zajdź fucje tworzące dla poiższych
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Ekonomia matematyczna - 2.1
Ekoomia matematycza - 2.1 Przestrzeń produkcyja Zakładamy,że w gospodarce występuje towarów, każdy jako akład ( surowiec ) lub wyik ( produkt ) w procesach produkcji. Kokrety proces produkcji jest reprezetoway
Kombinatorycznie o tożsamościach kombinatorycznych
Kombiatoryczie o tożsamościach ombiatoryczych Beata Bogdańsa, Szczeci Odczyt zawiera propozycję dydatyczą usystematyzowaej i samowystarczalej prezetacji tematu: Tożsamości dotyczace symbolu dwumieego.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Krótkie i dość swobodne wprowadzenie do liczb Stirlinga. Jakub Kamiński
Krótie i dość swobode wprowadzeie do liczb Stirliga Jaub Kamińsi 9 styczia 27 LICZBY STIRLINGA PIERWSZEGO RODZAJU Liczby Stirliga pierwszego rodzaju Liczby Stirliga zawdzięczają swoją azwę szociemu matematyowi
Ekonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Silnie i symbole Newtona
Podróże po Imperium Liczb Część Silie i symbole Newtoa Adrzej Nowici Wydaie drugie, uzupełioe i rozszerzoe Olszty, Toruń, 202 SSN - 33(080-2.05.202 Spis treści Wstęp Silie 5. Iformacje o cyfrach................................
Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Wyk lad 1 Podstawowe techniki zliczania
Wy lad 1 Podstawowe techii zliczaia Wariacje bez powtórzeń Defiicja 1. Niech i bed a liczbami aturalymi taimi, że. Niech A bedzie dowolym zbiorem elemetowym. Każdy ciag różowartościowy a 1,..., a d lugości
Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.
Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Matematyka dyskretna Kombinatoryka
Matematya dysreta Kombiatorya Adrzej Szepietowsi 1 Ci agi Zastaówmy siȩ, ile ci agów d lugości moża utworzyć z elemetów zbioru zawieraj acego symboli. Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elemety: to moża
x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a
5. Szeregi liczbowe Niech będzie day iesończoy ciąg liczbowy {a }. Ciąg A = azywamy ciągiem sum częściowych ciągu {a }. Jeżeli ciąg {A } jest zbieży, mówimy, że ciąg {a } jest sumowaly, a graicę a A =
Wykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Indukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Funkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
i = n = n 1 + n 2 1 i 2 n 1. n(n + 1)(2n + 1) n (n + 1) =
Druga zasada inducji matematycznej Niech m będzie liczbą całowitą, niech p(n) będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na zbiorze {n Z: n m} oraz niech l będzie nieujemną liczbą całowitą. Jeśli (P) wszystie
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach,
Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 2005. Wstęp do
Fraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO
Wrocław, 2 grudia 203 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia 2. INDUKCJA MATEMATYCZNA 2.. Wprowadzeie 2.2. Lista zadań
Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?
EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl Ciągłość uji w puie e. Fuję : azywamy iągłą w puie jeżeli Heie Cauhy Uwaga: Put ale ie musi być putem supieia zbioru. Jeżeli jest putem izolowaym
Kombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń
Kombiowaie o ieskończoości.. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch marzec 208 Szybkie przypomieie z wykładu Prezetacja multimediala do wykładu. Permutacje,
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Podstawowe cechy podzielności liczb.
Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się
W. Guzicki Zadanie o sumach cyfr poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 1 Popatrzmy a astępujące trzy zadaia: Zadaie 1. Ile jest liczb dwudziestocyfrowych o sumie cyfr rówej 5? Zadaie. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych
2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Wyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Liczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności
Liczby Stiriga I rodzaju - defiicja i własości Liczby Stiriga I rodzaju ozaczae symboem s(, ) moża defiiować jao współczyii w rozwiięciu x s(, )x, 0 (1) 0 gdzie x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały
Teoria i metody optymalizacji
eoria i metody optymalizaci Programowaie liiowe całowitoliczbowe PCL Metodologia podziału i ograiczeń Brach ad Boud (B&B) ma c A Z echique Metodologia podziału i ograiczeń B&B { A b i Z } Podstawą metodologii
Ekonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Arytmetyka pierścienia liczb całkowitych (w tym podzielność)
Arytmetyka pierścieia liczb całkowitych (w tym podzielość). Pojęcie pierścieia. Defiicja. Zbiór A z dwoma operacjami wewętrzymi o symbolach + i azywa się pierścieiem, jeżeli spełioe są waruki: ) A z operacją
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ
ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia
O KOMBINATORYCE ANALITYCZNEJ
O KOMBINATORYCE ANALITYCZNEJ Katedra Iformatyi Wydział Podstawowych Problemów Techii Politechia Wrocławsa OMatKo!!! 207 7 wietia 207 Współczyii dwumiaowe Wzór dwumiaowy Newtoa ( + x) = =0 x ( + x) y =
Funkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja