Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Transkrypt

1 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij, że dla dowolego całkowitego różica 5 3 dzieli się przez 24. Zadaie 3. Ciąg x 1, x 2, x 3,... jest określoy w te sposób, że x 1 = 1 oraz x +1 = 2x + 1 dla = 1, 2, 3,... Zajdź wzór ogóly a x. Zadaie 4. Zajdź waruek (koieczy i wystarczający) a to, by liczby dodatie x, y i z były długościami wysokości pewego trójkąta. Zadaie 5. Na ile sposobów moża ustawić w ciąg elemety a 1, a 2,..., a tak, aby elemety a 1 i a ie stały obok siebie? Zadaie 1. Udowodij, że liczba ma więcej iż 333 cyfry. Zestaw II (10 X) Zadaie 2. Zajdź wszystkie czwórki liczb całkowitych ieujemych x y z t spełiające rówaie x! + y! + z! = t!. Zadaie 3. Niech p będzie liczbą pierwszą, a m dodatią liczbą ieparzystą iepodzielą przez p. Udowodij, że jeżeli k i l są takimi liczbami całkowitymi iepodzielymi przez p, że suma k + l dzieli się przez p i ie dzieli się przez p 2, to suma k m + l m rówież dzieli się przez p i ie dzieli się przez p 2. Zadaie 4. Wykaż, że ( ) 2 jest podziele przez + 1. Zadaie 5. Day jest 2-kąt opisay a okręgu. Wykaż, że jeśli każde dwa przeciwległe boki tego wielokąta są rówoległe, to każde dwa przeciwległe boki tego wielokąta są rówe. Zadaie 1. Wykaż, że jeżeli liczby całkowite x, y, z, t spełiają rówaie to x, y i z są parzyste. x 2 + y 2 + z 2 = 4t 2, Zestaw III (30 X) 1

2 Zadaie 2. Zadaie ze starożytego Egiptu. Podziel 100 bocheków chleba między pięciu ludzi w te sposób, by uzyskae części staowiły ciąg arytmetyczy i jeda siódma sumy trzech ajwiększych części była rówa sumie dwóch ajmiejszych części. Zadaie 3. Oblicz sumę } 11.{{.. 11}. Zadaie 4. Wykaż, że pole trójkąta, którego wierzchołki leżą wewątrz kwadratu, jest miejsze od połowy pola tego kwadratu. Zadaie 5. Dae są czworokąty wpisae ABCD i A B C D. Udowodij, że jeżeli AB A B, BC B C i CD C D, to DA D A. Zestaw IV (5 XII) Zadaie 1. Wyzacz, w zależości od parametrów a i b, liczbę rozwiązań układu rówań { x + y = a, = b. x y Zadaie 2. Dae są liczby całkowite a, b, c takie, że a + b jest podziele przez c, a c jest podziele przez 3. Wykaż, że a 3 + b 3 jest podziele przez 3c. Zadaie 3. Udowodij, że w trójkącie prostokątym środkowa wychodząca z wierzchołka kąta prostego jest rówa połowie przeciwprostokątej. Zadaie 4. Wiadomo, że dwa spośród poiższych zdań o liczbie aturalej m są prawdziwe, a jedo fałszywe: a) m jest czwartą potęgą liczby aturalej, b) m + 1 jest podziele przez 3, c) m + 4 jest liczbą pierwszą. Zajdź liczbę m. Zadaie 5. Udowodij, że jeżeli pukt przecięcia przekątych czworokąta jest środkiem okręgu wpisaego w te czworokąt, to day czworokąt jest rombem. Zestaw V (30 I) Zadaie 1. Zajdź wszystkie cyfry, którymi może się kończyć zapis dziesięty sumy dla = 1, 2, 3,... 1! + 2! ! 2

3 Zadaie 2. Oblicz iloczy } 33.{{.. 33} 33 }{{... 3} 4. 1 Zadaie 3. Wykaż, że jeżeli x + y = z i y + z 0, to x 3 + z 3 y 3 + z 3 = x + z y + z. Zadaie 4. W ilu liczbach pięciocyfrowych cyfra 5 występuje dokładie k razy? Odpowiedz a to pytaie dla k = 0, 1,..., 5. Zadaie 5. W sferę wpisao ostrosłup prawidłowy czworokąty o ajwiększej możliwej objętości. Zajdź stosuek krawędzi boczej tego ostrosłupa do jego krawędzi podstawy. 3

4 Wskazówki do zadań Zestaw I 1. Przedstaw obie liczby w postaci iloczyu tej samej liczby czyików. 2. Przedstaw dae wyrażeie w postaci iloczyu. 3. Do obu stro rówości dodaj Skorzystaj ze wzoru a pole trójkąta. 5. Na ile sposobów moża ustawić w ciąg dae elemety tak, aby a 1 i a stały obok siebie? Zestaw II 1. Zapisz tezę zadaia w postaci ierówości. 2. Oszacuj z góry lewą stroę rówaia. 3. Napisz waruek a k + l, wyraź stąd p. k i oblicz k m + l m. 4. Przekształć wyrażeie (2 ) Symetria środkowa. Zestaw III tak, aby otrzymać symbole Newtoa. 1. Jaką resztę przy dzieleiu przez 4 daje kwadrat liczby całkowitej? Rozważ oddzielie kwadrat liczby parzystej i kwadrat liczby ieparzystej. 2. Moża oczywiście skorzystać ze zaych wzorów. Drugi sposób: ile wyosi suma trzech ajwiększych części, a ile suma dwóch ajmiejszych części? Czemu jest rówa środkowa część? 3. Pomóż tę sumę przez Podziel (we właściwy sposób) a dwie części kwadrat razem z trójkątem. 5. Rozważ wszystkie przypadki. Zwróć uwagę a kąty czworokątów. Zestaw IV 2. Skorzystaj ze wzoru skrócoego możeia. 3. Wykaż, że daa środkowa dzieli trójkąt a dwa trójkąty róworamiee. 4. Czy oba zdaia b) i c) mogą być prawdziwe? 5. Przyjrzyj się trójkątom, a które dzieli czworokąt jeda z jego przekatych. Zestaw V 1. Wypisz ostatie cyfry składików tej sumy. 4

5 2. Postaraj się wykorzystać liczbę } 99.{{.. 99}. 3. Wzory skrócoego możeia. 4. Na ile sposobów moża wybrać k miejsc, a których będą stały piątki? 5. Wyraź krawędź podstawy i krawędź ściay boczej przez promień kuli i wysokość ostrosłupa. 5