G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fourier.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC. zawierają fazy i amplitudy.

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fourier.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC. zawierają fazy i amplitudy."

Zbigniew Olejniczak
6 lat temu
Przeglądów:

1 Elemety aalizy ourierowskiej: W przypadku drgań było: () t A + A ( ω t + φ ) + A os( 2ω t + φ ) gdzie + A ω 0 os 2 2 os( ω t + φ ) π Moża zapisać jako: [ ] () t A + C exp( iω t) + C ( iω t) gdzie 0 exp C zawierają azy i amplitudy. ( Aos ϕ 2 ReC; Asiϕ 2ImC) +... Nieh A C ; 0 0 ; C + () t exp( iω t) Aaliza harmoiza poszukiwaie. Dla ukji harmoizej średia po wielu kompletyh okresah rówa zeru. Dla dwu ukji o różyh okresah średia z ih ilozyu po wielu kompletyh okresah rówa zero. Dla okresów rówyh 0.

2 2

3 Nieh () t ukja o okresie, () t okresie tą. I. () t () t 0 2π ω Nieh I ukja o dla wszystkih harmoik poza - [ ]dt () t C exp( iω t) + C exp( iω t) I C I + I () t exp( iω t)dt I C () t exp( iω t)dt Po podstawieiu () t w postai szeregu Fouriera pozostaą tylko wkłady do harmoizej (współzyiki I, I od -tej, ). 3

4 I C C C [ exp( iω t) + exp( iω t) ] exp( iω t) dt dt C I exp () t ( iω t)dt Jeśli zamy () t. 0 ()dt t Nie zawsze widmo jest symetryze względem 0. 4

5 Dla () t Dla () t parzystej: ( C C ) ieparzystej: W ogólośi: zespoloe. - współzyiki Fouriera Twierdzeie Fouriera prawdziwe dla dowolej ukji, ie tylko ukji zasu. Dla ali stojąej w struie było: ( z, t) A u ( z) os( ω t + φ ) u ( z) - siusoidale ukje włase (od zmieej przestrzeej). Ih argumet k obustroie k 2k, 3... z, dla struy zamoowaej, k ( z, t) Au ( z) os( ω t + φ ) Dla określoego t : 5

6 ( z) A u ( z) os stałe. gdzie A A ( ω t + φ ) u ( z) harmoize w z, stąd: ( z) exp( ik z) Jak dla t, ale t z, ω k Biorą 2π k k exp π ( z) ( ik z)dz 2π k 2 Modulaja: Jak zaleźć widmo zęstośi dla drgań zmodulowayh amplitudowo? inω t inω t () t M ()[ t Ce + C e ] M () t - obwiedia modulująa (periodyza z 2π ω ). 6

7 Częstość ośa N ω, N - duże. Nieh C ; C 2 C : inω t inω t () t M ()[ t e + e ] 2 Współzyik dla -tej harmoizej: 2 2 M M inω t inω t ()[ t e + e ] ω t [ ]dt e iω t i( N ) ω t i( + N ) () t e + e dt Dwie zęśi - ( N )-ta i ( + N ) ourierowska M () t. -ta składowa 7

8 Widmo zęstośi składa się z dwu widm odpowiadająyh M () t etrowayh w ( N ) i ( + N ). Zmiaa zęstośi ośej ie zmieia każdego z widm, tylko odległośi między imi. Impuls, pazka alowa: Nieh iąg impulsów prostokątyh. Zmieiamy zas repetyji: 8

9 Bez zmiay obwiedi, rośie lizba harmoik, ale ie zmieia się zakres zęstośi. Czy zakres zęstośi zmiei się, jeśli zmiei się długość impulsu? Największe zazeie mają małe zęstośi. Miarą zakresu zęstośi może być zakres między zerem i ajmiejszą zęstośią z 0. si π π 9

10 Częstość podstawowa Szerokość pasma ν t ν 0. ν - przybliżoe dla rozpatrywaego przypadku. Ogólie: ν t. Waże: ie jest zerem! Im impuls większy, tym szersze rozmyie zęstośi w szeregu Fouriera. W przypadku graizym ( t 0), wszystkie zęstośi (do ). Dla drgań harmoizyh zmodulowayh impulsami potrzeba zęstośi z pasma ν ± ν, ν t Nie ma ieskońzeie wąskih impulsów. 0

11 Impuls bardzo długi moża zbudować z drgań o zęstośiah z bardzo wąskiego pasma, etrowaego a zęstośi drgań. Grupa al: t z ω k z 2π k Jeśli zmodulowaa przestrzeie ala o lizbie alowej k 0 ; potrzebe ale o lizbah alowyh k0 ± k. Dla z małego iągłe widmo k. Trasormata Fouriera:

12 Dla pojedyzego impulsu zęstośi ω tworzą kotiuum. Zamiast sumy ałka. Zastępujemy ω przez ω, ałkujemy po ω zamiast sumować po, a w miejse i () ( ω ) ω t t e dω ( ω )? () t exp( iω t)dt ( ω ) dω ω ω ; dω 2π + 2 π iω t ( ω ) () t e dt W przestrzei: + + 2π ikz ikz ( z) ( k) e dk ( k) ( z) e dz 2

Podobne dokumenty

EFEKTY DYSPERSYJNE ZNIEKSZTAŁCAJĄCE KRÓTKIE IMPULSY LASEROWE. prof. Halina Abramczyk Laboratory of Laser Molecular Spectroscopy

EFEKTY DYSPERSYJNE ZNIEKSZTAŁCAJĄCE KRÓTKIE IMPUSY ASEROWE T t N t Dwa główe mehaizmy powoująe ziekształeie impulsów laserowyh: ) GVD-group veloity isspersio ) SMP-self phase moulatio 3 E E τ () 0 t /