Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Transkrypt

1 Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość od góry Dla dowodu ie wprost załóżmy, że ucja ie jest ograiczoa do góry Istieje więc ciąg ( [ tai że lim ( Z twierdzeia Bolzao-Weierstrassa wyi że z ograiczoego ciągu ( moża wybrać podciąg zbieży tz ( lim c Z ciągłości ucji otrzymujemy lim ( ( c, co jest w sprzeczości z atem lim ( (ażdy podciąg ciągu rozbieżego do iesończoości jest rozbieży do iesończoości Osiągaie resu górego M sup ( Jeśli res góry M zbioru wartości ucji ie jest osiągięty, to jest o putem supieia zbioru wartości ucji Istieje więc ciąg ( [ tai że lim ( M Z twierdzeia Bolzao-Weierstrassa istieje podciąg zbieży lim c Z ciągłości ucji otrzymujemy lim ( ( c M Tw (Darbou (o przyjmowaiu wartości pośredich Jeżeli : R I R - ciągła a przedziale I (, y ( y ( I y R < < I Dowód Rozważmy pomociczą ucję g((-y Fucja g przyjmuje a ońcach przedziału [l,p ] gdzie l mi{, } i p ma{, } wartości różych zaów, tz g ( l g( p < Niech s będzie środiem przedziału [l,p ] Jeśli g(s, to twierdzeie zostało udowodioe W przeciwym przypadu rozważamy przedział [l,p ] zastępując jede z ońców l, p putem s t aby g l g( p Powtarzamy powyższą procedurę ostruując ciąg przedziałów [l,p ] i ich środów ( < s Jeśli dla pewego otrzymamy g(s, to twierdzeie jest udowodioe Jeśli ie, to sostruowaliśmy dwa ciągi zbieże: iemalejący i ograiczoy od góry (l oraz ierosący i pl ograiczoy od dołu (p przy czym lim( p l lim Stąd lim l lim p Z tw o zachowaiu słabej ierówości w graicy otrzymujemy g (, więc g (, co ończy dowód

2 Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Tw (Catora Fucja jedostajie ciągła a [ : R [ R - ciągła a przedziale domiętym [ jest Dow: (ie wprost Nieprawd że jest jedostajie ciągła [ < δ ( ( < ] ~ ε > δ > ε ε > δ > < δ ( ( ε Dla ażdego δ, czyli w szczególości dla δ też istieją ciągi (, ( taie, że < i ( ( ε (istieje taie ε Poieważ ( jest ciągiem w [, więc moża z iego wybrać podciąg zbieży c Z waruu trójąta mamy c c, sąd wyi że c ( ( c i ( ( c, więc ( ( ( ( ε Z ciągłości ucji mamy, co przeczy waruowi Tw: (o loalym zachowaiu zau Jeżeli ucja : R ( R - ciągła a przedziale otwartym (, ( i ( >, to istieje otoczeie putu (powiedzmy K(,δ taie, że K(,δ (> Tw (o ciągłości ucji odwrotej Jeżeli ucja jest ciągła i rosąca (malejąca, to ucja odwrota : R I R (gdzie I dowoly przedział jest ciągła i rosąca (malejąca Dowód Niech będzie ciągła i rosąca w przedziale I Z twdarbou wyia że ciągły obraz przedziału jest przedziałem J[I] jest przedziałem a jest ucją różowartościową Istieje więc : J I i jest rosąca (dowód ie wprost Aby wyazać ciągłość ucji w pucie y przedziału J, wystarczy wyazać, że jeśli y y, to (y (y Gdyby ciąg ( ie dążył do graicy, to iesończeie wiele wyrazów leżałoby a zewątrz przedziału ( -ε, ε czyli spełiałoby jedą z ierówości < -ε, > ε W pierwszym przypadu y ( <( -ε( -η (tu orzystamy z założei że jest rosąca W drugim y ( >( ε ( η (η i η >Wobec tego iesończeie wiele wyrazów y leżałoby a zewątrz przedziału (y -η, y η co przeczy założeiu, ze y y Ciągłość złożeia Tw Jeżeli jest ciągła w pucie, a g jest ciągła w pucie ( to g o (złożeie z g jest ciągła w pucie Tw Jeżeli jest ciągła a zbiorze A i g jest ciągła a zbiorze B to g o jest ciągła a zbiorze A Tw Jeżeli jest jedostajie ciągła a zbiorze A i g jest jedostajie ciągła a zbiorze B to jedostajie ciągła a zbiorze A Dowód Powyższe twierdzeia są atychmiastową osewecją deiicji złożeia ucji i deiicji (odpowiedio putowej i jedostajej ciągłości ucji Ciągłość sumy, różicy, iloczyu i ilorazu ucji rzeczywistych zmieej rzeczywistej g o jest : R D R ; g : R D R

3 Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Tw Jeżeli i g są ciągłe w pucie pucie Jeżeli i g są ciągłe a zbiorze D, to A, to g, g, g g, g, g, g zbiorze D Jeżeli i g są jedostajie ciągłe a zbiorze D to, to zbiorze D ( ucje g i g ie musza być jedostajie ciągłe, g D ( g ( są ciągłe w ( g( są ciągłe a g, g są jedostajie ciągłe a Wiosi º Wielomia jest ucją ciągłą, bo jest o sumą ucji ciągłych oraz iloczyów ucji ciągłych º Fucja wymiera jest ciągł bo jest ilorazem dwóch ciągłych wielomiaów Dowodzi się, że 3º Fucja potęgowa jest ciągła tz D lim Z uwagi a rówość ( wystarczy udowodić ciągłość w pucie tz lim (ćwiczeia 4º Fucja wyładicza jest ciągła D lim a a Z uwagi a rówość a a a wystarczy udowodić ciągłość w pucie (ćwiczeia 5º Fucje trygoometrycze są ciągłe p lim si si (ćwiczeia Wiosi Fucje logarytmicze i cylometrycze są ciągłe (bo są odwrote do ucji ciągłych Fucje elemetare, czyli wszystie powyższe oraz taie, tóre moża otrzymać z poprzedich przez sończoą ilość działań arytmetyczych oraz złożeń, są ciągłe w swoich aturalych dziedziach Nieciągłości ma w ieciągłość usuwalą istieje graica w, ale lim ( ( ma w ieciągłość I-go rodzaju istieją graice jedostroe sończoe i są oe róże lim ( lim ( ma w ieciągłość II-go rodzaju pozostałe przypadi Tw Jeżeli Nieciągłości ucji mootoiczych : ( R jest mootoicz to (, istieją lim ( ( lim ( ( rodzaju d a b Fucja mootoicza może mieć więc jedyie put ieciągłości I-go Dow (dla ucji iemalejącej Niech ( będzie putem ieciągłości Z mootoiczości < ( zbiór ( : a < < } jest ograiczoym od góry przez ( { d ( i 3

4 Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Tw podzbiorem zbioru liczb R Z zasady ciągłości R istieje A sup ( Naśladując dowód a < < twierdzeia ciąg mootoiczy i ograiczoy jest zbieży poazujemy, że A lim ( Aalogiczie B i ( lim ( > Zbiór putów ieciągłości ucji mootoiczej jest co ajwyżej przeliczaly Dow (dla ucji iemalejącej : ( R Niech będzie putem ieciągłości (I-go rodzaju W przedziale ( Z mootoiczości: ( < ( (, ( wybieramy liczbę wymierą r ( Postępując ta samo dla ażdego putu ieciągłości oreślamy ucję r, tóra odwzorowuje zbiór putów ieciągłości w zbiór liczb wymierych Z mootoiczości: ucja r jest ściśle rosąc a więc różowartościowa Zbiór putów ieciągłości ucji mootoiczej jest rówoliczy z pewym podzbiorem przeliczalego zbioru liczb wymierych, czyli jest co ajwyżej przeliczaly Uzupełieie Ciągłość ucji wyładiczej Należy poazać, że lim a a Z uwagi a rówość a a a wystarczy poazać ciągłość ucji wyładiczej w pucie, czyli lim a a Korzystając z deiicji Heiego graicy ucji ależy poazać, że ( lim lim a Wiadomo, że lim a i lim stąd a ε ε a ε ε a ε Z atu lim wyi że m m Wobec tego a a a, gdy a > i a a a gdy a < Stąd biorąc N ma{, m } mamy ε ε N N a ε, czyli lim a Ciągłość ucji potęgowej Należy poazać, że D lim Z uwagi a rówość ( wystarczy poazać ciągłość ucji potęgowej w pucie, czyli lim Korzystając z deiicji Heiego graicy ucji ależy poazać, że ( lim lim Niech N będzie taie, że Z tw o arytmetyce graic wiadomo, że lim lim i lim Wobec tego ε ε ε ε ε Rozważając wszystie wariaty związae z mootoiczością ucji potęgowej i położeiem względem, mamy ierówość mi{, } ma{, }, z tórej wyi że 4

5 Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl ε ε ε, czyli lim, co dowodzi ciągłości ucji potęgowej w pucie Ciągłość ucji sius Należy poazać, że lim si si Z tożsamości si si cos si, ograiczoości ucji cosius i ierówości si mamy si si, z tórej łatwo wyia ciągłość ucji sius Podobie dowodzi się ciągłości ucji cosius Fucje tages i cotages jao ilorazy ucji ciągłych są ciągłe w swoich dziedziach 5