Chemia Teoretyczna I (6).

Transkrypt

1 Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez okreśeie Cząstka w jedowymiarowej studi (pude) potecjału rozumiemy cząstkę, mogącą poruszać się swobodie a odciku o skończoej długości. W mechaice kwatowej cząstka taka staowi jede z ajprostszych przykładów sytuacji, w której dozwooe wartości eergii są skwatowae. Rówaie Schrödigera da cząstki o masie m poruszającej się wzdłuŝ osi x ma postać h m dψ + V ψ Eψ, 1

2 Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału (c.d.) gdzie V(x) jest eergią potecjaą cząstki zajdującej się w pukcie x, E jest (stałą) eergią całkowitą, a ψ fukcją faową. Da omawiaego przykładu fukcja eergii potecjaej została pokazaa a astępym przezroczu. V V 0 V V 0 ( ) 0 da 0 x, x x 0 i x da. x

3 Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału (c.d.) Stała wartość V wewątrz studi zapewia, Ŝe w tym obszarze ie działa a cząstkę Ŝada siła; przyjęcie V 0 powoduje, Ŝe eergia E jest dodatia i rówa eergii kietyczej cząstki. Nieskończoa wartość V a ściaach studi i poza ią powoduje, Ŝe cząstka ie moŝe opuścić studi; w mechaice kwatowej ozacza to, Ŝe fukcja faowa cząstki jest rówa zeru poza studią i a jej ściaach. Probem zaezieia fukcji faowej wewątrz studi jest przykładem zagadieia brzegowego Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału (c.d.) h m dψ Eψ z warukami brzegowymi ψ(0) ψ() 0. Rówaie powyŝsze ma idetyczą postać jak rówaie opisujące oscyator harmoiczy. Istotie przyjmując ω me h, 3

4 Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału (c.d.) otrzymujemy rówaie dψ ω + ψ z rozwiązaiem ogóym (w postaci trygoometryczej) 0 ψ(x) d 1 cosωx + d siωx. Uwzgędiamy teraz waruki brzegowe ψ(0) ψ() 0. Da x 0 ψ(0) d 1 cos 0 + d si 0 d 1 0, a da x (uwzgędiając d 1 0) ψ() d siω 0. Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału (c.d.) PoiewaŜ fukcja sius jest rówa zeru tyko da argumetów będących wieokrotościami π, wyika stąd, Ŝe ω π da pewej iczby całkowitej : π ω, 0, ± 1, ±,... Rozwiązaiami zagadieia brzegowego są zatem fukcje πx d ψ si, 1,,3,... przy czym dozwooe rozwiązaia poumerowaiśmy iczbą kwatową. 4

5 Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału (c.d.) Wartość 0 została wykuczoa, poiewaŝ odpowiada jej ie fizycze, trywiae rozwiązaie ψ 0 (x) 0. Ujeme wartości rówieŝ moŝa pomiąć, gdyŝψ - (x) -ψ (x), czyi fukcje ψ i ψ - róŝią się jedyie zakiem. KaŜdej fukcji ψ odpowiada pewa eergia, rówa E h 8m (wzór te wyika z rówości E ħ ω /m h ω /8π m). Widzimy, Ŝe skwatowaie eergii jest kosekwecją ograiczeia ruchów cząstki do skończoego obszaru przez arzuceie waruków brzegowych; jest to ogóa prawidłowość w probemach kwatowo-mechaiczych. Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału (c.d.) Otrzymae wyiki pozostaą poprawe, jeśi cząstka zamiast po odciku będzie mogła poruszać się po dowoej ciągłej krzywej o długości (współrzędą x mierzymy wówczas wzdłuŝ tej krzywej. Fukcje faowe πx d ψ si, 1,,3,... ie są jeszcze w pełi wyzaczoe, poiewaŝ ie została okreśoa wartość stałej d. 5

6 Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału (c.d.) Aby wyzaczyć d, skorzystamy z tego, Ŝe kwadrat fukcji faowej iterpretuje się w mechaice kwatowej jako gęstość prawdopodobieństwa ψ (x) prawdopodobieństwo, Ŝe cząstka zajduje się w eemecie długości zawierającym pukt x. Całkowite prawdopodobieństwo zaezieia cząstki wewątrz studi jest rówe jedości, a zatem całkując po całej długości studi, dostajemy 1 d ψ 0 0. si πx d Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału (c.d.) Stąd d / i uormowae fukcje faowe mają postać πx si. ψ 6

7 ψ 1 (x) ψ (x) ψ 3 (x) x 1 3 Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału (c.d.) Wykresy pierwszych trzech spośród rozwiązań przedstawioo a poprzedim przezroczu. Widać, Ŝe fukcja faowa ψ ma ( - 1) miejsc zerowych (węzłów) pomiędzy końcami studi. Jest to przykład ogóej właściwości fukcji faowych, mówiącej, Ŝe iczba miejsc zerowych (tz. puktów, krzywych ub powierzchi węzłowych) rośie ze wzrostem eergii odpowiadającej daemu rozwiązaiu. Przykład cząstki w studi potecjału ma duŝe zaczeie w fizyce i chemii ie tyko da tego, Ŝe jest to jede z ajprostszych, ściśe rozwiązywaych modei, w którym obserwuje się skwatowaie eergii. Trójwymiarowy mode cząstki w studi potecjału stosoway jest w termodyamice statystyczej do badaia właściwości termodyamiczych gazu doskoałego. 7

8 Ortogoaość ψ UŜyjemy teraz fukcji: si πx aby pokazać waŝą właściwość rozwiązań rówaia Schrödigera. Rówaie Schrödigera da cząstki w jedowymiarowej studi potecjału moŝa zapisać w postaci h m d ψ Eψ ub Hψ Eψ, Ortogoaość (c.d.) gdzie operator róŝiczkowy: h m d H osi azwę operatora Hamitoa ub hamitoiau cząstki. Jeśi rówaie: H ψ Eψ jest spełioe, to efekt działaia operatora Ĥ a fukcjęψjest fukcją będącą wieokrotościąψ. 8

9 Ortogoaość (c.d.) NiezaeŜe od czasu rówaie Schrödigera moŝemy zawsze zapisać w postaci rówaia własego H ψ Eψ w którym hamitoia oraz waruki brzegowe są odpowiedie da rozwaŝaego układu. Dozwooe fukcje faowe ψ ψ azywamy fukcjami własymi hamitoiau, a odpowiadające im eergie E E to wartości włase Ĥ. WaŜą właściwością fukcji własych hamitoiau jest ich ortogoaość. Ortogoaość (c.d.) W przypadku cząstki w pude rozwaŝmy całkę I ψ m ψ 0, w której ψ m i ψ są dwoma róŝymi rozwiązaiami postaci ψ si πx 9

10 Ortogoaość (c.d.) Wówczas I si 0 mπx si πx 0, gdy m. ψ m 0 Ortogoaość (c.d.) ψ Wyika stąd, Ŝe 0 da m. O fukcjach spełiających powyŝszy waruek mówimy, Ŝe są ortogoae. 10

11 Ortogoaość (c.d.) Da uormowaych fukcji faowych, spełiających waruek: ψ 0 xψ ( ) 1 mamy zatem 1 da m ψ ψ m δ m 0 da m 0 Wiekość δ m, rówą 1, jeśi m i 0 da m, azywamy detą Kroeckera. O fukcjach spełiających powyŝszy waruek mówimy, Ŝe są ortoormae (ortogoae i zormaizowae). Zadaie 1 RozwiąŜ rówaie Schrödigera h m d ψ Eψ da cząstki w studi potecjału z warukami brzegowymi ψ(-/) ψ(/) 0. WykaŜ, Ŝe rozwiązaia ψ tego rówaia są parzystymi fukcjami x, jeśi jest ieparzyste, a ieparzystymi, gdy jest parzyste. 11

12 Zadaie RozwiąŜ rówaie Schrödigera h m dψ Eψ da cząstki w studi potecjału z warukami brzegowymi ψ(-/) ψ(/) 0. WykaŜ, Ŝe rozwiązaia ψ tego rówaia są (z dokładością do zaku) idetycze z ψ si πx jeśi x zamieimy a x + /. 1