UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

Transkrypt

1 Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a b a a a b a a a b m m m m gdzie a, b dla i m, oraz j. ij i Rozwiązaiem układu rówań liowych azywamy ciąg (,,, ) liczb rzeczywistych spełiających te układ. Układ rówań, który ie ma rozwiązaia, azywamy układem sprzeczym. Uwaga Powyższy układ rówań liowych moża zapisać w postaci macierzowej: AX B gdzie a a a b a a a b A, X, B, a m am am bm A macierz główa układu rówań liowych, X macierz iewiadomych, B macierz wyrazów wolych.

2 Defiicja (Układ jedorody i iejedorody) Układ rówań liowych postaci AX 0, gdzie A[ aij ] m, 0 [0] m. azywamy układem jedorodym. Układ rówań liowych postaci AX B, w którym macierz B jest macierzą iezerową azywamy układem iejedorodym. Uwaga Jedym z rozwiązań układu jedorodego AX 0, jest macierzą zerową wymiaru. Defiicja (Układ Cramera) Układem Cramera azywamy układ rówań liiowych AX kwadratową ieosobliwą (det A 0 ). B, w którym A jest macierzą Twierdzeia (wzór Cramera) Układ Cramera AX B ma dokładie jedo rozwiązaie. Rozwiązaie to jest określoe wzorem X det A det A det A, gdzie,,,, ozacza stopień macierzy A, det A det A det A atomiast Aj, j ozacza macierz A, w której j-tą kolumę zastąpioo kolumą wyrazów wolych. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układ rówań a) 7y, 3y 5 3 4y z 4 y z 7. 4y 4z Fakt (metoda macierzy odwrotej) Rozwiązaie układu Cramera AX B jest określoe wzorem X A B.

3 Podae układy rówań rozwiązać metodą macierzową 5 7y, 3y 5 3 3y z 4 y z 7. 4y 4z METODA ELIMINACJI GAUSSA DLA DOWOLNYCH UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Niech AX B będzie układem rówań liiowych, gdzie A jest macierzą wymiaru m. Układ te rozwiązujemy astępująco ) budujemy macierz rozszerzoą układu postaci a a a b a a a b [ A B], am am am bm iewiadome ) a macierzy rozszerzoej dokoujemy rówoważych przekształceń układu są to: zamiaa między sobą wierszy wi wj możeie wiersza przez stałą różą od zera w i c w dodaie do wszystkich wyrazów ustaloego wiersza odpowiadających im wyrazów iego wiersza pomożoych przez stałą w w c w i i j skreśleie wiersza złożoego z samych zer skreśleie jedego z wierszy rówych lub proporcjoalych zamiaa miejscami dwóch kolum przy jedoczesej zamiaie iewiadomych Ostateczie układ sprowadzamy do postaci 0 0 s r s z 0 0 sr s z [ A B], 0 0 sr r sr zr z r r r iewiadome parametry i 3

4 a) jeśli zr 0, to układ AX B jest sprzeczy; jeśli ostati wiersz macierzy [ A B ] ie pojawi się i =r, to układ AX B jest rówoważy układowi Cramera (układ ozaczoy) i jego jedye rozwiązaie ma postać z, z,, z ; c) jeśli ostati wiersz macierzy [ A B ] ie pojawi się i >r to układ AX B ma ieskończeie wiele rozwiązań (układ ieozaczoy). Rozwiązać podae układy rówań metodą elimiacji Gaussa a) y 3z t 3 6y 7z t 5 4y 7z 4t 6 y z y 3z 3y z 3 Defiicja (Mior macierzy) Niech A będzie dowolą macierzą wymiaru m oraz iech k mi( m, ). Miorem stopia k macierzy A azywamy wyzaczik macierzy kwadratowej, która powstała po skreśleiu m-k wierszy oraz -k kolum macierzy A. W macierzy obliczyć wszystkie miory stopia. Defiicja (Rząd macierzy) Rzędem macierzy azywamy ajwiększy stopień jej iezerowego miora. Rząd macierzy A ozaczamy przez rz A. Przyjmujemy, że rząd dowolej macierzy zerowej jest rówy 0. Zaleźć rząd podaej macierzy 3 A Fakt (własości rzędu macierzy) ) Rząd macierzy A wymiaru m spełia rówość 0 rz A mi( m, ); ) Rząd macierzy ieosobliwej jest rówy jej stopiowi; T 3) Rząd macierzy traspoowaej jest rówy rzędowi macierzy wyjściowej rz( A ) rz A; 4) Rząd macierzy diagoalej jest rówy liczbie jej iezerowych elemetów. 4

5 Defiicja (Macierz schodkowa) Macierz azywamy schodkową, gdy pierwsze ie zerowe elemety (tzw. schodki) w kolejych iezerowych wierszach tej macierzy zajdują się w kolumach o rosących umerach. Macierze schodkowe a) , , c) Twierdzeie (o rzędzie macierzy schodkowej) Rząd macierzy schodkowej jest rówy jej iezerowych wierszy (tj. liczbie schodków). OPERACJE NIE ZMIENIAJĄCE RZĘDU MACIERZY ) Zamiaa między sobą dwóch dowolych wierszy (kolum) wi wj ( k i k j ); ) Pomożeie dowolego wiersza (kolumy) przez liczbę różą od zera w c w ( k c k ); i i i i 3) Dodaie do ustaloego wiersza (ustaloej kolumy) sumy iych wierszy (kolum) pomożoych przez dowole stałe Twierdzeia (Kroeckera Capellego) w w c w c w i i j k Układ rówań liowych AX B ma rozwiązaie rząd macierzy A jest rówy rzędowi macierzy rozszerzoej [ A B ] tego układu. rz[ A B] rz A. Fakt (o liczbie rozwiązań układu rówań liiowych) Niech AX B będzie układem rówań liiowych z iewiadomymi. Wówczas: ) Jeżeli rz[ A B] rz A, to układ ie ma rozwiązaia (jest sprzeczy) ) Jeżeli rz[ A B] rz A, to układ ma dokładie jedo rozwiązaie (jest ozaczoy) 3) Jeżeli rz[ A B] rz A r, to układ ma ieskończeie wiele rozwiązań zależych od -r parametrów (jest ieozaczoy). 5

6 INTERPRETACJE GEOMETRYCZNE ROZWIĄZAŃ UKŁADU TRZECH RÓWNAŃ Z TRZEMA NIEWIADOMYMI Układ rówań ma dokładie jedo rozwiązaie Układ rówań ie ma rozwiązań Układ rówań ma ieskończeie wiele rozwiązań zależych od jedego parametru Układ rówań ma ieskończeie wiele rozwiązań zależych od dwóch parametrów 6

7 WARTOŚCI I WEKTRY WŁASNE Defiicja (wielomia i rówaie charakterystycze macierzy) Niech A będzie macierzą kwadratową. Wielomiaem charakterystyczym macierzy A azywamy wielomia określoy wzorem: w A( )=det(a- I). Rówaiem charakterystyczym tej macierzy azywamy rówaie postaci: w A( )=0. Defiicja (wartość i wektor własy macierzy) Niech A będzie macierzą stopia. ) Wartością własą macierzy A azywamy każdy pierwiastek wielomiau charakterystyczego tej macierzy, tj. liczbę lub spełiającą rówaie: w ( )=0. ) Niezerowy wektor [,,, ] lub azywamy wektorem własym macierzy A odpowiadającym wartości własej lub tej macierzy, jeżeli spełia waruek: A. Wyzaczyć wartości i wektory włase podaych macierzy A, A. A 7