Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel
|
|
- Jolanta Kalinowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Własośi zbiorów otwarth i domięth Tw. a) Suma dowolej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. b) Iloz sońzoej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. Dow. a) Mam rodzię zbiorów otwarth: U A s { A } : A -otwart. Należ poazać, że: s jest rówież zbiorem otwartm. Nieh będzie dowolm putem ależąm do U As s S : As K r, r) As zbiorem otwartm. s : r : K, r) UA s suma jest Dow. b): I Ai i,..., } Ai i,..., } r : K, ri) A i i i= : I r = mi{ r,..., r} ) i= : K, r A o ozaza, że I i i= A i jest zbiorem otwartm. Z praw De Morgaa wia, że: iloz dowolej ilośi zbiorów domięth jest zbiorem domiętm suma sońzoej ilośi zbiorów domięth jest zbiorem domiętm. GRANICA FUNKCJI Graia uji w puie supieia X, )- przestrzeń metrza, D X, - put supieia zbioru D. Y, )- przestrzeń metrza : X D Metra iduowaa w podzbiorze D przestrzei metrzej X Nieh X,) będzie przestrzeią metrzą a D X iepustm podzbiorem przestrzei X. Obiają dziedzię metri z X X do D D otrzmam ową przestrzeń metrzą D, D ) - przestrzeń metrza, gdzie = - metra iduowaa obięta) D D D Uwaga. Zbior otwarte w D są przeięiami zbioru D ze zbiorami otwartmi w X W szzególośi S, δ ) = { : <, < } δ Nieh : X D, - put supieia zbioru D. De. Heie) Put g Y jest graią uji w puie, o zapisujem lim = g, jeżeli S = ) ) lim lim = g, δ )
2 Powższa deiija jest rówoważa astępująej De. Cauh lim = g > > < δ, g) ε δ Kometarz: Pu supieia ie musi ależeć do D, zli uja ie musi bć oreśloa w. Nawet jeśli uja jest oreśloa w, to wartość uji w tm puie ie wpłwa a graie uji. Ciągłość uji w puie X,, Y, - przestrzeie metrze, D X,!) De. Fuję : X D azwam iągłą w puie jeżeli Heie ) D lim = lim = Cauh ε δ > δ, > )) Uwaga: Put ale ie musi bć o putem supieia zbioru D. Jeżeli jest putem izolowam zbioru D to z deiiji uja jest iągła w puie izolowam. Jeżeli atomiast jest putem supieia zbioru D to z deiiji uja jest iągła w puie supieia lim =. Ciągłość putowa X, ), Y, ) - przestrzeie metrze, : X D De. Fuja jest putowo iągła w D jeżeli jest iągła w ażdm puie zbioru D, zli C) jest putowo iągła w D H) Ciągłość jedostaja ε > δ > lim D X, ), Y, ) - przestrzeie metrze, : X D De. Fuja jest jedostajie iągła w D gd, = lim, ) ε > δ > ) δ ) ) δ ) = ), )) Bezpośredio z deiiji otrzmujem orzstają z tautologii { : ϕ} { : ϕ} Tw. Jeżeli jest jedostajie iągła a D, to jest putowo iągła a D. Problem. Ja pratzie badać jedostają iągłość uji? Użtezm pojęiem jest tzw. moduł iągłośi uji. De. Modułem iągłośi uji : X D azwam uję
3 ω d = ω, = sup{ Y, )): X ) δ} Tw. Fuja Dowód. : X D jest jedostajie iągła a D limω, ) = : X D jest jedostajie iągła a D δ, ) ε > δ > A A ε > δ > δ ω, ) limω, ) = Ia deiija iągłośi uji w przestrzei metrzej: De. Fuja jest putowo) iągła a X, ) ε > X δ > X < δ < ε Motwuje to astępująą deiiję: K K K, [ K, ] [ K, ] De. Fuja jest iągła a X A-otwart w Y [ A] -otwart w X. A Y Uwaga. W deiiji tej ie wstępuje jawie pojęie metri, tlo zbioru pojęie otwartego. Dążą do uogólieia pojęia uji iągłej moża zdeiiować ajpierw zbior otwarte, a późiej w powższ sposób zdeiiować iągłość uji. W zbiorze X rozważam rodzię I podzbiorów zbioru X, zli I X, gdzie X ozaza rodzię wszstih możliwh podzbiorów zbior X De: Rodzię I X spełiająą warui º I, X I º A s I U 3º A,,A I I A s A = I I azwam topologią w X a jej elemet zli zbior zbiorami otwartmi. 3
4 X, I ), Y, I ) - przestrzeie topologize De. Fuja : X jest iągła a X A Y A I - [A] I Wprowadzaie pewh pojęć, za pomoą tórh moża zdeiiować iągłość uji, azwam zadawaiem topologii. Uwagi. Słowo topologia wstępuje przajmiej w dwóh zazeiah. Zespół pojęć za pomoą tórh deiiujem iągłość Rodzia zbiorów otwarth Topologię moża zadać poprzez metrę poprzez zdeiiowaie rodzi zbiorów otwarth zli topologii) poprzez asjomatze zdeiiowaie iągów zbieżh i deiiję iągłośi tpu Heiego topologia iągowa L - Freheta ) Zbior zwarte i ih własośi X, ) - przestrzeń metrza De. A X azwam zbiorem zwartm jeżeli z ażdego iągu ) A moża wbrać podiąg zbież ) do elemetu zbioru A, zli ) ) ): A) A Np.: Przedział [ a, b] jest zbiorem zwartm w R, ). Przedział [ a, b] jest ograizo TwB W. z ażdego iągu elemetów przedziału [ a, b] moża wbrać podiąg zbież. Graią tego podiągu zbieżego jest put supieia przedziału. Przedział domięt z deiiji zawiera wszstie swoje put supieia, zli rówież te, do tórego zbież jest wbra podiąg. Tw. W przestrzei metrzej zbiór zwart jest domięt i ograizo. Dowód. domiętość). Mam poazać, że A=A. Przpuśćm dla dowodu ie wprost, że istieje a A i a A. Put a musi bć wię putem supieia put izolowa zbioru ależ do zbioru). Istieje wię iąg ) A tai, że a. Ze zwartośi A z iągu moża wbrać podiąg zbież do elemetu zbioru A. Poieważ ażd podiąg iągu zbieżego do a jest zbież do a wiosujem, że a A.sprzezość). 4
5 Ograizoość. Przpuśćm dla dowodu ie wprost, ze A jest zbiorem zwartm i ieograizom. Z ieograizoośi A wia, że istieje iąg ) A, tai, że,a). Ale ze zwartośi A wia, że z iągu ) moża wbrać podiąg zbież do A. Z iągłośi metri, a ), a ), o przez waruowi, a) sprzezość). Uwaga. W drugą stroę twierdzeie to ie jest prawdziwe. Ale w R, )[metra eulidesowa] zbiór zwart domięt i ograizo. E Tw. Domięt podzbiór B zbioru zwartego A jest zbiorem zwartm Dow. Weźm dowol iąg ) B A. Ze zwartośi A wia, ze moża wbrać podiąg ) A. Stąd jest putem supieia zbioru B, a z domiętośi B wia, że B, o dowodzi zwartośi B. De. X, ) - przestrzeń metrza, X zbiór zwart X, ) - przestrzeń zwarta. Przład [a,b], ) przestrzeń metrza zwarta A R, A domięt A, E) przestrzeń metrza zwarta Tw. Ciągł obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartm. tz, : X iągła X, Y prz. metr. X- zwarta Y- zwarta Dow. Weźm dowol iąg wartośi ) [ X], zli : = ). X to przestrzeń zwarta, wobe tego z iągu ) moża wbrać podiąg zbież X ) : X. Z deiiji iągłośi Heie go wia, że ) ). Z dowolego iągu ) wbraliśm wię podiąg zbież [X] 5
Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?
EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl Ciągłość uji w puie e. Fuję : azywamy iągłą w puie jeżeli Heie Cauhy Uwaga: Put ale ie musi być putem supieia zbioru. Jeżeli jest putem izolowaym
Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
IV. RÓWNANIA RÓŻNICOWE
V. RÓWNANA RÓŻNCOWE 4.. Wstęp Prz frowm przetwarzaiu sgałów dooujem ih dsretzaji zli próbowaia, tz. zamia sgału iągłego a iąg sgałów dsreth. Sgał iągł (t) przedstawiam jao iąg rzędh wzazah dla dsreth wartośi
Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (
AM11 zadaia 8 Przypom e kilka dosyć ważyh grai, które już pojawiły się a zajeiah e 1 lim 1 l(1+) (1+) 1, lim 1, lim a 1 si a, lim 1 0 0 0 0 l 2 lim 0, lim a 0 dla każdego a R, lim (1 + 1 e ) e, lim 1/
1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam
Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fourier.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC. zawierają fazy i amplitudy.
Elemety aalizy ourierowskiej: W przypadku drgań było: () t A + A ( ω t + φ ) + A os( 2ω t + φ ) gdzie + A ω 0 os 2 2 os( ω t + φ ) +... 2π Moża zapisać jako: [ ] () t A + C exp( iω t) + C ( iω t) gdzie
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Iormaa - Wład 9 - dr Bogda Ćmel cmelbog@ma.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Wykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
1. Miara i całka Lebesgue a na R d
1. Miara i całka Lebesgue a a R d 1. Miara. Mówimy, że rodzia podzbiorów S zbioru Ω jest σ-ciałem, jeśli wraz z każdym zbiorem zawiera oa jego dopełieie i jest zamkięta a sumowaie przeliczalych podrodzi.
Ekonomia matematyczna - 2.1
Ekoomia matematycza - 2.1 Przestrzeń produkcyja Zakładamy,że w gospodarce występuje towarów, każdy jako akład ( surowiec ) lub wyik ( produkt ) w procesach produkcji. Kokrety proces produkcji jest reprezetoway
III. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2
8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera
AALIZA FOURIEROWSKA szybi trasformaty Fourira dowola fuję priodyzą F( w zasi lub przstrzi (tx, ors T) moża przdstawić jao () F( b o + [ a si( + b os( ] gdzi π / T lub ω zauważmy, ż ω, jst ajiższą zęstośią
GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Zadanie 3. ( ) Udowodnij, że jeśli (X n, F n ) jest martyngałem, to. X i > t) E X n. . t. P(sup
Szkice rozwiązań zadań z serii dwuastej oraz części zadań z kartkówki. Zadaie 1. Niech (X, F ) będzie martygałem. Czy X jest domykaly, jeśli ciąg EX l X jest zbieży? X jest zbieży prawie a pewo? X jest
3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
gi i szeregi funkcyjne
ostatia aktualizacja: 15 czerwca 2012, 18:42 Podobie jak poprzedio wieszam tekst, ad którym powiieem jeszcze popracować, wie c prosze o iformacje o zauważoych b le dach. Przyk lad fukcji g lej igdzie ieróżiczkowalej
Szkic notatek do wykładu Analiza Funkcjonalna MAP9907
Szkic otatek do wykładu Aaliza Fukcjoala MAP9907 Prowadzący: prof dr hab Tomasz Dowarowicz Sporządził: Paweł Szołtysek Spis treści I Wstęp do Aalizy Fukcjoalej 0 Przestrzeie Metryka Kula 3 Zbiory otwarte
Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Johann Wolfgang Goethe Def.
"Maemac ą ja Facuz: coolwe m ę powe od azu pzeładają o a wój wła jęz wówcza aje ę o czmś zupełe m." Joha Wola Goehe Weźm : m m Jeżel zdeujem ucje pomoccze j : j dla j = m o = m dze = Czl wacz pzeaalzowad
f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n
6 Szeregi Fourier Defiij Dwie fuje ψ :< > C zywmy fujmi ortogolymi przedzile < > gdy ψ Defiij Ciąg fuji ) :< > C zywmy ułdem ortogolym przedzile < > gdy fuje są prmi ortogole przedzile < > tz gdy j j λ
ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Fraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
Analiza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013
Aaliza Fukcjoala WPPT IIIr. semestr leti 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013 NiechX ozaczaprzestrzeńbaacha,ax jejdual a(czyliprzestrzeńfukcjoa lów ograiczoych
zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Analiza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Matematyka dyskretna Kombinatoryka
Matematya dysreta Kombiatorya Adrzej Szepietowsi 1 Ci agi Zastaówmy siȩ, ile ci agów d lugości moża utworzyć z elemetów zbioru zawieraj acego symboli. Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elemety: to moża
Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Mec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.
echaika ogóla Wkład r 2 Wpadkowa dowolego układu sił. ówowaga. odzaje sił i obciążeń. odzaje ustrojów prętowch. Wzaczaie reakcji. Wpadkowa układu sił rówoległch rzłożeie układu zerowego (układ sił rówoważącch
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
lim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Analiza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Ekonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Ekonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Ciągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia. i ich zastosowań w przemyśle" POKL /10
Podstaw algortmów rekurejh mgr iż. Adam Kozak mgr iż. TomaszGłowaki tglowaki@s.put.poza.pl poza pl Zajęia fiasowae z projektu "Rozwój i doskoaleie kształeia a Politehie Pozańskiej w zakresie tehologii
1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach
Rówaia liiowe rzędu drugiego stałyh współzyikah Rówaiem różizkowym zwyzajym liiowym drugiego rzędu azywamy rówaie postai p( t) y q( t) y r( t), (1) gdzie p( t), q( t), r( t ) są daymi fukjami Rówaie to,
Wstęp do Sztucznej Inteligencji: Laboratorium Sterownik rozmyty
Wstęp do Sztucznej Inteligencji: Laboratorium Sterowni rozmt Zbior rozmte pozwalają w sposób usstematzowan modelować pojęcia niepreczjne, jaimi ludzie posługują się na co dzień. Przładem może bć wrażenie
Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Wartości i wektory własne
Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń
28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Krótkie i dość swobodne wprowadzenie do liczb Stirlinga. Jakub Kamiński
Krótie i dość swobode wprowadzeie do liczb Stirliga Jaub Kamińsi 9 styczia 27 LICZBY STIRLINGA PIERWSZEGO RODZAJU Liczby Stirliga pierwszego rodzaju Liczby Stirliga zawdzięczają swoją azwę szociemu matematyowi
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Materiały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
0, co implikuje tezę. W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna ( f (c)
RACHUNEK RÓŻNCZKOWY cd Twierdzeie Lagrage a: Jeżeli jest ciągła w [a,b], jest różiczkwala w a,b), t ca,b) : b)-a)= c) b-a) b) Dwód Wystarczy rzpatrzyć ukcję t) t) t a), t[a,b], która b a spełia załżeia
Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα