Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel

Transkrypt

1 Własośi zbiorów otwarth i domięth Tw. a) Suma dowolej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. b) Iloz sońzoej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. Dow. a) Mam rodzię zbiorów otwarth: U A s { A } : A -otwart. Należ poazać, że: s jest rówież zbiorem otwartm. Nieh będzie dowolm putem ależąm do U As s S : As K r, r) As zbiorem otwartm. s : r : K, r) UA s suma jest Dow. b): I Ai i,..., } Ai i,..., } r : K, ri) A i i i= : I r = mi{ r,..., r} ) i= : K, r A o ozaza, że I i i= A i jest zbiorem otwartm. Z praw De Morgaa wia, że: iloz dowolej ilośi zbiorów domięth jest zbiorem domiętm suma sońzoej ilośi zbiorów domięth jest zbiorem domiętm. GRANICA FUNKCJI Graia uji w puie supieia X, )- przestrzeń metrza, D X, - put supieia zbioru D. Y, )- przestrzeń metrza : X D Metra iduowaa w podzbiorze D przestrzei metrzej X Nieh X,) będzie przestrzeią metrzą a D X iepustm podzbiorem przestrzei X. Obiają dziedzię metri z X X do D D otrzmam ową przestrzeń metrzą D, D ) - przestrzeń metrza, gdzie = - metra iduowaa obięta) D D D Uwaga. Zbior otwarte w D są przeięiami zbioru D ze zbiorami otwartmi w X W szzególośi S, δ ) = { : <, < } δ Nieh : X D, - put supieia zbioru D. De. Heie) Put g Y jest graią uji w puie, o zapisujem lim = g, jeżeli S = ) ) lim lim = g, δ )

2 Powższa deiija jest rówoważa astępująej De. Cauh lim = g > > < δ, g) ε δ Kometarz: Pu supieia ie musi ależeć do D, zli uja ie musi bć oreśloa w. Nawet jeśli uja jest oreśloa w, to wartość uji w tm puie ie wpłwa a graie uji. Ciągłość uji w puie X,, Y, - przestrzeie metrze, D X,!) De. Fuję : X D azwam iągłą w puie jeżeli Heie ) D lim = lim = Cauh ε δ > δ, > )) Uwaga: Put ale ie musi bć o putem supieia zbioru D. Jeżeli jest putem izolowam zbioru D to z deiiji uja jest iągła w puie izolowam. Jeżeli atomiast jest putem supieia zbioru D to z deiiji uja jest iągła w puie supieia lim =. Ciągłość putowa X, ), Y, ) - przestrzeie metrze, : X D De. Fuja jest putowo iągła w D jeżeli jest iągła w ażdm puie zbioru D, zli C) jest putowo iągła w D H) Ciągłość jedostaja ε > δ > lim D X, ), Y, ) - przestrzeie metrze, : X D De. Fuja jest jedostajie iągła w D gd, = lim, ) ε > δ > ) δ ) ) δ ) = ), )) Bezpośredio z deiiji otrzmujem orzstają z tautologii { : ϕ} { : ϕ} Tw. Jeżeli jest jedostajie iągła a D, to jest putowo iągła a D. Problem. Ja pratzie badać jedostają iągłość uji? Użtezm pojęiem jest tzw. moduł iągłośi uji. De. Modułem iągłośi uji : X D azwam uję

3 ω d = ω, = sup{ Y, )): X ) δ} Tw. Fuja Dowód. : X D jest jedostajie iągła a D limω, ) = : X D jest jedostajie iągła a D δ, ) ε > δ > A A ε > δ > δ ω, ) limω, ) = Ia deiija iągłośi uji w przestrzei metrzej: De. Fuja jest putowo) iągła a X, ) ε > X δ > X < δ < ε Motwuje to astępująą deiiję: K K K, [ K, ] [ K, ] De. Fuja jest iągła a X A-otwart w Y [ A] -otwart w X. A Y Uwaga. W deiiji tej ie wstępuje jawie pojęie metri, tlo zbioru pojęie otwartego. Dążą do uogólieia pojęia uji iągłej moża zdeiiować ajpierw zbior otwarte, a późiej w powższ sposób zdeiiować iągłość uji. W zbiorze X rozważam rodzię I podzbiorów zbioru X, zli I X, gdzie X ozaza rodzię wszstih możliwh podzbiorów zbior X De: Rodzię I X spełiająą warui º I, X I º A s I U 3º A,,A I I A s A = I I azwam topologią w X a jej elemet zli zbior zbiorami otwartmi. 3

4 X, I ), Y, I ) - przestrzeie topologize De. Fuja : X jest iągła a X A Y A I - [A] I Wprowadzaie pewh pojęć, za pomoą tórh moża zdeiiować iągłość uji, azwam zadawaiem topologii. Uwagi. Słowo topologia wstępuje przajmiej w dwóh zazeiah. Zespół pojęć za pomoą tórh deiiujem iągłość Rodzia zbiorów otwarth Topologię moża zadać poprzez metrę poprzez zdeiiowaie rodzi zbiorów otwarth zli topologii) poprzez asjomatze zdeiiowaie iągów zbieżh i deiiję iągłośi tpu Heiego topologia iągowa L - Freheta ) Zbior zwarte i ih własośi X, ) - przestrzeń metrza De. A X azwam zbiorem zwartm jeżeli z ażdego iągu ) A moża wbrać podiąg zbież ) do elemetu zbioru A, zli ) ) ): A) A Np.: Przedział [ a, b] jest zbiorem zwartm w R, ). Przedział [ a, b] jest ograizo TwB W. z ażdego iągu elemetów przedziału [ a, b] moża wbrać podiąg zbież. Graią tego podiągu zbieżego jest put supieia przedziału. Przedział domięt z deiiji zawiera wszstie swoje put supieia, zli rówież te, do tórego zbież jest wbra podiąg. Tw. W przestrzei metrzej zbiór zwart jest domięt i ograizo. Dowód. domiętość). Mam poazać, że A=A. Przpuśćm dla dowodu ie wprost, że istieje a A i a A. Put a musi bć wię putem supieia put izolowa zbioru ależ do zbioru). Istieje wię iąg ) A tai, że a. Ze zwartośi A z iągu moża wbrać podiąg zbież do elemetu zbioru A. Poieważ ażd podiąg iągu zbieżego do a jest zbież do a wiosujem, że a A.sprzezość). 4

5 Ograizoość. Przpuśćm dla dowodu ie wprost, ze A jest zbiorem zwartm i ieograizom. Z ieograizoośi A wia, że istieje iąg ) A, tai, że,a). Ale ze zwartośi A wia, że z iągu ) moża wbrać podiąg zbież do A. Z iągłośi metri, a ), a ), o przez waruowi, a) sprzezość). Uwaga. W drugą stroę twierdzeie to ie jest prawdziwe. Ale w R, )[metra eulidesowa] zbiór zwart domięt i ograizo. E Tw. Domięt podzbiór B zbioru zwartego A jest zbiorem zwartm Dow. Weźm dowol iąg ) B A. Ze zwartośi A wia, ze moża wbrać podiąg ) A. Stąd jest putem supieia zbioru B, a z domiętośi B wia, że B, o dowodzi zwartośi B. De. X, ) - przestrzeń metrza, X zbiór zwart X, ) - przestrzeń zwarta. Przład [a,b], ) przestrzeń metrza zwarta A R, A domięt A, E) przestrzeń metrza zwarta Tw. Ciągł obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartm. tz, : X iągła X, Y prz. metr. X- zwarta Y- zwarta Dow. Weźm dowol iąg wartośi ) [ X], zli : = ). X to przestrzeń zwarta, wobe tego z iągu ) moża wbrać podiąg zbież X ) : X. Z deiiji iągłośi Heie go wia, że ) ). Z dowolego iągu ) wbraliśm wię podiąg zbież [X] 5