Zajęcia nr. 2 notatki

Transkrypt

1 Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi: (a b) a ab b, (a b) a ab b, (a b)(a b) a b Uwaga Istieją rówież wzory srócoego możeia dla potęg wyższych iż W szczególości, często będziemy orzystać z wzorów, w tórych występują wyrażeia w 3 potędze W astępym podrozdziale omówimy taie wzory Uwaga 3 Jeśli iedyolwie zdarzy Ci się zapomieć tóryś z wzorów srócoego możea, możesz w bardzo prosty sposób wyprowadzić go sobie Wyprowadźmy dla przyładu wzór a (a b) Po pierwsze trzeba zapisać wadrat jao iloczy, czyli (a b) (a b)(a b), a astępie po prostu wymożyć awiasy, czyli: (a b)(a b) a a a b b a b b Po uporządowaiu otrzymaego wyrażeia dostajemy asz wzór W te sposób moża rówież wyprowadzić dowole wzory srócoego możeia (dla dowolej potęgi), jeda jest to bardzo czasochłoe (jeśli potęga jest duża) Wzór Newtoa W tym rozdziale podamy uogólioe wzory srócoego możeia, tóre pozwalają obliczyć wyrażeia postaci: (a b), gdzie jest liczbą aturalą Silia Aby wprowadzić uogólioe wzory srócoego możeia, musimy ajpierw zdefiiować silię, tóra będzie pojawiać się we wzorze a symbol Newtoa Zaczijmy od formalej defiicji Defiicja (silia) Silią azywamy fucję f, tórej dziedzią jest zbiór liczb aturalych, oraz tóra spełia astępujące warui: Zwyczajowo piszemy! zamiast pisać f() { f() f( ) f() ( )

2 Formala defiicja sili może wydać się początowo mało czytela Taa defiicja jest bowiem przyładem defiicji reurecyjej Reurecja, to sposób defiiowaia fucji, lub ogólie pojęć, tóry w treści defiicji odwołuje się sam do siebie Zauważym, że aby wyliczyć wartość sili dla jaieś liczby aturalej, musimy ajpierw pozać jej wartość dla liczby itd Wydawać by się mogło, że tai zapis prowadzi jedyie do ompliacji Nie zawsze ta jest Czasem oczywiście podaie wzoru jawego (zwyłego iereurecyjego) jest możliwe i miarę proste Czasem jeda ie da się w ogóle podać iego wzoru iż reurecyjy, bądź wzór reurecyjy oazuje być dużo wygodiejszy od iych Przyład Policzmy dla przyładu, orzystając z wzoru reurecyjego, wartość 7!: 7! 6! 7 5! 6 7 4! ! ! ! ! Ja widać, musieliśmy się sporo amęczyć rozpisując z defiicji poszczególe silie Na szczęście w pratyce igdy ta ie liczymy sili Aalizując powyższy przyład łatwo zauważyć pewą prawidłowość, tóra w dużym stopiu ułatwi obliczaie sili Uwaga 3 (obliczaie sili) Silia liczby aturalej > jest to iloczy liczb,,, czyli:! Jao cieawostę moża powiedzieć, że silia jest fucją bardzo szybo rosącą Ja widzieliśmy w przyładzie już 7! jest liczbą bardzo dużą Dla przyładu poiżej podamy ila wartości sili: 7! 54 4! 87789! Współcześie używae alulatory mogą zazwyczaj policzyć silię dla rówych ooło 6 Da się apisać programy omputerowe liczące silie dowolie dużych liczb, jeda domyślie więszość języów programowaia ie obsługuje ta wielich liczb (tz trzeba samemu wymyślić ich obsługę) Problem Jeśli potrafisz programować w tórymś z języów programowaia (p Pascal, C, Java), to apisz dwie wersje fucji liczącej silię Jeda iech będzie fucją zdefiiową reurecyjie, druga iteracyjie (p z wyorzystaiem pętli for) Sprawdź ja duże wartości sili moża wyliczyć stosując stadardowe typy daych Symbol Newtoa W poprzedim pucie zdefiiowaliśmy silię Będzie am oa potrzeba po to aby zdefiiować oleje pojęcie jaim jest symbol Newtoa Defiicja 4 (symbol Newtoa) Symbolem Newtoa dla liczb aturalych, taich, że azywamy liczbę daą wzorem: i ozaczamy przez: Napis ( ) czytamy po albo ad!!( )!

3 Doładiejsze zaczeie tej liczby pozamy, zajmując się ombiatoryą i rachuiem prawdopodobieństwa Pói co iteresujące dla as będą podstawowe własości symbolu Newtoa, tóre zebrao w poiższym facie Fat 5 Dla dowolych liczb aturalych,, taich, że, zachodzi: ( ) ( ),,, Problem Spróbuj udowodić powyższy fat Jeśli potrafisz, możesz zastosować zasadę iducji matematyczej (o tórej będziemy mówić późiej) 3 Trójąt Pascala Własości odośie symbolu Newtoa, zebrae w ostatim facie, umożliwią am budowe trójąta Pascal, tóry sładać się będzie z olejy symboli Newtoa Defiicja 6 (trójąt Pascala) Trójąt Pascala, to trójąt postaci: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Oczywiście trójąt Pascala jest iesończoy W defiicji wypisao tylo pięć pierwszych jego wierszy Bardzo łatwo wyliczyć poszczególe wartości symboli Newtoa występujące w trójącie Pascala, w ogóle ie używając sili Wystarczy pamiętać, że a boach trójąta zawsze będą liczby (wyia to z fatu, że ( ( ) ) ) Wartości wewętrze atomiast otrzymujem stosując wzór: ( ) ( ) ( ) Aby więc wyliczyć wartość w jaimś miejscu wewątrz trójąta, wystarczy zsumować dwie liczby tóre zajdują się bezpośredio ad tym polem po prawej i lewej stroie Trójąt Pascala moża stosować do szybiego liczeia wartości symbolu Newtoa, bez potrzeby stosowaia sili ai dzieleia Oazuje się jeda że trójąt Pascala ma zadziwiające wartości Fat 7 (własości trójąta Pascala) W trójącie Pascala zachodzą astępujące własości: Sumy poszczególych, olejy wierszy trójąta Pascala, to oleje potęgi dwóji Iymi słowy: ( ) ( ) ( ) ( ) 3

4 Naprzemiee dodawaia i odejmowaie olejych wyrazów w daym wierszu (poza pierwszym) zawsze daje zero Iymi słowy: co moża ładiej zapisać: ±, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Problem 3 Czy potrafisz wyjaśić, dlaczego ładiejszy zapis drugiego podputu powyższego fatu jest poprawy? 4 Uogólioe wzory srócoego możeia Po tym przydługim wstępie, możemy przejść do seda tej częsci, czyli do podaia wzoru Newtoa, czyli uogólioego wzoru srócoego możeia Fat 8 (uogólioy wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb a, b zachodzą wzory: (a b) a a b ab a b b a 3 b 3 3 Problem 4 Na podstawie powyższego wzoru, podaj aalogiczy wzór dla wyrażeia: (a b) Wsazówa: podstawa zamiast b liczbę ( b) i zastosuj poday wzór dla (a ( b)) Uwaga 9 Istieje prostszy i bardziej elegaci zapis długich sum Zamiast pisać wzór w tórym pojawiają się możemy użyć symbolu Ze względu jeda, że taa forma wyracza poza program liceum, podamy tylo dla zaiteresowaych, wzór Newtoa zapisay z zastosowaiem tego sposobu: (a b) a b Uwaga Zauważ, że oleje współczyii występujące we wzorze Newtoa, staowią doładie jede z wierszy trójąta Pascala Zając wzór Newtoa możemy łatwo udowodić własości trójąta Pascala o tórych była mowa w poprzedim podrozdziale Zgodie z tym co powiedzieliśmy w powyższej uwadze, współczyii z wzoru Newtoa to jede z wierszy trójąta Pascala Korzystając z wzoru Newtoa rozpiszmy wyrażeie ( ), tóre oczywiście rówe jest : ( ) ( ) ( ) Otrzymaliśmy więc, że suma wyrazów tego wiersza trójąta Pascala, rówa się Podobie, rozważając wyrażeie ( ) moża udowodić drugą z własości trójąta Pascala Problem 5 Udowodij drugą z własości trójąta Pascala 4

5 3 Zadaia Zadaie Przypomij podstawowe własości dodawaia, odejmowaia, możeia i dzieleia Zadaie Przypomij podstawowe własości potęgowaia Zadaie 3 Zapisz w postaci sumy (różicy) poiższe wyrażeia: a) (x ), b) (x 3)(x 3), c) (x ), d) ( m 3 ), e) ( a b)( a b) Zadaie 4 Zapisz w prostszej postaci: a) (x 5) x(x 5), b) (x ) 3 (x ) (x ), c) (t 4)(t 4) (t 3), d) (x y) 3 (x y) 3, e) [(p q) 3 (p q) 3 ] 6pq(3p q), f) [(a b)(a b)] 3 Zadaie 5 ( ) Rozłóż a czyii: a) x y, b) a b 4ab, c) 8p 4 4p 3 p, d) a 5 b 6, e) x 8 Zadaie 6 ( ) Dopisz braujące awiasy z lewej stroy rówości, ta aby zachodziła rówość: a) 4 x y 6z 7 x y x y z x 3y z(x y 6), b) x x y z x y z x x z (y z) x (x z) y y z Zadaie 7 Na podstawie uogólioego wzoru srócoego możeia, podaj wzór a: a) (a b) 3, b) (a b) 3, c) (a b) 4 Zadaie 8 ( ) Podaj wzór a (a b c) Wsazówa: (a b c) (a (b c)) 5