IV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce

Transkrypt

1 IV Uiwersyteca Sobota Matematycza 4 wietia 208 Fucje tworzące w ombiatoryce Dla ciągu a 0 a a 2... defiiujemy fucję tworzącą: G(x) = a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0. Zajdź fucje tworzące dla poiższych ciągów. W ażdym przypadu postaraj się zapisać fucję w postaci zwartej. (a) (b)... (c) (d) ( ) ( ) ( 208 ) ( ) (e) (f) (g) (h) (i) ( 0 ( ( 2 ( 3 ( 4... Defiiujemy uogólioy współczyi dwumiaowy u(u )(u (u + ) := u R! wówczas ( + x) u = + 0 x + x Dla poiższych fucji tworzących zajdź współczyi przy sładiu x 208 (a) G(x) = ( 2x) 5000 (b) G(x) = +3x (c) G(x) = (+5x) 2 (d) G(x) = x 2 3x+2 (e) G(x) = ( x) 2 (+x) 2 (f) G(x) = ( 2x) 209 (g) G(x) = ( +3x ) 4 (h) G(x) = 2x 2 +5x+2 3. Na ile sposobów moża wybrać 4 osoby z 30? 4. Na ile sposobów moża rozdać 20 idetyczych prezetów 30 osobom (ażdy może dostać więcej iż jede prezet)? 5. Ile całowitych rozwiązań spełiających a 2 i b c 4 ma rówiaie a + b + c = 6?

2 6. Ile rozwiązań całowitych ma rówiaie a + b + c + d = 50 taich że ażda zmiea (a) jest ieparzysta i dodatia. (b) jest z przedziału [4 0] 7. Mamy 0000 idetyczych ul czerwoych 0000 idetyczych ul żółtych 0000 idetyczych ul zieloych. Na ile sposobów moza wybrać 2005 ul ta aby liczba ul czerwoych była ieparzysta a żółtych parzysta. 8. Babcia chce wręczyć 00 zł czwórce swoich wuów ta aby ajmłodszy dostał co ajwyżej 20zł a ajstarszy co ajmiej 25 zł. Na ile sposobów może to zrobić? 9. Zajdź jawy wzór a -ty wyraz ciągu Fiboacciego F : F 0 = 0 F = F = F + F 2 0. Na ile sposobów moża poryć całowicie prostoąt rozmiaru 2 amieiami domia o rozmiarze 2?. Na ile sposobów moża poryć całowicie prostoąt rozmiaru 2 amieiami domia o rozmiarze 2 i 2 2? 2. Na ile sposobów moża rozłożyć liczbę całowitą a sumę ieparzystych sładiów (p. 3 = )? 3. Używając fucji tworzących zajdź jawy wzór a ciąg a (a) a 0 = 2 a + = 3a. (b) a 0 = a = a = 4a 4a 2 (c) a 0 = a = 2 a +2 = 5a + 4a. (d) a 0 = 0 a + = 2a + (e) a 0 = 2 a + = 3a + (f) a 0 = a + = 2a + (g) a 0 = a = 2 a +2 = 4a + 3a (h) a 0 = a = a = a + 2a 2 + ( ) 4. Na ile sposobów moża poryć całowicie prostoąt rozmiaru 3 amieiami domia o rozmiarze 2? 5. Pewie system omputerowy pozwala a hasła tóre spełiają: hasło jest ombiacją 0 cyfr liter (dużych i małych) osiem zaów specjalych!$%&x*(). po ażdej literze lub zau specjalym musi wystąpić cyfra. Wyzacz liczbę możliwych haseł tórych długość wyosi a) 8 b) Oblicz (a) =0 ( ) (b) =0 ( )

3 Dae są dwa ciągi: a 0 a... o fucji tworzącej G a (x) oraz b 0 b... o fucji tworzącej G b (x). Wówczas ciąg c = a b azywamy splotem a jego fucja tworząca G c zadaa jest wzorem G c (x) = G a (x)g b (x). =0 7. Oblicz (a) =0 ( ) 2 (b) =0 ( )( (c) =0 ( ) 2 ) 2 8. Zajdź jedyy ciąg liczb rzeczywistych a 0 = a a 2... spełiający dla ażdego aturalego. a a = =0 9. Na ile sposobów moża poprawie rozmieścić par awiasów ( i )? Nawiasy są poprawie rozmieszczoe jeżeli liczba awiasów otwierających i zamyających jest taa sama oraz w dowolym fragmecie początowym liczba awiasów zamyających ie jest więsza od liczby awiasów otwierających; poprawe awiasowaia: (())() ((()())()); iepoprawe awiasowaie: ()(()))(. 20. Rozważmy -ąt foremy ( 4). Na ile sposobów moża go podzielić a trójaty prowadząc ieprzeciające się przeate? 2. Niech będzie dodatią liczbą całowitą. Zajdź liczbę a wielomiaów P (x) o współczyiach ze zbioru {0 2 3} taich że P ( =. 22. (Chiy 2004) W talii 32 art są 2 joery z umerami 0 i 30 art olorowych. Karty olorowe są czerwoe żółte i iebiesie (po 0) i poumerowae od do 0. Karta z umerem jest warta 2 putów. Zbiór art jest dobry jeżeli suma putów jego art wyosi Oblicz liczbę dobrych zbiorów. 23. (Harvard/MIT Mathematics Touramet 2007) Niech S ozacza zbiór wszystich tróje (i j ) dodatich liczb całowitych taich że i + j + = 7. Oblicz ij (ij) S 24. (Rumuia 2003) Ile jest -cyfrowych liczb podzielych przez 3 tórych cyfry są w zbiorze { }? 25. Day jest ciąg a 0 a a 2... o fucji tworzącej G(x). Oblicz a 0 + a 2 + a 4 + a Niech S = {/2 /3... /}. Dla dowolego podzbioru A zbioru S przez P (A) ozaczmy iloczy wszystich elemetów A. Oblicz sumę wszystich taich produtów P (A) wziętą po zbiorach o parzystej liczbie elemetów. 27. Ala ma moet C C 2... C. Każda z moet jest iesymetrycza. Prawdopodobieństwo że rzucając ostą C wypadie orzeł wyosi /(2 + ). Oblicz prawdopodobieństwo że Ala rzucając wszystimi moetami po razie otrzyma ieparzystą liczbę orłów.

4 Niech ω = cos(2π/) + i si(2π/) będzie pierwiastiem -tego stopia z jedyi. Wtedy oraz dla ażdego = 2... Poadto jeżeli jest ieparzyste to + ω + ω 2 + ω 3 + ω = 0 + ω + ω 2 + ω 3 + ω ( ) = 0. + x = ( + x)( + ω x)( + ωx) 2... ( + ω x). 28. Day jest ciąg a 0 a a 2... o fucji tworzącej G(x). Oblicz a 0 + a 3 + a 6 + a Day jest ciąg a 0 a a 2... o fucji tworzącej G(x). Dla zadaej liczby aturalej oblicz a 0 + a + a 2 + a Niech p będzie liczbą pierwszą. Oblicz liczbę podzbiorów A zbioru { 2... p} taich że p dzieli sumę elemetów A. 3. Zajdź liczbę podzbiorów zbioru { } tórych suma elemetów jest podziela przez (IMO 995). Niech p będzie ieparzystą liczbą pierwszą. Zajdź liczbę podzbiorów A zbioru { p} taich że A ma doładie p elemetów oraz suma elemetów zbioru A jest podziela przez p. 33. Czy zbiór liczb dodatich całowitych moża rozbić a więcej iż jedą ale wciąż sończoą liczbę ciągów arytmetyczych z tórych żade dwa ie mają idetyczych przyrostów? 34. Prostoąt a b moża poryć prostoątami p oraz q gdzie a b p q są ustaloe całowite dodatie. Poaż że a jest podziele przez p lub b jest podziele przez q. (Uwaga: prostoąty i są iych typów) Zadaia dodatowe. 35. Niech a będzie liczbą możliwych podziałów liczby a sumę liczb aturalych ieparzystych a b będzie liczbą możliwych podziałów liczby a sumę różych liczb aturalych. Udowodij że a = b. 36. (IMO 979). Niech A i E będą przeciwległymi wierzchołami ośmioąta. Żaba startuje w wierzchołu A. Z ażdego wierzchoła za wyjątiem E żaba sacze do jedego z dwóch sąsiedich wierzchołów. Kiedy soczy do wierzchoła E już w im pozostaje. Niech a ozacza liczbę różych ścieże o doładie soach ończących się w E. Udowodij że a 2 = 0 a 2 = (2 + ( Niech p będzie ieparzystą liczbą pierwszą i iech F () = (p ) p 2 Poaż że jeżeli a b mod p to F (a) F (b) mod p. 38. (IMO Shortlist 988) Niech będzie dodatią liczbą całowitą. Zajdź liczbę ieparzystych współczyiów w u (x) = (x 2 + x + ).

5 39. (Leigrad 99) Sończoy ciąg a... a liczb rzeczywistych jest -zbalasoway jeżeli wartość a m + a m+ + a m+2 + jest taa sama dla m = 2... p. Załóżmy że ciąg a... a 50 jest -zbalasoway dla = to wszystie jego sładii są rówe Rzucamy moetą ta długo aż otrzymamy ciąg ieparzystej liczby orłów a po ich resza. Ile jest możliwych ciągów o długości? (Np. dla = 3 przyładowym ciągiem jest OOOORROOROOOR). 4. (Irladia 997) Ile jest 000-cyfrowych liczb taich że wszystie cyfry są ieparzysta a oleje cyfry różią sie o doładie 2.? 42. (Węgry/Izrael 997) Ile jest ciągów o długości 997 sładających się z liter A B C taich że litery A i C występują ieparzystą liczbę razy? 43. (IMO 998 Shortlisted Problem) Niech a 0 a a 2... będzie rosącym ciągiem ieujemych liczb całowitych taich że ażda ieujema liczba całowita może być jedozaczie przedstawioa w postaci a i + 2a j + 4a gdzie i j ie muszą być rozłącze. Wyzacz liczbę a (Wiela Brytaia 994) Rosący ciąg liczb całowitych jest alterujący jeżeli zaczya się liczbą ieparzystą druga jest liczba parzysta trzecia ieparzysta itd. Ciąg pusty jest alterujący. Niech A ozacza liczbę alterujących ciągów sładających się z liczb całowitych Zajdź A 20.