3. Funkcje elementarne

Transkrypt

1 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących operacji: ograiczaia dziedziy, dodawaia, możeia, dzieleia i odwracaia fukcji, gdy jest to możliwe. Tak więc wśród fukcji elemetarych zajdą się także fukcja logarytmicza, wielomiay, fukcje wymiere, kołowe, hiperbolicze i wiele iych. W tym rozdziale podamy precyzyje defiicje tych fukcji i wypuktujemy ich ajprostsze własości. Zaczijmy od podstawowych własości potęgi: a) a x > 0, b) a x+y = a x a y, c) Jeśli a > i x > 0, to a x >, d) a x ) y = a xy dla a > 0 oraz x, y R. Dla ustaloego a > 0 fukcję R x a x 0, ) azywamy fukcją wykładiczą o podstawie a. Jeśli a = e, to fukcję x e x azywamy po prostu fukcją wykładiczą. Zauważmy, że z własości c) wyika, że fukcja wykładicza o podstawie a > jest ściśle rosąca. Jeśli z kolei ustalimy α R, to fukcja 0, ) x x α 0, ) azywa się fukcją potęgową o wykładiku α. W przypadku, gdy α = N, dziedzią fukcji potęgowej jest cała prosta R. 3.. Lemat. Niech a > 0 i iech A = max{a, /a}. Wtedy 3.2) a x A x, x R. Co więcej, jeśli x, to 3.3) a x A ) x. Dowód. Rzeczywiście, jeśli a x, a jeśli a x <, to a x = a x A x, a x = a x = a x a x ) a x A x, co dowodzi pierwszej ierówości. Druga wyika z pierwszej przez zastosowaie odwrotej ierówości Beroulliego: x a x A x = + A )) A ) x, bo x Twierdzeie. Niech a > 0. Wtedy x x R pociąga a x a x.

2 2 Dowód. Dla dostateczie dużych, mamy x x. Wtedy skąd atychmiast wyika asza teza. a x a x = a x a x x a x A ) x x, 3.5. Twierdzeie. Niech 0 < a a > 0. Wtedy dla każdego x R a x a x. Dowód. Przyjmijmy ajpierw, że a = i [x] = m. Wtedy b a x B, gdzie b = mi{a m, a m+ }, B = max{a m, a m+ }. jak widać, b i B, więc a mocy lematu o trzech ciągach a. Niech teraz A = max{a /a, a/a }. Skoro a a, mamy A. Poadto a x a x = a x a /a) x a x A x ) x, gdzie A x, co daje aszą tezę Jeśli < a, to A = + /a ) a e, B = /a ) a e, Dowód. Przyjmijmy ajpierw, że a N. Wtedy wszystkie wyrazy ciągu {A } są rówież wyrazami ciągu o wyrazach e = + / ) z co ajwyżej skończoą ilością powtórzeń, więc lim A = lim e = e. Dla dowolego ciągu {a } skorzystamy z twierdzeia o trzech ciągach. Mamy bowiem ) [a] + A + ) [a]+ [a ] + [a ] i a mocy pierwszej części dowodu skraje ciągi są zbieże do e. Druga część tezy wyika z rówości a ) a B = = + ) a a a i wcześiejszych rozważań Twierdzeie. Dla każdego x R ) 3.8) lim + x/ = e x. x < Dowód. Jeśli x = 0, teza jest trywiala. Jeśli x 0, to a = x zaku x. W obu przypadkach ± zależie od + x/ ) = + /a ) a ) x e x a mocy 3.6) i Twierdzeia 3.5. Te sposób rozumowaia podpowiedział mi p. Bartosz Kuśmierz.

3 3 Przyjrzyjmy się jeszcze ciągowi 3.8). Jeśli x 0 i > x, to z ierówości Beroulliego wyika, że ) + x ) + = + x ) + > + x, + + ) a więc ciąg te dla > x jest ściśle rosący Wiosek. Dla każdego x 0 Dla każdego 0 x < e x > + x. e x < + x x. Dowód. Jeśli x 0, to dzięki ierówości Beroulliego dla wykładików aturalych) i temu, że ciąg 3.8) jest rosący, otrzymujemy e x > + x ) N > + x, N jeśli N = [x] +. Stąd, jeśli dodatkowo x <, co kończy dowód. e x = e x < x = + x x, 3.0. Lemat. Dla dowolych aturalych 2 k 0 < ) 2 )... k ) Dowód. Niech A k = ) 2 )... gdzie 2 k. Jak widać, A 2 = oraz skąd przez idukcję k A k A k + k, 2 < k, A k k j= j kk ) =. 2 kk ). 2 ), 3.. Twierdzeie. Dla każdego x R e x = lim x k k!. Dowód. Przypuśćmy ajpierw, że x 0. Zauważamy, że dla > m 2 m ) m m x k k! < + x ) x k < k!, skąd aalogiczie jak w rozdziale 2 otrzymujemy żądaą rówość.

4 4 Niech teraz x będzie dowole. Oszacujmy różicę x k k! + x ) k=2 ) 2 )... k Na mocy Lematu i pierwszej części dowodu dla x 0 x k k! + x ) x k 2 k 2)! x 2 e x 2, skąd już łatwo wyika teza. k=2 ) ) x k k! Wiosek. Dla każdego x i każdego N gdzie e x = r x) e ) x, r x) Dowód. Jak łatwo zauważyć Jak wiemy, dla 2 m x k m k! k= k= r x) = lim x k k! x k k! + r x), m k= x m k= x )! ), 2. m x k k!. k! < x )! ), bo x. Oszacowaie dla = widać bezpośredio. Zatem po przejściu do ieskończoości z m, widać, że reszty r spełiają żądae ierówości. gdzie Warto dobrze zapamiętać ajprostsze przypadki tej ierówości: e x = + r x) = + x + r 2 x) = + x + x 2 /2 + r 3 x), x, r x) e ) x, r 2 x) x 2, r 3 x) x 3 /4. Dla ozaczeia fukcji wykładiczej będziemy też używali symbolu exp x = e x Obrazem R przez fukcję wykładiczą jest cała półprosta dodatia. Iymi słowy, Dowód. Niech dla y > 0 expr) = 0, ). E = {x R : e x < y}. Poieważ y < e y, więc także e /y < y. Stąd x = /y E oraz y jest górym ograiczeiem E. Zbiór E jako iepusty i ograiczoy z góry ma kres góry. Niech a = sup E. Istieje ciąg o wyrazach x E zbieży do a, więc e a = lim ex y.

5 5 Z drugiej stroy a + / / E, więc co kończy dowód. e a = lim ea+/ y, Stąd i z własości 3) potęgi wioskujemy, że fukcja wykładicza exp : R 0, ) jest wzajemie jedozaczym przekształceiem R a półprostą 0, ). Istieje zatem fukcja do iej odwrota log : 0, ) R, którą azywamy fukcją logarytmiczą Fukcja logarytmicza ma astępujące własości:. log jest fukcją ściśle rosącą, 2. log = 0, log e =, 3. log x y = log x + log y, x, y > 0, 4. a x = e x log a, a > 0, x R, 5. log a x = x log a, a > 0, x R. Dowód. Pierwsze trzy własości są atychmiastową kosekwecja tego, że log jest fukcją odwrotą do wykładiczej. Własość czwarta wyika stąd, że e x log a = e log a) x = a x. Ostatia własość wyika z poprzediej przez zlogarytmowaie. Poiższe ierówości mają podstawowe zaczeia dla badaia fukcji logarytmiczej Wiosek. Dla każdego 0 x > x < log + x) < x. + x Dowód. Logarytmując pierwszą z ierówości Wiosku 3.9 dla 0 x >, otrzymujemy drugą z ierówości dla logarytmu. Druga z ierówości Wiosku 3.9 e x < + x x, 0 x <, po podstawieiu y = >, daje x x e y +y < + y, y >, a stąd przez zlogarytmowaie otrzymujemy pierwszą z aszych ierówości. Dla x = otrzymujemy 3.6. Wiosek. Dla każdego N + < log + ) < Wiosek. Dla każdego 0 < α i każdego x > 0 log + x) < α xα.

6 6 Dowód. Mamy α log + x) = log + x) α < log + x α ) < x α, skąd po podzieleiu przez α dostajemy żądaą ierówość. Skorzystaliśmy tu z ierówości + x) α < + x α Lemat. Ciąg jest zbieży. γ = Dowód. Zwróćmy ajpierw uwagę, że k log log + ) log = log + /) 0, więc wystarczy rozważać ciąg c = log + ) k = k ) ) logk + ) log k = k log + /k). Z Wiosku 3.6 wyika, że ciąg {c } jest rosący, a poadto ) k log + /k) < k ) = k + + <, więc jest rówież ograiczoy. Jest zatem zbieży, a przecież o to chodziło. Graicę ciągu {γ } będziemy ozaczać przez γ i azywać stałą Eulera. Zatem 3.9) γ = lim log = lim k k log + ) ). k Dokłade oszacowaie stałej Eulera jest sprawą bardzo trudą. Wspomijmy tu jedyie, że ie wiadomo awet, czy jest oa liczbą wymierą, czy ie. A oto iteresujące zastosowaie ciągu Eulera Jeżeli ciąg a > 0 spełia waruek a + a a +, N, dla pewego a > 0, to jest malejący i dąży do zera. Dowód. Mamy więc skąd log a log a ) a = a a a a 2 a2 a a, + log a a a a + ) a. k + log a < a log + ) + log a,

7 7 Przechodzimy teraz do defiicji fukcji hiperboliczych i trygoometryczych. Fukcje cosh x = ex + e x, sih x = ex e x 2 2 azywamy odpowiedio cosiusem i siusem hiperboliczym. Wprost z defiicji łatwo wyikają astępujące własości tych fukcji. Cosius hiperboliczy jest fukcją parzystą, a sius ieparzystą. Poadto zachodzi wzór cosh 2 x sih 2 x =, zway jedyką hiperboliczą. Nietrudo też spostrzec, że sih jako suma dwóch fukcji ściśle rosących jest fukcją ściśle rosącą. Stąd i z jedyki hiperboliczej wioskujemy, że cosh jest fukcją ściśle rosącą a półprostej [0, ). Wreszcie z Twierdzeia 3.7 wyika, iż cosh x = lim x 2k 2k)!, sih x = lim x 2k+ 2k + )!. Wbrew pozorom podaie ścisłej aalityczej defiicji fukcji trygoometryczych ie jest wcale proste. Jedym z możliwych rozwiązań jest skorzystaie z astępującego twierdzeia Twierdzeie. Istieje dokładie jeda para fukcji s : R R, c : R R o astępujących własościach. Dla wszystkich x, y R. sx) 2 + cx) 2 =, 2. sx + y) = sx)cy) + sy)cx), 3. cx + y) = cx)cy) sx)sy), 4. 0 < xcx) < sx) < x dla 0 < x <. Są to oczywiście iektóre z dobrze zaych własości fukcji trygooometryczych cosiusa i siusa. Nasze twierdzeie mówi, że wyszczególioe wyżej własości są aksjomatycze w tym sesie, że moża z ich wywieść wszystko, co skądiąd wiemy o fukcjach trygoometryczych, a także że są oe wystarczające do jedozaczego określeia tych fukcji. Nawiasem mówiąc, ta druga część twierdzeia jedozaczość) przysparza więcej kłopotu. Część pierwsza jest bardziej elemetara, choć ieco żmuda. W szczególości dowodzi się, że Wiosek. Fukcje s i c mają wspóly okres podstawowy T, który jest liczbą iewymierą. Tradycyjie ozaczamy π = T/2. Liczby postaci kπ, gdzie k Z to wszystkie miejsca zerowe fukcji s. Tak więc defiicja liczby π ukryta jest we własościach fukcji trygoometryczych. Nie będziemy dowodzić tego twierdzeia, ai awet systematyczie wyprowadzać pozostałych własości fukcji trygoometryczych. Podkreślmy jedak wyraźie, że p. ciągłość fukcji trygoometryczych, jak i okresowość wraz z wszystkimi iymi ich cechami są a mocy Twierdzeia 3.2 kosekwecją własości ) 4) Lemat. Ciąg b = si ie jest zbieży do zera. Dowód. Pokażemy, że jest rzeczą iemożliwą, aby prawie wszystkie wyrazy aszego ciągu leżały w przedziale /2, /2). Przypuśćmy ie wprost, że si < /2, N.

8 8 Wtedy dla takich więc cos 2 = si 2 > 3 4, si 2 = si2 2 4 cos 2 < 4 3. Powtarzając to rozumowaie, pokazujemy, że si 2 < 4 3 p dla każdego p N, co pociąga si = 0 dla N. Wtedy jedak N = kπ dla pewego k, czyli π = N/k. To już jest sprzeczość, bo przecież π jest liczbą iewymierą.

9 9 Zadaia. Udowodij, że potęga o dodatiej podstawie i wykładiku wymierym ma własości a) c) z wykładu. 2. Udowodij, że fukcja wykładicza o podstawie a > jest ściśle rosąca. 3. Niech a > 0. Pokaż, że dla wszystkich x, y R jest a x ) y = a xy. 4. Wyprowadź własości ) 3) fukcji logarytmiczej podae a wykładzie. 5. Korzystając z ierówości Beroulliego, pokaż, że fukcja fx) = + x )x jest ściśle rosąca dla x. 6. Niech 0 < a a > 0 i R x x. Pokaż, że a x a x. 7. Czy a 0, jeśli a 0? 8. Wykaż, że e jest liczbą iewymierą dla każdego N. 9. Przeprowadź dyskusję zbieżości ciągu u = + p ) q w zależości od p, q > Udowodij, że dla każdego α > 0 jest lim log α = 0.. Wyjaśij schemat 2. Udowodij ierówość log << k << k << 2 <<! <<. e y < + y 2 y 0 < y < Udowodij ierówość x + < log + x), x >. 2x 4. Udowodij ierówość e x ex dla x > 0. Pokaż też, że rówość zachodzi jedyie dla x =. 5. Niech a > 0. Pokaż, że a a > a oraz a /a e /e. 6. Wyprowadź ierówość log + x) > x dla x > x 7. Pokaż, że log + y) < α yα dla y > 0 i 0 < α. 8. Pokaż, że log 2 = lim 2 + k=2 + k = lim 9. Pokaż, że 2/3 < log 2 < 2/e. W tym celu skorzystaj m.i. z ierówości e x > ex. 20. Pokaż, że e e >> e oraz log log << log Wykaż, że cosh x = lim x2k 2k)!, sih x = lim 22. Udowodij ierówości + a + < + k. ) a a < +, a <, 0 Z. 23. Udowodij ierówości + a < + ) a a < +, > a > lub < 0. a x2k+ 2k+)!.

10 0 24. Wiedząc, że a a, oblicz graicę lim + a 25. Udowodij że fukcje sih : R R i cosh : [0, ) R są ściśle rosące i wyprowadź wzory a fukcje odwrote: sih y = log y + ) y 2 +, cosh y = log y + ) y Udowodij, że dla każdego N stała Eulera γ spełia ierówości log + ) < γ < log. k k ). 27. Niech 0 < b <. Pokaż, że dla każdego 0 < a < b + a + ) b dla dostateczie dużych. 28. Udowodij, że dla każdego p > 0 ciąg a = logp, N, jest począwszy od pewego miejsca) ściśle malejący. 29. Niech b > a > 0. Uzasadij ierówości log b log a < < b b a a, ea < eb e a b a < eb, korzystając z ierówości już zaych. 30. Pokaż, że dla każdego N a wobec tego 3. Udowodij, że log / ) / log, / ) lim =. log log 4 = + lim k4k 2 ).