Funkcja generująca rozkład (p-two)

Transkrypt

1

2 Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są zmieymi losowymi przyjmującymi g g p p warości całowie ieujeme o Twierdzeie: iech,,..., będą iezależymi zmieymi losowymi o warościach całowiych ieujemych, oraz iech S wówczas: Dowód: g g S gs E E E g [ ] [ ] Wiose: Jeśli wszysie zmiee,,..., podlegają emu samemu rozładowi, wedy: g g S M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-

3 Fucja geerująca rozład (p-wo FGP geeruje prawdopodobieńswo, poieważ: ( g... + P Twierdzeie: iech będzie ieujemą zmiea losową o warościach całowiych oraz iech E < dla pewego,,, wedy ( [ ] E... + g Wiose: W szczególości dla i mamy E E < E[ ] g M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-3 P( [ ] [ ] < V g + g g Przyład: FGP dla rozładu Berouliego: ( g p + p q + p Przyład: FGP dla rozładu dwumiaowego: g p q q p ( + [ ] g p [ ] ( g! E V g + g ( g pq [ ] g p [ ] E V g + g ( g pq

4 Fucja geerująca rozład (p-wo Przyład: FGP dla rozładu geomeryczego ( P pq,,,... zajdujemy FGP: p g pq p ( q dla < q, q Zajdziemy FGP dla sumy iezależych zmieych z rozładu geomeryczego (Fs: P S S oraz sam rozład p-wa: ( p gs g q ( g S p q ( q! +! + ( +! + p q p q,,,... (!! Dooując zmiay idesu, orzymujemy rozład ujemy dwumiaowy w sadardowej posaci: j j + j P( S j p q, j, +,... M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-4

5 Fucja geerująca mome Defiicja: Fucją geerującą mome (FGM dla zmieej losowej azywamy fucję zmieej rzeczywisej posaci: pod waruiem, że isieje sała h> aa, że powyższa warość oczeiwaa isieje dla [ ] ψ E Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są zmieymi losowymi dla órych w pewym obszarze isieją FGM, o ψ ( ψ ( f ( x f ( y M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-5 Twierdzeie: iech,,..., będą iezależymi zmieymi losowymi dla órych isieją FGM, oraz iech S wówczas: Dowód: < h ψ ( ψ ( ( ψ S E e E e E e ψ Wiose: Jeśli wszysie zmiee,,..., podlegają emu samemu rozładowi, wedy: ψ S ψ S e [ ] [ ]

6 Fucja geerująca mome ψ ( Twierdzeie: iech będzie zmieą losową, dla órej FGM isieje dla < h, gdzie h >, wedy isieją wszysie momey zmieej i są oreśloe przez: E Dowód (zmiea ciągła: d ψ la,,... d [ ] d + + x x r x x x x e f ( x dx < x > mamy e f ( x dx < i e f ( x dx < Poieważ dla dowolego r > zachodzi x / e dla x więc: + x x + r r r r x f ( x dx x f ( x dx + x f ( x dx + x f ( x dx x x x + x x r x ( e f x dx + x P x + e f x dx < Różiczując FGM -roie dosajemy: + + x e f x dx x f x dx E ( x ( [ ] ψ ψ M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-6

7 Fucja geerująca mome Przyład: FGM dla rozładu dwumiaowego e p ( p ( pe p ψ + ( E[ ] ψ pe + p pe ψ p ( ( E ψ p + p Przyład: FGM dla rozładu wyładiczego ψ pe + p pe + e + p pe x x x e e λ dx e λ λ ψ λ λ dx, dla <λ λ / λ (! λ [ ]! ψ E + ( λ λ! ψ + / λ λ λ! M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-7 [ ]!! Ogólie: ψ [ ] [ ] E e E + + E

8 Twierdzeie: Jeśli jes FGM zmieej, o FGM zmieej daa jes przez Dowód: Fucja geerująca mome ψ ( ψ [ ] ( α +β e β ψ ( α α +β α +β [ ] α β β [ ] ψ ψ α E e E e E e e e Przyład: FGM dla rozładu ormalego x / (, exp, dla - < Defiicja: Fucją geerującą mome (FGM dla weora losowego (,, azywamy fucję x ψ e dx e < π µ, σ pod waruiem, że isieją sałe h, h,, h > aie, że powyższa warość oczeiwaa isieje dla,,,, ( [ e ] ψ,...,,..., E Aby zaleźć FGM dla rozładu ormalego wyoujemy rasformację zmieej i orzysamy z powyższego wierdzeia: < h µ / µ+σ dla σ +µ ψ e ψ σ e, - < < M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-8

9 Własości: Fucja charaerysycza Defiicja: Fucją charaerysyczą zmieej losowej azywamy fucję zmieej rzeczywisej posaci: i i [ ] ϕ E e E e ϕ i [ ] [ ] ϕ E e E cos + i si ( ϕ E[ cos( i si( ] E cos( + i si( ϕ [ ] Rozład zm. l. jes symeryczy wedy i ylo wedy gdy f. ch. jes rzeczywisa i [ ] Twierdzeie: (o jedozaczości iech i będą zmieymi losowymi. Wedy: f ( x f ( y ϕ ϕ Przyład: Fucja charaerysycza dla rozładu dwumiaowego i e p ( p ( pe i p ϕ + Przyład: Fucja charaerysycza dla rozładu wyładiczego i x e e dx e dx ix x λ λ λ ϕ λ λ λ i ϕ E e ϕ ϕ ϕ M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-9

10 Fucja charaerysycza Twierdzeie: iech będzie zmieą losową o dysrybuacie F i fucji charaerysyczej ϕ. Jeśli F jes ciągła w puach a i b, o wedy: T ib ia e e F b F a lim ϕ d T π i T + ϕ d < + ix f ( x e ϕ d Twierdzeie: Jeśli spełioy jes warue o wówczas zmiea ma rozład ciągły o gęsości: Zajdujemy fucję gęsości p-wa: π Przyład: Zajdź gęsość p-wa zmieej losowej, órej fucja charaerysycza daa jes przez Sprawdzamy czy fucja charaerysycza jes całowala: + + ϕ d e 3 d e 3 d ϕ exp( i 3 < 3 3 f ( x d exp( ix + i π 3 π ( x + 9 M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8- +

11 Fucja charaerysycza Twierdzeie: Jeśli zmiea losowa ma rozład dysrey o wówczas: i p P K lim e ϕ d T T T i Przyład: Zajdź rozład p-wa, órego fucja charaerysycza ma posać ϕ e + + Sprawdzamy czy fucja charaerysycza jes całowala: ϕ d d Poieważ mamy do czyieia ze zmieą dysreą, więc: T T [ exp ] [ i ] p lim exp i d lim T T T T i( T si( T( { lim dla T T( dla Twierdzeie: iech,,..., będą iezależymi zmieymi losowymi dla órych isieją fucje ch., oraz iech S wówczas: M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8- T ϕ ϕ Twierdzeie: Jeśli jes f. ch. zmieej, o f.ch. zmieej jes przez ϕ ( ϕ i e β ϕ ( α S T α +β dae

12 Fucje charaerysycze Przyład: Zajdź rozład sumy dwóch iezależych zmieych losowych z rozładu Poissoa o paramerach µ i µ. Twierdzeie: Jeśli isieje -y mome zmieej losowej o jej fucja charaerysycza jes -roie różiczowala i zachodzi: [ ] d m E ϕ dla,,..., i d i E! i ( µ e i i µ ϕ e e µ e µ exp( µ e!! exp ( exp ( exp( i i i ϕ ϕ l µ e µ e µ +µ e Z posaci fucji charaerysyczej wyia, że rozład sumy iezależych zmieych losowych z rozładu Poissoa o paramerach µ i µ podlega rozładowi Poissoa o paramerze. µ +µ [ ] O dla ϕ + + Uwaga: F. charaerysycza isieje dla dowolego rozładu, w szczególości dla aiego, óry ie posiada wszysich momeów. M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-

13 Radomizacja i sumy losowe Przyład: (oyuacja przyładu ze sroy 6- ( p gdzie, λ ( g e µ Korzysając z FGP oraz wierdzeia o waruowej warości oczeiwaej orzymujemy: M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-3 ( + g q p λ ( [ ] g E E ( q p E E + g ( q + p e e A więc zmiea losowa podlega rozładowi Poissoa z paramerem λp. λ q + p p Twierdzeie: iech,,..., będą iezależymi, ieujemymi, zmieymi losowymi o ym samym rozładzie oraz iech będzie ieujemą zmieą losową iezależą od,,...,. Defiiujemy S oraz dla S , wówczas: Dowód: g g g S S [ S ] S gs E e E e P E e P S [ ] ( P E e P g g g

14 Losowe sumy zmieych losowych Twierdzeie: Załóżmy, że spełioe są warui poprzediego wierdzeia. a Jeśli E[ ] < i E[ ] < E S [ ] [ ] E E b Jeśli dodaowo V[ ] < i V[ ] < V S [ ] [ ] [ ] E V + E V Dowód (a: ( [ ] [ ] g S g g g S g g g E S E E (b g ( g g ( g + g g g ( ( S E[ ( ] E[ ] + E E [ ] [ ] V S g S + g S g S [ ] E[ ( ] ( E[ ] + E[ ] E[ ( ] + E[ ] E[ ] ( E[ ] E[ ] [ ] E[ ] V[ ] + E[ ] V M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-4

15 Losowe sumy zmieych losowych Twierdzeie: iech,,..., będą iezależymi zmieymi losowymi o ym samym Rozładzie, dla órych isieje FGM dla < h gdzie h>. iech będzie ieujemą zmieą losową o warościach całowiych, iezależą od,,...,. Defiiujemy S oraz dla, wówczas: S ϕ g ϕ S g ψ S Przyład: iech,,... będą iezależymi zmieymi z rozładu wyładiczego oraz iech Fs( p będzie iezależa od,,...,. Zajdź rozład S λ p ( pλ S g λ Fs( p pq ψ ψ ψ Exp pλ λ p q λ λ p p λ p p λ Ge( p pq ψ S g ψ p + q λ p p q λ λ λ Twierdzeie: iech,,..., będą iezależymi zmieymi losowymi o ym samym rozładzie oraz iech będzie ieujemą zmieą losową o warościach całowiych, iezależą od,,...,. Defiiujemy S oraz dla S , wówczas: M. Przybycień Rachue prawdopodobieńswa i saysya Wyład 8-5 ψ