Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Transkrypt

1 Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz alulacyjy do programu Calc paietu Ope Office, iezbędy podczas ćwiczeń rachuowych. Test χ służy do testowaia hipotez. Wyorzystyway jest przy oceiaiu zgodości uzysaych daych doświadczalych z założoym modelem lub rozładem teoretyczym.. Sposób postępowaia przy wyoywaiu testu χ Pearsoa zgodości modelu wyrażoego zależością matematyczą f(x; a, a,, a m ), gdzie {a j } to zbiór parametrów, z daymi zadaymi w postaci zestawu wartości (x i, y i ± σ i ) zmieej iezależej x i i zmieej zależej y i wraz z wartościami σ i dyspersji wielości y i : ustalamy dopuszczale prawdopodobieństwo α odrzuceia prawdziwej hipotezy (błędu pierwszego rodzaju); a podstawie zaobserwowaych wyiów wyzaczamy te z parametrów {a j } zależości matematyczej, tóre ie są zadae jao część testowaej hipotezy; ustalamy liczbę stopi swobody ν = m, gdzie jest liczbą par daych (x i, y i ± σ i ), zaś m liczbą parametrów w zależości matematyczej, tórych wartości zostały wyzaczoe a podstawie zaobserwowaych wyiów; odczytujemy wartość rytyczą χ r ( α,ν) odpowiadającą zadaemu prawdopodobieństwu α i liczbie ν stopi swobody (patrz Tabela 5 w DODATKU a ońcu Istrucji); obliczamy wartość: ( yi f ( xi ;{ a j})) χ = ; σ i= porówujemy uzysaą wartość χ z wartością χ r ( α,ν) odczytaą z Tabeli 5 jeśli spełioy jest warue: χ > ( α,ν), to odrzucamy testowaą hipotezę jao iezgodą χ r z obserwacjami. W przeciwym przypadu ie uważamy, że udowodiliśmy słuszość hipotezy lecz jedyie godzimy się z ią, jao iesprzeczą z obserwowaymi daymi.. Sposób postępowaia przy wyoywaiu testu χ Pearsoa zgodości rozładu modelowego z rozładem doświadczalym: ustalamy dopuszczale prawdopodobieństwo α odrzuceia prawdziwej hipotezy (błędu pierwszego rodzaju); a podstawie zaobserwowaych wyiów wyzaczamy parametry modelowego rozładu, jeśli ie są oe zadae jao część testowaej hipotezy; dzielimy cały (teoretyczy) zares wartości zmieej losowej a przedziałów (ieoieczie tej samej długości porówaj z Tabelą 3 ) ta, aby liczba N oczeiwaych wyiów w ażdym z przedziałów była ie miejsza iż 5 (w pratyce zadowalamy się zaobserwowaą liczbą daych w przedziale ie miejszą iż 5); ustalamy liczbę stopi swobody ν = m, gdzie jest liczbą przedziałów, zaś m liczbą parametrów, tórych wartości zostały wyzaczoe a podstawie zaobserwowaych wyiów; i

2 Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych wyzaczamy wartość rytyczą χ r ( α,ν) odpowiadającą zadaemu prawdopodobieństwu α i liczbie ν stopi swobody (patrz Tabela 5 w DODATKU a ońcu Istrucji); a podstawie modelu i obliczoych bądź zadaych wartości parametrów, obliczamy prawdopodobieństwo p zalezieia wartości zmieej losowej w przedziale o umerze ; obliczamy oczeiwaą liczbę N = p N daych w przedziale o umerze, gdzie N jest liczbą wszystich daych; obliczamy wartość: ( p N ) χ = ; p N = porówujemy uzysaą wartość χ z wartością χ r ( α,ν) odczytaą z Tabeli 5 jeśli spełioy jest warue: χ > ( α,ν), to odrzucamy testowaą hipotezę jao iezgodą χ r z obserwacjami. W przeciwym przypadu ie uważamy, że udowodiliśmy słuszość hipotezy lecz jedyie godzimy się z ią, jao iesprzeczą z obserwowaymi daymi. Uwaga: jeśli dyspoujemy oprogramowaiem, tóre umożliwia wyzaczaie całe rozładów prawdopodobieństwa, lepiej jest w miejsce wartości rytyczej, podawać tzw. wartość p testu, czyli prawdopodobieństwo p, że zmiea u = χ przyjmie wartość więszą iż wartość gdzie χ uzysaa z daych: p : = P( u χ ) = f ( u du, χ u fv ( u) = u exp( ), v v Γ( ) to rozład zmieej χ o ν stopiach swobody. Podejście to ie zwalia Cię z obowiązu podjęcia decyzji co do zgodości wybraego modelu z daymi, a dostarcza więszej ilości iformacji czyteliowi, umożliwiając mu ieiedy, wyrażeie własej opiii (ja rówież pozwala mu zorietować się w jaości i rygoryzmie Twych decyzji). Symbol Γ we wzorze powyżej ozacza fucję gamma Eulera, zdefiiowaą za pomocą całi z x Γ( z) = x e Tabela 6 zamieszczoa w DODATKU a ońcu Istrucji zawiera wartości prawdopodobieństwa P( χ~ χ~ ), dla wybraych wartości ν i χ~, gdzie χ~ i χ to zreduowae wartości χ i χ, rówe odpowiedio TEST χ PEARSONA JAKOŚCI DOPASOWANIA PROSTEJ DO DANYCH Zadaie Studet badając drgaia wahadła, wyzaczył czas trwaia oresu dla ilu różych jego długości. Ja wiadomo, dla małych wychyleń, ores drgań T wahadła o długości L wyosi T = π L g dx. χ ν v i v ) χ. ν

3 Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych zaś g to przyspieszeie ziemsie. Jeśli wprowadzimy wielości: H wysoość putu zawieszeia wahadła ad podłogą oraz h wysoość środa ciężości wahadła a podłogą, to: 4π T = ( H h) = b+ ah g Swoje dae pomiarowe studet wyorzystał do wyzaczeia, za pomocą metody ajmiejszych wadratów, wysoości putu zawieszeia wahadła ad podłogą. Uzysae przez iego dae, ich iepewości oraz ocey parametrów a oraz b liii prostej y = ax + b zawiera Tabela. a) Przeprowadź test χ Pearsoa jaości dopasowaia prostej do daych uzysaych przez studeta. b) Odwołując się do omialej wartości g = 9,83 m/s przyspieszeia ziemsiego w lewobrzeżej Warszawie, wyzacz oceę wysoości H putu zaczepieia uli ad podłogą wraz z iepewością tej ocey. c) Sorzystaj z oce wartości parametrów liii prostej i podaj swoją oceę wartości przyspieszeia ziemsiego w Warszawie oraz iepewość tej ocey, jaie wyiają z przeprowadzoego esperymetu. Tabela pomiar wielość 3 4 x i [m] (x = h),4,69,4,7 y i [s ] (y = T ),7678 9,59 6,4 4,987 u i [s ],84,735,5893,534 / u i wyii 56,8,3 87,95 364,97 a ± s a = 4,34 ±,59 b ± s b =,936 ±,68 ( yi axi b ) / ui χ = = P( χ χ ) PORÓWNANIE GRAFICZNE ROZKŁADU MODELOWEGO I DOŚWIADCZALNEGO Zadaie Załadając, że wyii pomiarów oresu drgań wahadła T moża opisać rozładem Gaussa ( T μ) G ( T; μ, σ) = exp σ π, < T <, σ z wartościami parametrów µ = T = 3,448 s oraz σ = s T =,456 s, obliczoymi dla idywidualych daych, aszicuj te rozład a histogramach gęstości i liczebości 3

4 Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych (poiżej). Sorzystaj z Tabeli. Porówaj przybliżoe wartości N oczeiwaej liczby wyiów w -tym przedziale z doładymi wartościami N. Przypomiamy wzór służący do wyzaczeia oczeiwaej liczby N pomiarów w przedziale: N T + Δ = N p = NP( T T < T + Δ) = N G( T; μ,σ) dt, gdzie Δ jest szeroością przedziału histogramowaia, a N liczbą wszystich pomiarów. Najprostsza, i przybliżoa, metoda obliczeia całi polega a zastąpieiu jej wyrażeiem G( T[ ]; μ, σ)δ, oreślającym pole powierzchi prostoąta o wysoości G( T[ ]; μ, σ) i podstawie Δ, gdzie T [ ] wyzacza środe przedziału histogramowaia, a wtedy N N = NG( T[ ]; μ, σ) Δ. Jeśli chcemy wyzaczyć całę doładie, wprowadzamy ową zmieą całowaia T μ z =, σ zwaą stadaryzowaą i wartość N wyzaczamy za pomocą: gdzie N z = NP( z z < z + z z T μ =, σ T + ) = N + ℵdz = N( F( z ) F( z )), T + Δ μ x z + =, F( z) = dx σ exp π. Wartości przydatych całe F(z) rozładu Gaussa zajdują się w Tabeli 7, zamieszczoej w DODATKU a ońcu Istrucji. Fucję, tórą tu całujemy z ℵ( z ) = exp π, azywamy stadaryzowaym rozładem Gaussa. Tabela z * * jest zaobserwowaą liczbą daych w -tym przedziale 4

5 Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych 5

6 Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁADU MODELOWEGO I DOŚWIADCZALNEGO Zadaie 3 Przyjmując, że wyii T i pomiaru oresu drgań wahadła podlegają rozładowi Gaussa, przeprowadź test χ Persoa zgodości tego modelu z daymi doświadczalymi. Sorzystaj z całe rozładu Gaussa (Tabela 7, DODATEK) oraz z Tabeli 3 poiżej. Tabela 3 OCENIANIE PARAMETRÓW ROZKŁADU NA PODSTAWIE HISTOGRAMU Zadaie 4 (jeśli pozostaie czas) Nieiedy zdarza się, że ie dyspoujemy idywidualymi wartościami wielości zmierzoych, a jedyie zbiorczymi wyiami, iedy to dae pogrupowae są w lasy. Tabela 4 podaje dae (uzysae przez autorów istrucji), tóre posłużyły do wyreśleia histogramu liczebości oresów drgań wahadła, uazaego a rysuu do zadaia. Uzupełij tę tabelę i wyzacz ocey wartości średiej i iepewości stadardowej pojedyczego pomiaru. Tabela 4 6

7 Zwracamy uwagę, że: N Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych T = T T T ~ i [ ] =, N N i= = s N T = ( T T ) ( T[ ] T ~ ) N i= N = N =, = i = ~ s gdzie T i ozacza wyi i-tego idywidualego pomiaru oresu, jest liczbą przedziałów histogramu,, =,,...,, to liczebości daych w ażdym z przedziałów, N jest liczbą wszystich daych (sumą liczebości ), zaś T [] to pozycje środów przedziałów. Porówaj uzysae wartości T ~ oraz ~ s T z wartościami T = 3,448 s oraz s T =,456 s uzysaymi dla idywidualych wyiów pomiarów. DODATEK A. WARTOŚCI KRYTYCZNE ROZKŁADU χ Tabela poiżej podaje wartości rytycze χ r ( α,ν) zmieej χ dla ietórych wartości ryzya α błędu pierwszego rodzaju oraz liczb ν stopi swobody. Tabela 5 T, 7

8 Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych B. PRAWDOPODOBIEŃSTWA DLA TESTU χ Tabela poiżej podaje wartości prawdopodobieństwa P( χ~ χ~ ) (w procetach), otrzymaia w doświadczeiu o ν stopiach swobody, wartości zmieej χ~ więszej iż wartość χ~ uzysaa z daych. Puste miejsca ozaczają wartości prawdopodobieństwa miejsze od,5%. Tabela 6 χ~ ν 8

9 Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych C. CAŁKI ROZKŁADU GAUSSA. Tabela poiżej podaje wartość całi stadaryzowaego rozładu Gaussa z x F z P x z ( ) = ( < ) = + exp dx, z>. π Z uwagi a symetrię rozładu, wartość całi dla ujemych wartości argumetu moża wyzaczyć ze związu F( z) = F(z). Tabela 7 9