Rozkład normalny (Gaussa)

Transkrypt

1

2 Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i zawyżających pomiar: P P W wyiu pomiaru otrzymujemy jedą z wielości: 0,,,..., tórych rozład p-twa day jest przez: Wartość oczeiwaa i wariacja zmieej :, p. B 0 5 E V V 4 V 4 M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-

3 Rozład ormaly - wyprowadzeie Zachowaie graicze rozładu dwumiaowego dla dużych : B ( p) (, p) ep pq pq co w aszym przypadu prowadzi do: p B, p ep pq pq ep ep 4 Przechodząc z e do zera, atomiast z i do iesończoości, ale ta aby wariacja dążyła do stałej e s dostajemy gęstość p-twa zmieej : B, p 0. 5, 0 N ;, ep M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-3

4 Własości rozładu ormalego Wartość oczeiwaa i wariacja: E ep d V ep d Wszystie ieparzyste momety cetrale ziają ze względu a symetrię, atomiast parzyste dae są przez:!! Dla = mamy (-m) 4 =3s 4, co ozacza, że współczyii asymetrii i spłaszczeia 4 V 3 przyjmują wartości zerowe. 3 3 D M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-4

5 Dystrybuata rozładu ormalego u ( ) ep du ep dla 0 ep dla 0 X , ,599 0,539 0, ,846 0,8485 0, M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-5

6 Rozład ormaly - przyłady Przyład: Biolog chce oceić wpływ su zimowego a masę ciała wiewióre. W tym celu waży 000 dorosłych osobiów płci męsiej w pod oiec lata i wczesą wiosą. Oazuje się, że pomiary wyoae w lecie mają rozład ormaly o średiej m=400 g i odchyleiu stadardowym s=00 g. Jaie jest p-two, że losowo wybraa wiewióra waży w lecie pomiędzy 350 g i 450 g? 350 g 400 g 450g 400 g P350 g 450 g P z g g P 0. 5 z Przyład: Wyii testu IQ przeprowadzoego w pewej populacji mają rozład ormaly o średiej m=00 i odchyleiu stadardowym s=6. Ile wyosi wyi testu poiżej tórego wypada 85% populacji? P 85 P z Pz z85 z Z tablic odczytujemy: z Przyład: Suma iezależych zmieych z rozładu z rozładu Gaussa o parametrach m i s: z t t z ep ep dt ep z;, N M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-6

7 Dwuwymiarowy rozład ormaly Gęstość p-twa dwuwymiarowego rozładu ormalego: N, y;,,, y y y y y y Kąt achyleia dłuższej osi elipsy: y ta Proste regresji II-go rodzaju: y y y y y y y y y y y y ep y y y Elipsy owariacji: y M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-7 C wartość wyładia wielorotość dyspersji udział p-twa 0.5 (C=) 39.3%.0 (C=) 86.5% 4.5 (C=3) %

8 Nierówość Chebysheva Niech,,..., będą iezależymi i pochodzącymi z tego samego rozładu (o wartości oczeiwaej m i dyspersji s) zmieymi losowymi. i Wartość średia: E E i E i E E i Uwaga: Więszość p-twa dla dowolej zmieej losowej socetrowaa jest woół wartości oczeiwaej w zaresie ilu dyspersji : i i V V i V V i i i Twierdzeie: (Nierówość Chebysheva). Dla dowolej zmieej losowej X i dowolej liczby e > 0 zachodzi: Dowód: V f d - P E V f d f d P M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-8 V P P

9 Prawo wielich liczb Przyład: Zastosowaie ierówości Chebysheva do rozładu wyładiczego z parametrem l =. P P P P e Zastosujmy ierówość Chebyshev a do wartości średiej: Twierdzeie: (Prawo wielich liczb). Dla dwu dowolych liczb d i e istieje taa liczba aturala N, że dla wszystich liczb aturalych > N zachodzi: P 3 4 Chebyshev P( -m <) P V lim P 0 M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-9

10 Cetrale twierdzeie graicze Jeśli day jest ciąg iezależych zmieych losowych,,..., pochodzących z dowolego rozładu, o sończoych wartości oczeiwaej m i dyspersji s, to rozład gęstości zmieej losowej dąży do stadaryzowaego rozładu Gaussa. z gdzie i i M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-0

11 Suma zmieych poissoowsich Przyład: Rozważmy sumę dwóch iezależych zmieych losowych oraz j z rozładu Poissoa o tym samym parametrze m. Łączy rozład p-twa zmieych oraz j ma postać: j j P,j P Pj e e e! j!! j! Rozład zmieej losowej m = +j otrzymujemy z powyższego łączego rozładu sumując po wszystich parach (, j) taich tórych suma jest stała i rówa m: m m m m m m ( ) Pm P,j( ) e e e jm!( m )! m! 0 0 m! Zmiea losowa m będąca sumą iezależych zmieych losowych z rozładu Poissoa, będzie więc miała rozład: Te sam rezultat otrzymamy orzystając z FGP: P ( ) ( ) e m! t g t e m... m m m M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8- m m t g t g t e

12 Zachowaie graicze r. Poissoa e e P ( ) e e! e e ep l ep ep 0. 5 ep l z z z ( ) M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-

13 Zachowaie graicze r. dwumiaowego Przyład: P-two, że w czasie T przestaie świecić jeda żarówa jest rówe p = 0.. Jaie jest p-two, że w czasie T spośród = 00 żarówe przestaie świecić od 7 do 9 przy założeiu, że żarówi przepalają się iezależie? Obliczeia bezpośredio z rozładu dwumiaowego są czasochłoe: P7 9 B, p ( p) B (, p) ep pq pq Korzystając z tw. de Moivre a Laplace a mamy: p p p P 7 9 P pq pq pq P z P. 7 z Bez 0.5 otrzymalibyśmy: P7 9 P z M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład 8-3