Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

Transkrypt

1 . Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń elementarnych (pojęcie pierwotne) ω - element zbioru Ω W modelach służących do opisu zagadnień spotyanych w pratyce Ω jest zazwyczaj zbiorem wszystich możliwych wyniów esperymentu (obserwacji) a ω wyniiem onretnego esperymentu. rzyład : Rzut ostą Ω { ω ω ω ω ω ω dr inż. Jace Jarnici ω wyrzucenie jednego ocza ω wyrzucenie dwóch ocze itd. Zbiór Ω zawiera sończoną liczbę elementów. rzyład : Uszodzenie elementu eletronicznego { ω :ω + Ω R R + -dodatnia część osi liczb rzeczywistych ω - chwila uszodzenia Zbiór Ω zawiera niesończoną liczbę elementów. dr inż. Jace Jarnici 3 Zdarzenia losowe Ze zbioru Ω.można wybierać różne podzbiory. rzyład 3: Jeśli dla rzutu ostą Ω { ω ω ω ω ω ω to podzbiory mogą być na przyład taie: 3 { ω 3 ω 4 { ω ω 3 ω 5 { ω { ω ω ω ω 4 { ω ω ω ω ω ω dr inż. Jace Jarnici φ ytanie : Ile taich podzbiorów można utworzyć?

2 ytanie : Jaą struturę ma zbiór (rodzina zbiorów) utworzony ze zbiorów? Rodzinę podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych Ω nazywamy ciałem borelowsim podzbiorów zbioru Ω lub σ algebrą zbiorów i oznaczamy jao B jeśli spełnione są następujące waruni:. Rodzina B zawiera jao swoje elementy cały zbiór Ω i zbiór r pusty.. Jeżeli do rodziny B należy ciąg sończony lub przeliczalny podzbiorów to należą również do B zbiory U i I dr inż. Jace Jarnici 5 3. Jeśli zbiory i również do niej zbiór \. należą do rodziny B to należy Elementy ta oreślonego zbioru B nazywamy w rachunu prawdopodobieństwa zdarzeniami losowymi. rzyład 4: Dla rzutu ostą możemy przyładowo podać następujące zdarzenia losowe: wyrzucenie parzystej liczby ocze wyrzucenie liczby ocze więszej od 4 wyrzucenie sześciu ocze 3 { ω wyrzucenie liczby ocze więszej niż { ω ω 4 ω { ω ω 5 4 φ dr inż. Jace Jarnici rzyład 5: Dla elementu eletronicznego zdarzeniami losowymi mogą być przyładowo: uszodzenie elementu pomiędzy a godziną pracy h h czas { ω : ω uszodzenie elementu po przepracowaniu co najmniej godzin h czas { ω : ω > dr inż. Jace Jarnici 7. rawdopodobieństwo (probability( probability) rzypisanie zdarzeniom losowym liczby z przedziału [ ]. Niech (.) będzie funcją oreśloną na ciele B oraz niech (.) spełnia następujące własności:.. ( ) ( Ω) 3. Dla w liczbie sończonej lub przeliczalnej zdarzeń rozłącznych to znaczy taich że zachodzi φ j U dla ( ) j dr inż. Jace Jarnici 8

3 Liczbę () nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia losowego. Tróję < Ω B (.) > nazywamy przestrzenią probabilistyczną. Szacowanie prawdopodobieństwa W zagadnieniach pratycznych szacowanie wartości funcji prawdopodobieństwa przeprowadza się często na podstawie wyniów doświadczenia stosując wzór. ( ) m n m liczba wyniów doświadczenia w tórych zaszło zdarzenie n liczba wyonanych doświadczeń. dr inż. Jace Jarnici 9 Nietóre własności prawdopodobieństwa rawdopodobieństwo zdarzenia pewnego (z definicji) ( Ω) rawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego (dopełniającego) Ω - zdarzenie dopełniające do zdarzenia ( ) + ( ) rawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego ( φ) dr inż. Jace Jarnici rawdopodobieństwo sumy zdarzeń Jeżeli B B Ω ( B) ( ) + ( B) ( B) Bφ czyli zdarzenia i B są rozłączne to: ( B) ( ) ( B) + dr inż. Jace Jarnici rawdopodobieństwo warunowe Jaie jest prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia pod waruniem że zaszło zdarzenie B? B ( B) B ( B) ( B) ( B) nazywamy prawdopodobieństwem warunowym zajścia zdarzenia pod waruniem że zaszło zdarzenie B? dr inż. Jace Jarnici 3

4 Zdarzenia niezależne Zdarzenia i B stanowią parę zdarzeń niezależnych jeśli ich prawdopodobieństwa spełniają warune: rawdopodobieństwo zupełne ( B) ( ) ( B) Jeżeli zdarzenia i B należą do B to: n ( B) ( ) ( B ) owyższy wzór nosi nazwę wzoru na prawdopodobieństwo zupełne. dr inż. Jace Jarnici 3 3. Zmienne losowe (random variables) Oreślenie zmiennej losowej polega na przypisaniu zdarzeniom elementarnym liczb. Zmienne losowe będą oznaczane dalej dużymi literami np. T X itd. rzyład : Rzut ostą. Wyrzuceniu jednego ocza przypisujemy liczbę. Wyrzuceniu dwóch ocze przypisujemy liczbę. Wyrzuceniu sześciu ocze przypisujemy liczbę. W tym przypadu mówimy że oreślono zmienną losową dysretną przyjmującą wartości od do (liczba możliwych wartości zmiennej losowej jest sończona). dr inż. Jace Jarnici 4 rzyład 7: Uszodzenie elementu eletronicznego. Uszodzeniu elementu w danej chwili czasu przypisujemy wartość czasu jai upłynął od chwili do chwili uszodzenia. chwila uszodzenia t liczba (wartość jaą przyjęła zmienna losowa realizacja zmiennej losowej) czas Oreślono w ten sposób zmienną losową ciągłą (dodatnią) przyjmującą wartości od do (liczba możliwych wartości jaie może przyjąć zmienna losowa jest nieprzeliczalna). t dr inż. Jace Jarnici 5 Zmienna losowa a prawdopodobieństwo Ja powiązać wartości jaie może przyjmować zmienna losowa z prawdopodobieństwem? Dla przyładu ja oreślić prawdopodobieństwo zdarzenia że uszodzenie elementu eletronicznego nastąpi przed upływem oreślonej liczby godzin? Niech będzie dana zmienna losowa X i liczba rzeczywista x mogąca przybierać wartości z przedziału od - do +. Dystrybuantą (cumulative distribution function cdf) F(x) zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia X < x (x jest liczbą rzeczywistą należącą do przedziału od - do +.) czyli ( x) ( X x) F < dr inż. Jace Jarnici 4

5 rzyład 8: Dla rzutu ostą dystrybuanta wygląda ta: F(x) 5/ 4/ 3/ / / ( x) ( X x) F < Można zapytać; Jaie jest prawdopodobieństwo że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą niż wynosi liczba π? dr inż. Jace Jarnici 7 x rzyład 9: Dla zmiennej losowej T opisującej czas życia pewnego elementu eletronicznego funcja dystrybuanty może wyglądać natomiast mniej więcej ta: F(t)..5 3 ( t) ( T t) F < t [h] Znajomość przebiegu dystrybuanty pozwala przyładowo na stwierdzenie że prawdopodobieństwo iż element zostanie uszodzony przed upływem miliona godzin wynosi ooło.9. dr inż. Jace Jarnici 8 Własności dystrybuanty: Dystrybuanta F(x) spełnia następujące trzy własności:. Jest funcją niemalejącą czyli jeżeli a < b to. Spełnione są następujące waruni oreślające granice lim F x F ( x) ( a) F( b) ( x) limf x 3. Jest lewostronnie ciągłą czyli dla ażdego a zachodzi lim F x a ( x) F( a) Jeżeli dla dystrybuanty F(x) suma prawdopodobieństw wartości w tórych dystrybuanta jest nieciągła równa się jedności to zmienną losową X nazywamy dysretną. Jeżeli dla dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X można przedstawić w postaci całi F x ( x) f ( u)du to zmienną losową X nazywamy ciągłą. Funcja znajdująca się pod całą f(.) nosi nazwę gęstości rozładu prawdopodobieństwa (probability density function pdf). dr inż. Jace Jarnici 9 dr inż. Jace Jarnici 5

6 Własności funcji gęstości rozładu prawdopodobieństwa:.. ( x) dx. + f f ( x) Z oreślenia funcji gęstości prawdopodobieństwa wynia też że jeśli dystrybuanta jest funcją różniczowalną to: ( x) df f ( x) dx rzyład : Znając funcje dystrybuanty lub gęstości rozładu zmiennej losowej możemy łatwo obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń. rzyładowo dla elementu eletronicznego prawdopodobieństwo zdarzenia że ulegnie on uszodzeniu pomiędzy a godziną pracy wynosi: lub ( T < ) F( ) F( ) ( T < ) f ()dt t dr inż. Jace Jarnici dr inż. Jace Jarnici 4. rzyład rozładu zmiennej losowej Rozład normalny rozład Gaussa (773 r.) gęstość rozładu: f ( t ) (t µ ) exp πσ σ μ i σ są parametrami rozładu gęstość rozładu normalnego f(t) dla μ i σ dystrybuanta rozładu: F( t ) t ( τ µ ) exp dτ πσ σ dr inż. Jace Jarnici 3 dystrybuanta rozładu normalnego F(t) dla μ i σ dr inż. Jace Jarnici 4