Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Transkrypt

1 Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski

2 Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb rzeczywistych wektorów wymiarowych Notacja x Długość wektora x1 x 2 =, x= x x... x 1 2 x x = x + x + + x T

3 Działaia a wektorach Wektory moża dodawać i odejmować: x y x y ± x =, R y = R x± y = R x y x ± y Moża je możyć i dzielić przez liczby rzeczywiste x a x ax 1 1 =, a a R R x =, x ax T x x x x =... a a a a

4 Kombiacja liiowa i iloczy skalary wektorów Kombiacją liiową wektorów x 1, x 2,,x azywamy dowoly wektor, który moża przedstawić w postaci x = a x + a x a Iloczy skalary dwóch wektorów... T x= x x x, y= y y y 1 2 defiiujemy za pomocą wzoru x y= xy + xy + + xy x T

5 Własości iloczyu skalarego Dla dowolych trzech wektorów x, y i z oraz dowolych liczb rzeczywistych a i b zachodzi 2 x x= x 0, x y= y x, ( ax+ by) z= a( x z) + b( y z) Zadaie: udowodić ierówość Schwarza x y x y wskazówka: rozpatrzyć wyróżik trójmiau 2 kwadratowego a a = a a. ( ) ( ) x y x y x y

6 Odległość dwóch wektorów Odległość dwóch wektorów defiiujemy za pomocą wzoru ( ) d xy, : = x y Zadaie: udowodić, że odległość dwóch wektorów ma własości (wsk. (4)-ier. Schwarza) ( xy) ieujemosc ( xy) = x= y ( xy) = ( yx)( ) 1) d, 0,( ), 2) d, 0,( rozróziaie elemetów), 3) d, d,, symetria, ( xy) + ( yz) ( xz)( ) 4) d, d, d,, ierówosc trójkata.

7 Ciągi wektorów Defiicja: ciąg wektorów (x ) w przestrzei R jest zbieżydo wektora x 0, który azywa się jego graicą, co zapisujemy x x lub prościej jeżeli 0, lim lim, 0. x = x 0 d( x x) = 0 Zadaie: udowodić, że ciąg wektorów może mieć co ajwyżej jedą graicę (wsk.: ierówość trójkąta). Zadaie: udowodić, że x x wtw. gdy 0, ( ) 0 y R lim x y = x y.

8 Niech Fukcje ciągłe określoe a podzbiorach wektorów f : R Z R Mówimy, że fukcja f jest ciągła w pukcie jeżeli dla każdego ciągu zachodzi Z x x lim f x f x. ( ) ( ) = Fukcja f jest ciągła a zbiorze V Z, jeżeli jest ciągła w każdym pukcie zbioru V. Fukcja f jest ciągła jeżeli jest ciągła a całej swojej dziedziie. 0 0 x Z, 0

9 Zbiory domkięte i otwarte w przestrzei R Zbiór Z jest zbiorem domkiętymw przestrzei R, jeżeli każdy zbieży ciąg wektorów o wyrazach z tego zbioru ma graicę w tym zbiorze Zbiór Z jest zbiorem otwartymw przestrzei R, jeżeli zbiór R \Z jest zbiorem domkiętym Przykłady: kula domkięta _ o środku w pukcie x 0 i promieiu r: x = x R x x { } ( ) ( ) K, r : d, r, 0 0 kula otwarta o środku w pukcie x 0 i promieiu r: ( x ) = x R ( x x) < { } K, r : d, r. 0 0

10 Zbiory otwarte a fukcje ciągłe Zadaie: udowodić, że zbiór Z jest otwarty w przestrzei R wtw. gdy ( ) x Z r> 0 K xr, Z. Zadaie: udowodić, że fukcja f jest ciągła, jeżeli przeciwobrazyprzedziałów otwartych liczb rzeczywistych są zbiorami otwartymi Zadaie: rozstrzygąć, czy fukcja xy f( xy, ) = x + y 0, gdyx= y= 0,, 2 2 gdyx + y 0, f: R R jest ciągła.

11 Fukcje lipschitzowskie Mówimy, że fukcja f jest lipschitzowska a zbiorze V Z, ze stałą Lipschitza L, jeżeli ( ) ( ) x, x V f x f x Lx x Fukcja lipschitzowska a zbiorze otwartym V jest a tym zbiorze ciągła Zadaie: udowodić, że f jest lipschitzowska i zaleźć możliwie ajmiejszą stałą Lipschitza, gdy 1) 2) R R f ( x ) = x x, 0 ( x ) = xx0 f:, f: R R, f d(, ).

12 Zbiory ograiczoe i zbiory zwarte w przestrzei R Zbiór Z jest zbiorem ograiczoymw przestrzei R, jeżeli istieje pewa liczba R, dla której _ Z K T , R. Zbiór Z jest zbiorem zwartymw przestrzei R, jeżeli jest jedocześie domkięty i ograiczoy Przykład: każda kula otwarta jest zbiorem ograiczoym, każda kula domkięta jest zwarta (tz. jest zbiorem zwartym)

13 Kryteria zwartości Zbiór Z jest zwarty w przestrzei R, jeżeli z każdego ciągu wektorów o wyrazach z tego zbioru moża wybrać podciąg zbieży Zbiór Z jest zwarty w przestrzei R, jeżeli dowoly ciąg zstępujący iepustych podzbiorów domkiętych zbioru Z, Z F F... F..., 1 2 ma iepuste przecięcie, tz. = 1 F

14 Twierdzeie Weierstrassa przypadek wielowymiarowy Niech f: R Z R, Z zwarty, f ciągła, wówczas: f jest ograiczoa; f f przyjmuje w pewym pukcie x Z Z wartość ajmiejszą, f mi = f( x ); mi mi f przyjmuje w pewym pukcie x Z wartość ajwiększą, f max = f( x ); max max dla dowolej liczby f y f istieje takie mi max x Z, że zachodzi f( x) = y, czyli fz ( ) = f f. mi, max