Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Transkrypt

1 Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej przestrzei Zbiór A X azywamy zwartym jeśli zbiór te tratoway jao przestrzeń metrycza ( A ρ staowi przestrzeń zwartą Bardzo często moża spotać ią rówoważą powyższej defiicję przestrzei metryczej zwartej Podamy ją teraz bez wyazywaia że obie defiicje są rówoważe Defiicja 8 (Borela-Lebesgue a przestrzei zwartej Przestrzeń metryczą ( ρ podporycie sończoe tj jeśli { t T X azywamy zwartą jeśli ażde otwarte porycie przestrzei X zawiera G t : jest rodzią zbiorów otwartych taą że X UG t to istieje tai t T sończoy uład wsaźiów t t t T że X G G G t t t Podamy teraz ila ogólych twierdzeń tóre dotyczą przestrzei metryczych zwartych Twierdzeie 8 ażda przestrzeń metrycza zwarta jest zupeła Niech ( X ρ będzie dowolą przestrzeią metryczą zwartą i { X x dowolym ciągiem spełiającym warue Cauchy ego Musimy wyazać że jest o zbieży Poieważ przestrzeń X jest zwarta to istieje podciąg { x ciągu { x zbieży A zatem { x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieży Na mocy twierdzeia ciąg { x jest zatem zbieży Twierdzeie 85 (Catora W przestrzei metryczej zwartej zstępujący ciąg iepustych zbiorów domiętych ma iepusty przerój Niech ( X ρ będzie przestrzeią metryczą zwartą i { domiętych Dla ażdej liczby aturalej iech przestrzeń ( ρ Ustalmy (a x Cl( X jest zwarta więc istieje podciąg { m N Dla m mamy x m m Poieważ zaś zbiór m dowolym ciągiem zstępującym iepustych zbiorów x będzie wybraym elemetem zbioru a poieważ jest domięty więc Poieważ x zbieży do pewego putu x X x lim x więc a mocy twierdzeia 8 x m Poazaliśmy zatem że m x dla

2 wszystich m N tj I x m Zbiór I m jest zatem iepusty m m Twierdzeie 86 ażda przestrzeń metrycza zwarta jest ograiczoa Niech ( X ρ będzie dowolą przestrzeia metryczą zwartą Rodzia { ( x U poryciem przestrzei X tj X x x X ( A poieważ przestrzeń ( ρ zbiorów otwartych jest X jest zwarta to a mocy defiicji Borela-Lebesgue a (zob defiicja 8 istieje sończoe podporycie tego porycia tj istieje sończoy uład putów x x x X tai że Weźmy dowole pewych i j { ρ U X ( i x i x y X Wyorzystując powyższą zależość dostajemy x i y dla sąd (uwzględiajac ierówość trójata dla ρ ρ ( x y ρ( x xi + ρ( xi x j + ρ( x j y ( x x + max{ ρ( x x : i j { + ρ( x y < + max{ ρ( x x : i j { ( x i i i j j i j ( x j Z dowolości x y X mamy zatem diam( przestrzeń X jest ograiczoa { < + { ( x y : x y X + max ρ( x x : i j { X sup ρ i j oleje twierdzeia podają pewe cechy tóre charateryzują przestrzeie metrycze zwarte i ich podzbiory Twierdzeie 87 Niech ( X ρ będzie dowolą przestrzeią metryczą a ( M ρ jej podprzestrzeią Jeżeli ( ρ przestrzeią zwartą to M jest zbiorem domiętym w X M jest Poieważ przestrzeń ( ρ M jest zwarta to a mocy twierdzeia 8 jest zupeła a stąd a mocy twierdzeia 77 M jest zbiorem domiętym w X Twierdzeie 88 Jeżeli ( ρ X jest przestrzeią metryczą zwartą to ażdy jej domięty podzbiór M też staowi przestrzeń metryczą zwartą Musimy poazać że przestrzeń metrycza ( ρ M jest zwarta tj że ażdy ciąg putów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej przestrzei Weźmy zatem dowoly ciąg { x putów przestrzei M

3 Poieważ elemety tego ciągu są rówież elemetami przestrzei X a ta jest zwarta to istieje podciąg { x ciagu { x zbieży do pewego putu X M jest domięty więc x orzystając z twierdzeia 8 (a x Cl( M a poieważ zbiór x M Wyażemy teraz waże w zastosowaiach twierdzeie charateryzujące podzbiory zwarte przestrzei eulidesowej ( ρ R e Twierdzeie 89 Podzbiór M przestrzei eulidesowej ( ρ ograiczoy w R R jest zwarty wtedy i tylo wtedy gdy zbiór M jest domięty i e Załóżmy ajpierw że zbiór ograiczoość z twierdzeia 86 Załóżmy z olei że zbiór M M R jest zwarty Domiętość zbioru M wyia z twierdzeia 87 a R jest domięty i ograiczoy Weźmy dowoly ciąg { x putów zbioru M Poieważ M jest zbiorem ograiczoym to a mocy twierdzeia Bolzao-Weierstrassa (zob twierdzeie istieje podciąg { x zbieży tj tai że lim x dla pewego x R orzystając z x twierdzeia 8 (a x Cl( M a poieważ zbiór M jest domięty to x M Z dowolego ciągu putów zbioru M wybralismy zatem podciąg zbieży do putu tego zbioru Zbiór M jest więc zwarty Przyład 9 (przestrzei zwartej i przestrzei ie będącej przestrzeią zwartą (a Na mocy powyższego twierdzeia dostajemy od razu że p przestrzeń metrycza ([ ] jest przestrzeią zwartą Natomiast przestrzeń eulidesowa ( R ie jest zwarta tj ie z ażdego ciągu putów tej przestrzei moża wybrać podciąg zbieży Istotie biorąc p ciąg { putów tej przestrzei i wybierając z iego dowoly podciąg { w R (b Rówież przestrzeń dysreta ρ widzimy że lim + x dla dowolego R ( R ie jest zwarta (p ciąg { x tj ciąg { ie jest zbieży ie posiada żadego podciągu zbieżego choć jest oa domięta (przestrzeń zawsze w sobie jest domięta i ograiczoa ( ( R sup{ ( x y : x y < + diam ρ R Nie moża zatem w ogólości sugerować się twierdzeiem 89 tj tym że zwartość zbioru zawsze jest tym samym co jego domiętość i ograiczoość oleje trzy twierdzeia łączą ze sobą pojęcia ciągłości i zwartości i są waże w zastosowaiach Twierdzeie 9 ażda fucja ciągła przeształcająca przestrzeń metryczą zwartą w przestrzeń metryczą jest jedostajie ciągła

4 Niech ( X ρ będzie dowolą przestrzeią metryczą zwartą ( ρ Y dowolą przestrzeią metryczą i f : X Y dowolą fucją ciągłą Zgodie z defiicją 57 ciągłości jedostajej musimy poazać że (* { x X { z X [ lim ( x z lim ρ( f ( x f ( z ] ρ Weźmy dwa dowole ciągi { x { z X i załóżmy że lim ρ ( x z { Wybierzmy dowoly rosący ciąg liczb aturalych tym samym wybierając dowole podciągi { x { z i { ρ ( f ( x f ( z przestrzeń metrycza ( ρ orzystając z ierówości X jest zwarta to istieje podciąg { l ρ ( z x ρ( z x ( x x l l + ρ l l tóra zachodzi dla wszystich l N widzimy że ciąg { l fucja f jest ciągła to f ( x f ( x lim f ( z l l l l ρ ( f ( x f ( z ρ ( f ( x f ( x + ρ ( f ( x f ( z tóra zachodzi dla wszystich Poieważ x zbieży do pewego x X z też jest zbieży do putu x Poieważ zaś lim Wyorzystując teraz ierówość l l l N dostajemy l ( f ( x f ( z lim ρ Widzimy więc że biorąc dowoly podciąg { ( f ( x f ( z podciąg { ( f ( x f ( z l { ( f ( x f ( l l l ρ ciągu { ( f ( x f ( l ρ moża z iego wyjąć z ρ zbieży do zera a to a mocy twierdzeia 7 (f ozacza że sam ciąg ρ też jest zbieży do zera i poazuje tym samym że warue (* zachodzi ucja f jest z zatem ciągła jedostajie Twierdzeie 9 Obraz ciągły przestrzei zwartej jest przestrzeią zwartą Niech ( X ρ będzie dowolą przestrzeią metryczą zwartą a ( ρ Y dowolą przestrzeią metryczą i iech f : X Y będzie dowolą fucją ciągłą Musimy wyazać że f ( X jest zbiorem zwartym Weźmy dowoly ciąg { y f ( X Zajdziemy wówczas ciąg { x X tai że f ( ( ρ X jest zwarta to istieje podciąg { ciągłość fucji f dostajemy y lim f ( x f ( x f ( X { y zbieży do putu zbioru ( X y N A poieważ przestrzeń x x zbieży do putu x X Biorąc teraz pod uwagę lim co poazuje że ciąg { y posiada podciąg f tym samym uzasadiając jego zwartość Twierdzeie 9 (Weierstrassa ażda fucja ciągła f o wartościach rzeczywistych oreśloa a przestrzei zwartej X jest ograiczoa i osiąga swoje resy tj istieją puty x' x" X taie że

5 f ( x' if{ f ( x i f ( x sup{ f ( x " Niech ( ρ X będzie dowolą przestrzeią metryczą zwartą a f : X R dowolą fucją ciągłą (w przestrzei R rozważamy metryę eulidesową Poieważ f jest fucją ciągłą to orzystając z twierdzeia 9 f ( X jest zbiorem zwartym i a mocy twierdzeia 86 ograiczoym A zatem { f ( x R sup { f ( x R tj if{ f ( x y i sup{ f ( x : x X y Z defiicji resu dolego if dla ażdego (* y f ( x dla pewych y y R N istieje put x X tai że < y + if i A zatem istieje ciąg { x putów przestrzei X tórego elemety spełiają warue (* a poieważ przestrzeń ( ρ x' X X jest zwarta to z ciągu tego możemy wybrać podciąg { x zbieży do pewego putu Dostajemy teraz z jedej stroy wyorzystując ciągłość fucji f że lim f ( x f ( x' wyorzystujac (* i twierdzeie o trzech ciągach dostajemy że lim f ( x y przestrzei metryczej ( R mamy zatem że f ( x y if{ f ( x Podobie poazujemy że f ( x sup{ f ( x a z drugiej Z jedozaczości graicy w ' dla pewego x' X " dla pewego x" X Sostruujemy a oiec tego rozdziału cieawy przyład podzbioru przestrzei metryczej ([ ] (a ta aprawdę ostrucje tą łatwo moża przeieść a dowoly przedział w R będącego z jedej stroy zbiorem bardzo liczym (gdyż zbiór będzie ieprzeliczaly z drugiej stroy zbiorem bardzo małym (gdyż zbiór będzie miary Lebesgue a zero i w ońcu a puty tego zbioru moża się atąć prawie wszędzie w przedziale [ ] (gdyż zbiór będzie gęsty w przestrzei ([ ] Przyład 9 (zbioru ieprzeliczalego miary Lebesgue a zero i gęstego Poieważ podaie zbioru wymaga użycia pojęcia zbioru Catora C tóry sam w sobie jest zbiorem posiadającym wiele cieawych własości dlatego też zacziemy od jego ostrucji Rozważmy przedział domięty [ ] Usuńmy z iego przedział postaci środowy przedział otwarty o długości tj Z pozostałego zbioru postaci gdzie i usuńmy środowe przedziały otwarte o długości postaci 7 8 i Z pozostałego zbioru postaci gdzie usuńmy środowe przedziały otwarte o długości postaci 7 8 5

6 9 5 6 i Proces otyuujemy otrzymując odpowiedi ciąg zbiorów { Zbiór Catora C oreślamy teraz jao część wspólą wszystich zbiorów tj I C Łatwo zauważyć że poieważ ońce przedziałów wchodzące w sład zbiorów przy wszystich N ależą już do zbioru Catora C to zbiór Catora C jest iesończoy Poażemy więcej a miaowicie że jest o zbiorem ieprzeliczalym Przypuśćmy przeciwie tj że elemety zbioru Catora C moża ustawić w ciąg c Jest jase że dalej że c c c Niech S będzie tym ze zbiorów c c do tórego c Niech S będzie tym ze zbiorów c c c ie ależy Jest jase zawartym w zbiorze S do tórego c ie ależy Postępując ta dalej otrzymamy zstępujący ciąg iepustych przedziałów domiętych { S taich że c S dla N Oczywiście a mocy twierdzeia Catora (zob twierdzeie 85 zbiór I S jest iepusty i poadto widać że I S C Jest to jeda iemożliwe gdyż to by ozaczało że istieje elemet zbioru Catora c tóry jest we wszystich zbiorach S a przecież c S przy N Zauważmy dalej że zbiór Catora C jao iloczy przeliczalej ilości zbiorów domiętych jest mierzaly w sesie Lebesgue a i poadto jego miara (tutaj ozaczaa symbolem λ jest zero Istotie λ ( C λ ([ ] \ ( ( Rozważmy teraz podzbiór C ( Q [] przestrzei metryczej [ ] Po pierwsze jest to zbiór ieprzeliczaly gdyż już sam zbiór Catora tj zbiór C jest zbiorem ieprzeliczalym Po drugie jest to zbiór miary Lebesgue a zero gdyż oba zbiory C i [ ] Q są miary Lebesgue a zero I w ońcu jest to zbiór gęsty w przestrzei [ ] gdyż już sam zbiór liczb wymierych z przedziału [ ] tj zbiór Q [ ] jest gęsty w [ ] 6