Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Transkrypt

1 Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji wielu zmieych. Z uwagi a prostotę zapisu i łatwe iterpretacje graficze ograiczymy się główie do fucji lub zmieych. Rozważmy zay z ursu algebry zbiór R, tórego elemety,, x x K możemy tratować jao puty P x, K, x w -wymiarowej przestrzei z aturalym uładem współrzędych, wetory OP zaczepioe w ustaloym pucie O, będącym początiem uładu współrzędych i ońcu w zadaym pucie P x, K, x, wetory swobode x = x, K, x w -wymiarowej przestrzei liiowej R, tóre moża zaczepiać w dowolym pucie. W zbiorze Q y, K, y wzorem R możemy zdefiiować odległość ρ pomiędzy putami P x,, x x i y i ρ P, =. K i Oreśloa powyżej fucja ρ, : R R [, zwaa metryą odległością eulidesową spełia astępujące warui:.,, ρ P P i ρ P P P R, P = P = P. ρ P, P = ρ P, P P, P R. ρ P, P ρ P, P + ρ P, P P, P, P R warue trójąta Powyższe warui możemy potratować jao warui defiiujące metryę ρ,. Moża sprawdzić, że taże fucje oreśloe wzorami ρ P, = max x y i i i ρ P, = x i y i rówież defiiują metryę w R. Parę R, ρ, gdzie ρ, jest dowolą metryą azywamy przestrzeią metryczą. Jeśli ie będzie to wyraźie zazaczoe, to załadamy, że w R rozważamy metryę eulidesową. Przyłady przestrzei metryczych X = R ρ x, = x y

2 Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl X X,ρ prz. metr. ρ dla x = y ρ x, = metrya dysreta dla x y ρ x, x, = rówież jest metryą w X ograiczoą przez + ρ x, Przestrzeń uormowaa Tratując R jao przestrzeń wetorową ad ciałem R ze zwyłymi działaiami dodawaia wetorów x = x,..., x i y = y,..., y x + y = x,..., + y x + y, oraz możeia wetora przez salar α x = αx,..., αx możemy zdefiiować pojęcie ormy eulidesowej wetora x = x,..., x wzorem x i x =. Przypomieie z algebry Niech X będzie przestrzeń liiową wetorową ad ciałem K K = R Normą w przestrzei liiowej ad ciałem K C lub R azywamy rzeczywistą fucję : x X x, przy czym: º x = x x X = º α x α x α K x X = º x + y x y x, y X + Parę X, azywamy przestrzeią uormowaą. Norma jest odpowiediiem pojęcia długości wetora. Np. X = R x = x,..., x - x = x i - orma eulidesowa orma l x max x - orma max lub l - = l i i - x = l x i - orma l Np. X = C[ a, b] - zbiór wszystich fucji rzeczywistych ciągłych a [ a, b] f = sup f x = max f x - orma supremum sup=max bo f jest cg. a przedziale [a,b] Fat. Przestrzeń uormowaa jest przestrzeią metryczą z metryą ρ x, = x y. Pojęcia związae z metryą: X,ρ - przestrzeń metrycza.

3 Z Z Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Kula : K x, r = { x X : ρ x, x < r}, Ja wyglądają ule w R w różych metryach Otoczeie uliste putu x : Ot x, r = K x, r x, r = K x, r { x Sąsiedztwo putu x : S } Kula w przestrzei X = C[ a, b] z metryą Czebyszewa K f, r - wszystie fucje ciągłe, tórych wyresy leżą pomiędzy f r a f + r. Fucja rzeczywista zmieych rzeczywistych Utożsamiając put P z jego współrzędymi x = x,..., x rozważać będziemy rzeczywistą fucję putu P jao fucję wielu zmieych współrzędych putu f : R D x fx R Przyład. fx,=arcsi ax + arcsi b y jest rzeczywistą fucją dwóch zmieych rzeczywistych oreśloą a prostoącie [-a, a] [-b, b]. Przyładowe wyresy fucji zmieych- przeroje- powierzchie obrotowe p.: z=x +y Paraboloida hiperbolicza fx,=x -y siodło ,,5,,,5 Y - -, -,5 -, -, -,5 -, - X, > <,5 <,5 < < -,75 < -,75 < -,75 < -,75 z=x +y paraboloida obrotowa fx,=x +y 4 -,,5 Y, - -, -,5 -, -, -,5 -, - X,,5, > 7,75 < 7,5 < 6,5 < 5,5 < 4,5 <,5 <,5 <,5 <

4 Z Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl z = 4x +*y paraboloida eliptycza fx,=4x +9y ,,5,,,5 Y - -, -,5 -, -, -,5 -, - X, > < < 7 < < 9 < 5 < Graica ciągu o wartościach w R Wiadomo, że ciąg o wartościach rzeczywistych to fucja rzeczywista oreśloa a zbiorze liczb rzeczywistych. Podobie fucję P : N P = P R azwiemy ciągiem w przestrzei R. Przyjmując ozaczeia P = x,..., x, P = g,..., g możemy zdefiiować graice ciągu w R lim P = P lim ρ P, P = przy czym odległość ρ P, pomiędzy putami P = x,..., x i Q = y,..., y jest zadaa wzorem ρ P, = x i y i. Uwaga. Powyżej zdefiiowaa zbieżość jest rówoważa zbieżości po współrzędych - uzasadić. Przyład.,, = e,, si lim + + Podobie ja w rozważaym poprzedio przypadu fucji f: R R rzeczywistej zmieej rzeczywistej możemy zdefiiować otoczeie i sąsiedztwo putu w przestrzei metryczej OtP,δ= KP,δ= { P D f : ρ P, P < δ} ; SP,δ= OtP,δ-{P } Powyższą defiicję graicy ciągu o wartościach w R możemy uogólić a przypade ciągu o wartościach w przestrzei metryczej graicy ciągu o wartościach w przestrzei metryczej X,ρ: lim P = P ρ ε ε > P, P N Pytaie. Czy ciąg jest zbieży w przestrzei R z metryą dysretą. Ja wyglądają ciągi zbieże w przestrzei metryczej z metryą dysretą. To, czy ciąg ma graicę czy ie zależy ie tylo od ciągu ale i od metryi. Te sam ciąg może być zbieży w sesie jedej metryi a rozbieży w sesie iej metryi. 4

5 Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Podobie ja w przypadu ciągów rzeczywistych fudametalego czyli spełiającego warue Cauchy ego C możemy wprowadzić pojęcie ciągu ρ P, P ε. ε > N m m, Tw. Jeżeli ciąg P putów przestrzei metryczej X, ρ jest zbieży, to spełia o warue Cauchy ego ρ P, P ε. ε > N m m <, Uwaga. W przypadu ciągów rzeczywistych prawdziwe jest twierdzeie odwrote, a w ogólym przypadu ie. Przestrzeń metryczą X,ρ azywamy zupełą, jeżeli ażdy ciąg Cauchy ego elemetów przestrzei X,ρ jest zbieży do elemetu przestrzei X,ρ. Przyłady R, jest przestrzeią zupełą a W, ie jest przestrzeią zupełą R, ρ jest przestrzeią zupełą Zbieżość ciągu w przestrzei uormowaej a więc taże metryczej z metryą iduowaą przez ormę, azywamy zbieżością w sesie ormy. Przestrzeią Baacha azywamy przestrzeń liiową, uormowaą i zupełą. Metrya d f, g = sup f x g x c Czebyszewa w przestrzei C[ a, b] rzeczywistych fucji ciągłych a przedziale [a,b] iduowaa przez ormę f = sup f x, jest metryą zbieżości jedostajej. wrócimy do tego przy ciągach i szeregach fucyjych Put P X azywamy putem supieia zbioru A X istieje ciąg P A tai, że i lim = P P P P Put zbioru A, tóry ie jest jego putem supieia azywamy putem izolowaym zbioru. Charateryzacja otoczeiowa putów i zbiorów w przestrzei metryczej. X, ρ - przestrzeń metrycza, A X, A, przypomieie - K x, r = { x X : ρ x, x < } r Put a A azywamy putem izolowaym zbioru A r> Ka,r A={a}. Put a A azywamy putem wewętrzym zbioru r> Ka,r A. Put a X jest putem brzegowym zbioru A r> Ka,r A Ka,r X-A Put a X-A jest putem zewętrzym zbioru A r> Ka,r A Uwaga. Put wewętrzy zbioru A ależy do A, put zewętrzy ależy do jego dopełieia, a brzegowy może ależeć do A albo do X-A. 5

6 Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Put a X jest putem supieia zbioru A r> Ka,r-{a} A. Zbiór A X jest otwarty, gdy słada się z samych putów wewętrzych. Zbiór A X jest domięty A '= X \ A jest zbiorem otwartym. Wętrze zbioru A ozaczeie - it A to zbiór wszystich putów wewętrzych. Brzeg zbioru A ozaczeia - Fr A lub A, to zbiór wszystich putów brzegowych. Wiosi: A jest otwarty A=it A Wętrze zbioru A to ajwięszy zbiór otwarty zawarty w daym zbiorze. Def: Domięciem zbioru A X azywamy ajmiejszy zbiór domięty A arywający zbiór A. Wiosi Put a X jest putem domięcia zbioru A r> Ka,r A. Każdy put supieia zbioru A jest putem domięcia zbioru A, ale ie odwrotie, bo p. put izoloway jest putem domięcia, ale ie jest putem supieia. Zbiór domięty zawiera wszystie swoje puty supieia. 6