Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Transkrypt

1 Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas

2 Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y 0,0 s cosy +y 4 h lm,y 0,0 sy y 3 y 3 +y y s lm cosy 3,y 0,0 j lm +y 3 +y +y +y 4,y 0,0 +y /3 lm y 6 4,y 0,0 l lm 4y+8 y+5y 5 y 3y 3 + y 3 +y 3,y 3, m lm,y π,π s +y y y lm 4,y 0,0 +y Rozwązaa: Najperw, moża zauważyć, że fucja f, y = jest zdefowaa a R {0, 0}. Właśe, y y + + y y+3 y+30y 0 y 3y 3 + y 3 y + + y = 0 y = 0 + y = 0 = y y = 0 = 0 y = 0. Węc, mamy f : R {0, 0} R. Musmy sprawdzć gracę fucj f w puce 0, 0. Chocaż, 0, 0 e ależy do A, te put jest putem supea zboru A możemy sorzystać z defcj Cauchy ego gracy fucj f : A R w puce supea p 0 zboru A: lm fp = b ɛ > 0, δ > 0, [ p A, p p 0 < p fp b < ɛ]. p p 0 Wprowadzamy zmaę do współrzędych beguowych, czyl = r cos θ y = r s θ. lm,y 0,0 Fucja y y + + y = lm r 0 r 4 cos θ s θ r 4 cos θ s θ + cos θ + s θ r f, y = 3 y 3 + y r cos θ s θ = lm r 0 r cos θ s θ + cos θ + s θ = 0. jest defowaa a R {0, 0}. Aby oblczyć gracę w puce 0, 0, wprowadzamy zmaę do współrzędych beguowych, czyl = r cos θ y = r s θ. Węc, Fucja lm,y 0,0 3 y 3 y + + y = lm r 0 3r 5 cos θ s 3 θ r 4 cos θ + s θ = lm r 0 3r cos θ s 3 θ = 0. f, y = + 4 y 4 y jest zdefowa a zborze A R {, y y = 0}. Węc, mamy fucję postac f : A R. Musmy sprawdzć gracę fucj f w puce 0, 0. Chocaż 0, 0 e ależy do A, jest putem supea zboru A możemy sorzystać z defcj Cauchy ego, czyl day put supea p 0 zboru A, to lm p p 0 fp = b ɛ > 0, δ > 0, [ p A, p p 0 < p fp b < ɛ].

3 Wprowadzamy zmaę do współrzędych beguowych, czyl = r cos θ y = r s θ. Sprawdzamy gracę w putach ależących do dzedzy fucj, czyl dla θ 0, π {π/, π, 3π/} dla dowolego r > 0. Wtedy, lm +,y 0,0 4 y 4 y = lm + r 8 cos 4 θ s 4 θ r 0 r 4 cos θ s θ. Soro lm r 0 r 8 cos 4 θ s 4 θ = 0, powyższa graca jest gracą typu lczby e. Wówczas, lm +,y 0,0 4 y 4 y Przeaalzujemy fucję [ = lm + r 8 cos 4 θ s 4 θ r 0 lm +,y 0,0 4 y 4 y f, y = = e lm r 0 r8 cos 4 θ s 4 θ r 4 cos θ s θ =. y y + y. ] r 8 cos 4 θ s 4 θ r 8 cos 4 θ s 4 r θ 4 cos θ s θ. Soro +y = 0 wtedy tylo wtedy = y = 0, fucja ta jest zdefowaa a zborze R {0, 0}. W tym przyładze, sorzystamy z tego, że lm f, y = b lm,y 0,y 0 0 lm f, y = lm,y 0,y 0 0 y y0 lm f, y, lm y y0 0 lm f, y y y0 lm f, y = y y0 lm 0 lm f, y. Tae grace azywają sę gracam teracyjym. Trzeba pamętać, że ch stee jest waruem oeczym ale e wystarczającym, aby zgwaratować, że steje graca fucj f w puce 0, y 0. Ogóle, orzysta sę z tego wyu, aby sprawdzć, że grace teracyje e steją, albo e są rówe z tego powodu, e steje graca fucj. W aszym przypadu, lm lm y y 0 y 0 + y = lm 0 = 0, 0 lm lm y y y y = lm =. y y 0 Zadae. Zbadać cągłość astępujących fucj e y, dla 0, a f, y = y, dla = 0, b f, y = cosy, +y + + y [ cos ] c f, y = +y + s +y, dla, y 0, 0, dla, y = 0 sy, dla y 0, y d f, y =, dla y = 0, log+ y dla y 0, y e f, y =, dla y = 0, Rozwązae: Poza putam, y gdze y = 0, fucja jest cągła. Właśe, jest lorazem dwóch fucj cągłych, tach, że maow e zeruje sę. 3

4 Zobaczymy co sę dzeję, gdy 0, y 0 jest tae, że 0 y 0 = 0. Soro g, y = y jest fucją cągłą, edy, y 0, y 0 tae, że 0 y 0 = 0, to g, y 0 defcja Heego cągłośc fucj, to Zadae 3. log + y lm,y 0,y 0 y log + y = lm y 0 y =. Oblczyć pochode cząstowe rzędu perwszego astępujących fucj a f, y, z = y 3 z y s, b f, y = y e log y, c f, y = ch sh, gdze ch = e + e /, sh = e e /, + y cos d f, y = +y dla, y 0 0 dla, y = 0, e f, y, z = yz, Zadae 4. Zadae 5. tym puce. Zadae 6. Czy fucja f : R R różczowala w puce, y mus być C w tym puce? Udowodj, że fucja f : R R różczowala w puce, y mus być C 0 w Oblczyć pochode eruowe fucj y, dla, y 0, f, y = +y 0, dla, y = 0, w eruu wetora v = a, b w puce 0, 0. Zadae 7. Zadae 8. Zadae 9. speła, że Zbadaj różczowalość fucj f, y = y sy. Zbadaj różczowalość fucj Sprawdź, że fucja dla ażdego N. Rozwązaa: Mamy, że Wówczas + y y = = + y cos f, y = +y, dla, y 0, 0, dla, y = 0. = f = = y + y y = f = = y y = y = y + y = y y. y + 4 = y = y = = y = f.

5 Zadae 0. Sprawdzć, że fucja f + y + z speła, że y y = z z = z y y z = 0. Rozwązae: Nech f będze df/dt, gdze t = + y + z, to y y = f y yf = 0 Zadae. Zadae. Zbadaj różczowalość fucj z z = f z zf = 0 z y y z = zf y yf z = 0. + y cos f, y = +y, dla, y 0, 0, dla, y = 0. Daa fucja f, y = y, czy speła, że [D h,h yf], y =, yh + y, yh y. Zadae 3. Daa fucja f C R, apsać wyrażea + y + z, f + f y + f z, we współrzędych walcowych {r, φ, z}, gdze = r cosφ, y = r sφ, z = z, we współrzędych sferyczych {r, φ, θ}, gdze = r cosφ sθ, y = r sφ sθ, z = r cosθ we współrzędych elptyczych {r, φ, θ}, gdze = a r cosφ sθ, y = b r sφ sθ, z = c r cosθ a, b, c > 0. Zadae 4. Oblczyć dla fucj f y, f y y y, dla, y 0, f, y = +y 0, dla, y = 0.. Zadae 5. Czy steje fucja f C R taa, że / = 5 6 / y = y + 5? 5

6 Rozwązae: Daa f C R, to f y = f y. Jeżel ta warue sę speła, to daa fucja /, y = f, y, to f, y = f, yd + φy, gdze trzeba całować f, y tylo jao fucję zależą od gdze φy to pewa fucja zależa od y. Teraz, y = φ y + f, yd = f y. y Stąd, φ y = f y y f, yd. Moża zauważyć, że właśe prawa stroa zależy tylo od y: φ y = y f, yd = 0. y Węc, [ φy = f y y f, yd ] dy. Ta metoda jest luczowa, a przyład w termodyamce, gdze prowadz do tzw prawa stau uładu termodyamczego z wartośc, tóre moża merzyć w laboratorum. W aszym przypadu, mamy, że = 5 6 f y = 0 y = y + 5 f y = 0. Węc, asza fucja speła ta warue możemy oblczyć f. f = 5 6d + φy = 6 /3 6 + φy. Trzeba zauważyć, że e pojawa sę żada stała po całowau 5 6, bo możemy załadać, że ta stała jest w φy. Węc, y = φ y = y + 5 φy = y + 5y +, R, f, y = 6 /3 6 + y + 5y +. Zadae 6. Prawo stau gazu dosoałego dla dowolej lośc gazu przyjmuje postać: P V = RT, gdze P to cśee gazu, V to objętość gazu, to lość mol, T to temperatura R to stała gazowa. Wyaż, że P V T =. V T P T =cte P =cte V =cte 6

7 Rozwązae: Mamy, że P = RT/V węc, Poadto, V = RT/P soro T = P V/R, to Wobec tego, P = RT V V. T =cte V = R T P T =cte T = V P R. V =cte P V T = RT V T P V T =cte P =cte V =cte R P V R = RT V P =. Zadae 7. Zaleźć zbadać puty rytycze fucj f, y = cos + cos y cos + y. Rozwązae: Putem rytyczym fucj f azywamy puty gdze zerują sę perwsze pochode tej fucj. Puty rytycze są rozwązaam uładu = s + s + y = 0, y = s y + s + y = 0. Fucja jest oresowa dla obu zmeych, czyl f + π, y + π = f, y dla, Z. Węc, możemy zbadać jej puty rytycze w [ π, π [ π, π. Stąd, s = sy y =. Węc, Z tego, albo s s + y = 0 s = s = = 0, y = 0, = π, y = π, = ±π = ± 3 π y = ± 3 π. Węc, mamy puty rytycze: π, π, π + π, π + π, π/3 + π, π/3 + π. Musmy zbadać druge pochode f f y f y cos + cos + y cos + y f = cos + y cosy + cos + y y w putach rytyczych. Czyl, dla 0, 0 podobych 0 0 7

8 Węc, D < 0 to put sodła. Dla π, π podobych Węc, D < 0, D > 0 to mmum. Dla π/3, π/3 podobych 3/ 3/ to masmum D, D > 0. Zadae 8. Zaleźć zbadać puty rytycze fucj f, y = e y. Zadae 9. Zaleźć ajwęsze ajmejsze wartośc fucj s + y / + y, dla, y 0, f, y = 0, dla, y = 0, a zborze K = {, y + y π/}. Dla tych, tórzy udzą sę chcą coś węcej... Zadae 0. Daa fucja f : R R typu C taa, że fλ,..., λ = λ f,..., dla λ R, udowodj, że = = f. Zadae. Zbadać puty rytycze cągłej fucj f : R R taej, że fλ,..., λ = λ f,...,. Zadae. Zbadać puty rytycze cągłej fucj f : R R taej, że fr cos θ, r s θ = fr cos θ, r s θ dla wszystch r, θ, θ R / r > 0. Zadae 3. Zaleźć zbadać puty rytycze fucj f, y = 4 + y 4. 8