Teoria i metody optymalizacji

Transkrypt

1 eoria i metody optymalizaci Programowaie liiowe całowitoliczbowe PCL Metodologia podziału i ograiczeń Brach ad Boud (B&B) ma c A Z echique Metodologia podziału i ograiczeń B&B { A b i Z } Podstawą metodologii B&B est przegląd drzewa rozwiązań. Wyorzystue się at sończoości zbioru moŝliwych wartości zmieych całowitoliczbowych w przypadu ograiczoych zadań PCL. Etapy metody: -podział -gałęzieie -obliczaie górych i dolych oszacowań uci celu. Osłabieie tóre prowadzi do zadaia PL: { A b } eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci Metodologia podziału i ograiczeń B&B Metodologia podziału i oszacowań B&B Podział. Przymimy Ŝe zadaie PL zostało rozwiązae dla wierzchoła v przy czym () ma ie wszystie sładowe całowitoliczbowe. Przyładowo iech pewa zmiea ] Podział tóry est przy tym rozbiciem zbioru est astępuący: * i { i { < i i <. ]} { < y > }} Gdzie <a> est amieszą liczbą całowitą więszą lub rówą a [a] zaś ozacza awięszą liczbę całowitą mieszą lub rówą a. i ończoość. ZałóŜmy Ŝe aŝda ze zmieych est ograiczoa i e graica góra wyosi u. Niech { A α H { α β u β u całowite... } całowite... }. Zadaie PL est poŝądaym osłabieiem zadaia PCL gdyŝ dołączoe ograiczeia daą górą i dolą graicę dla poszczególych zmieych. Zagadieia PL przy załoŝeiu ograiczoości zmieych rozwiązue się algorytmem dualym symples. eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci Metoda Brach ad Boud Ograiczeia a zares zmieych Oparta a podeściu podział i ograiczeie Ogóla idea metody polega a wyborze zmiee do podziału i rozwiązywaiu zadań PL KaŜdy podział zawęŝa zbiór rozwiązań dopuszczalych Wartość optymala uci celu LP est górym ograiczeiem optymale wartości uci celu PCL. Wartość uci celu PCL dla dowolego rozwiązaia całowitoliczbowego est dolym ograiczeiem optymale wartości uci celu PCL. PCL LP ograiczeia a całowitoliczbowość zmieych Narzuceie idywidualego zaresu dopuszczalych wartości poszczególym zmieym ie spełiaących waruów całowitoliczbowości d d g [ ] [ ] g Przymue się Ŝe: d g M M - dostateczie duŝa liczba całowita eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci

2 eoria i metody optymalizaci Ograiczeia a olee zmiee Graicza reprezetaca przestrzei rozwiązań za pomocą drzewa biarego W sesie geometryczym w zbiorze rozwiązań dopuszczalych zadaia PL wyciae est pasmo rozwiązań: [ ] < [ ] < co prowadzi do podziału tego zbioru a dwa podzbiory. eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci. Zasady usuwaia zadań z listy zadań Zadaie PL est sprzecze Zadaie PL zostało uŝ podzieloe Istiee zadaie spełiaące warue całowitoliczbowości o więsze wartości uci celu.. Zasady dzieleia zadaia w przypadu problemu masymalizaci Gdy ie est spełioy warue całowitoliczbowości ale zadaie PL ma awięszą wartość uci celu spośród zadań zaduących się a liście. Przyład zadaia PCL ma 6 Rozwiązaie PL - - X Rozwiązaie PCL X X eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci Drzewo rozwiązań Przyład zadaia PCL [ ] [..] 9 [ 86] ma 7 8 [.667 ] Zbiór pusty Rozwiązaie PL Rozwiązaie PCL eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci

3 eoria i metody optymalizaci Przegląd pośredi metodologia podziału i ograiczeń dla wetora biarego Przegląd pośredi metodologia podziału i ograiczeń dla wetora biarego śądaie biarości wetora ie est ograiczeiem zadaia gdy est zaa sończoa góra g graica u dla sładowe dla Zi u { s... sp} Jest oo rówowaŝe uładowi ograiczeń: p s δ δ dla p aŝ dego δ lub... pdlaaŝ dego Etapy metody: podział wybór pewe zmiee i przyęcie oraz { { } { } * F { Wi } { W i } { W } eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci Podział pośredi Programowaie liiowe całowitoliczbowe metodologia odcięć oszacowaia wierzchołowi v przyporządoway est problem: ma z c c F ai bi ai si i... m F lub F. ma { A ZałóŜmy Ŝe istieą oraz taie Ŝe: A c b i { A A } Z oraz zadaie osłabioe w stosuu do zadaia (): ma ma całowitoliczbowe rozwiązaie optymale opt. Wówczas opt est rozwiązaiem optymalym zadaia (). c }. () eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci Metoda odcięć Odcięcia w metodzie orm całowitych () ZałóŜmy Ŝe mamy reprezetacę problemu () w postaci R N eoria i metody optymalizaci ma c Q { A }. y y i... m i RN i Podstawowe odcięcie cie ([ h ] yi [ hyi ]) [ h] yi [ hyi] RN y RN ( y s i ( i ] eoria i metody optymalizaci i i i i ] RN i i ]) i i RN i i RN ] y i s musi być liczbą całowitą: i i s. ]. ) ( i ] est całowite. RN i ] )

4 eoria i metody optymalizaci Zadaie programowaia liiowego PL dla zmieych całowitych ma X / / / / -/ / 9/ / -/ / - / s - - X : 6 Z Rozwiązaie zadaia PL dla R z dodaym odcięciem dla zmiee s Wybrae odcięcie: s MoŜliwe odcięcia: Kolee iterace algorytmu odcięć metoda dualą simples ablica optymala ale ie całowitoliczbowa s / / / / -/ / / / -/ - - s s Dodao owe odcięcie s s / / / / -/ / / / -/ - - s -/ -/ -/ Rozwiązaie dopuszczale optymale i całowitoliczbowe [ s s ] [] 7 eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci Heurystycze reguły wyboru wiersza źródłowego Reguły wyboru wiersza w metodzie orm całowitych NaleŜy zbudować odcięcie a agłębsze tz. usuwaące awięszy moŝliwy obszar ie zawieraący putów całowitoliczbowych. Odcięcie stae się głębsze eśli i a i PoŜądae est aby i było moŝliwie duŝe a i było moŝliwie małe dla R N ( I ) ( II ) ( III ) r ma i i r i ma i r i RN R N r i ma i r Dla oreśloego i R N eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci Badaie całowitoliczbowości rozwiązaia PCL Optymale rozwiązaie zadaia PCL W obliczeiach omputerowych liczba rzeczywista r est tratowaa ao liczba całowita eśli mi { r } ε Nierozpozaie całowitoliczbowości moŝe powodować: wyoaie iepotrzebych iteraci dołączeie iepoprawych odcięć r Rozwiązaie dopuszczale zadaia PCL est ego rozwiązaiem optymalym gdy są spełioe trzy warui: (i) prymara dopuszczalość y i i... m (ii) całowitoliczbowość y i całowite i...m; (iii) duala dopuszczalość y dla wszystich R N ; utratę rozwiązaia optymalego. I a odwrót błęde stwierdzeie całowitoliczbowości moŝe spowodować iepoprawe zaończeie obliczeń. eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci

5 eoria i metody optymalizaci Przegląd algorytmów metodologii odcięć. Metoda orm całowitych- ie spełioy warue całowitoliczbowości y i dla i...m. Całowitoliczbowy algorytm dualy ie spełioy warue prymale dopuszczalości: y i dla i... m. Całowitoliczbowy algorytm prymaly ie spełioy warue duale dopuszczalości: y dla R N Algorytm odcięć dla zadaia PCL Kro Zadź rozwiązaie spełiaące dwa spośród trzech wymieioych waruów. Idź do Krou. Kro - est a optymalość Jeśli trzeci warue est spełioy top. W przeciwym wypadu idź do Krou. Kro - Odciaie i elimiaca Doda odcięcie z odpowiedio dobraą wartością h. Dooa elimiaci aby zachować dwa wybrae warui. MoŜe zaistieć oieczość wyoaia więsze liczby roów elimiaci. Wróć do Krou. eoria i metody optymalizaci eoria i metody optymalizaci Czy procedura rozwiązaia zadaia PCL dla zmieych rzeczywistych a późie zaorągleie wyiów do wartości całowitych est prawidłowa?? Rozwiązaie zadaia PCL Wetor rozwiązań Wartość PrzybliŜeie całowite Wartość [.;.]. [] Zadaie sprzecze [] 8 Zadaie PCL [[] eoria i metody optymalizaci