Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Transkrypt

1 Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy wyzaczyć bez koieczości przedstawiaia liczby z w postaci trygoometryczej. Przypomijmy ajpierw, w jaki sposób zajdujemy pierwiastki z liczby zespoloej, gdy daa jest jej postać trygoometrycza. Niech z = r (cos φ + i si φ będzie liczbą zespoloą, gdzie r > 0 i iech N. Wówczas istieje różych liczb zespoloych w, spełiających rówaie w = z i liczby te dae są wzorem: (k = 0, 1,..., 1, gdzie: w k = r (cos ψ k + i si ψ k (1 (k = 0, 1,..., 1. ψ k = φ + 2kπ (2 Przykład 1. Wyzaczymy pierwiastki stopia z liczby zespoloej z = 1 + i = ( 2 cos π + i si π We wzorach (1 i (2 podstawiamy =, r = 2, φ = π, a astępie kolejo k = 0, 1, 2: w 0 = 6 ( π 2 cos π π + i si π = 6 ( 2 cos π 12 + i si π 12 w 1 = 6 ( π 2 cos π π + i si π = 6 2 (cos π + i si π w 2 = 6 ( π 2 cos π π + i si π = 6 ( 2 cos π + i si π Do przykładu tego wrócimy jeszcze w dalszej części.

2 Zdarzają się sytuacje, gdy pierwiastkowaej liczby z ie da się przedstawić w postaci trygoometryczej bez użycia kalkulatora. Przykład 2. Niech z = + 5i. Moduł liczby z jest rówy. Jeśli apiszemy: z = ( + 5 i to widzimy, że zalezieie kąta ψ, dla którego cos φ = i si φ = 5 jest iemożliwe bez użycia kalkulatora. (uwaga ogóla: awet jeśli w jakichś kokretych przypadkach jesteśmy w staie wyzaczyć argumet liczby przy pomocy odpowiedich zabiegów algebraiczych, często jest to bardzo skomplikowae rachukowo. Następy przykład ilustruje sytuację, w której jede z pierwiastków jest łatwy do zalezieia, atomiast ie jest jase, jak wyzaczyć pozostałe pierwiastki. Przykład. Rozważmy rówaie z 6 = ( + 5i 6. Wiemy, że rówaie to ma 6 różych rozwiązań są to wszystkie pierwiastki stopia 6 z liczby zespoloej ( + 5i 6. Aby wyzaczyć te pierwiastki a podstawie wzorów (1 i (2, musielibyśmy zaleźć postać trygoometryczą tej liczby, co jak widzieliśmy powyżej jest bez użycia kalkulatora iemożliwe. Z drugiej stroy widzimy, że jedym z rozwiązań aszego rówaia, a więc jedym z pierwiastków 6 stopia z liczby ( + 5i 6, jest oczywiście liczba + 5i. W astępej części dowiemy się, jak w sytuacji opisaej w Przykładzie wyzaczyć pozostałe pierwiastki. 2 Pierwiastek główy i pożytki z iego W Przykładzie 1 otrzymaliśmy astępujące pierwiastki stopia liczby 1 + i: w 0 = 6 ( 2 cos π 12 + i si π 12 w 1 = 6 2 (cos π + i si π w 2 = 6 ( 2 cos π + i si π

3 Liczby π 12, 17 π, π to argumety główe kolejych pierwiastków. Widzimy, że ajmiejszą z tych liczb jest π 12, czyli argumet główy pierwiastka w 0. Ilustruje to rysuek 12 poiżej: Te spośród wszystkich pierwiastków stopia z iezerowej liczby zespoloej z, który ma ajmiejszy dodati argumet główy, osi azwę pierwiastka główego. Defiicja 1. Pierwiastkiem główym stopia z liczby zespoloej z azywamy te z pierwiastków, który ma ajmiejszy dodati argumet główy. Popatrzmy jeszcze raz a wzór (2: ψ k = φ + 2kπ i przyjmijmy, że liczba φ jest argumetem główym liczby z = r (cos φ + i si φ. Widzimy od razu, że: jeżeli φ > 0, to pierwiastkiem główym stopia liczby z jest w 0, poieważ wyrażeie ψ k przyjmuje ajmiejszą wartość dodatią φ dla k = 0; jeżeli φ = 0, to pierwiastkiem główym stopia liczby z jest w 1, poieważ wyrażeie ψ k przyjmuje ajmiejszą wartość dodatią 2π dla k = Pierwiastek główy z liczby 1 producet pozostałych pierwiastków Jeżeli zastosujemy wzory (1 i (2 do liczby zespoloej 1 = cos 0 + i si 0, to widzimy, że jej pierwiastki stopia są rówe:

4 ɛ 0 = cos 0 + i si 0 = 1, ɛ 1 = cos 2π + i si 2π, ɛ 2 = cos 2 2π 2 2π + i si, ( 1 2π ( 1 2π ɛ 1 = cos + i si (uwaga: pierwiastki liczby 1 często ozaczae są symbolem ɛ k zamiast w k. Widzimy, że pierwiastek główy liczby 1 to ɛ 1. Jego argumet główy to 2π. Przykład. Pierwiastek główy stopia 2 z liczby 1 to cos 2π 2 + i si 2π 2 = 1 Pierwiastek główy stopia z liczby 1 to cos 2π + i si 2π = Pierwiastek główy stopia z liczby 1 to cos 2π + i si 2π = i Rysuek poiżej przedstawia obszar grafiki oka Geogebry, w którym pokazao całą sytuację w przypadku = 8. Możesz poeksperymetować a żywo z iteraktywą ilustracją Geogebry tutaj.

5 Pierwiastki stopia z liczby 1 mają ciekawą własosć. Zauważmy miaowicie, że dla każdej liczby aturalej k, takiej że 1 k 1, możemy apisać: ( ɛ k = cos 2kπ ( 2kπ + i si = cos k 2π + i si k 2π ( = cos 2π + i si 2π k = ɛ k 1 Wykazaliśmy w te sposób astępujące twierdzeie. Twierdzeie 1. Jeżeli ɛ 1 ozacza pierwiastek główy z liczby 1, to pozostałe pierwiastki stopia liczby 1 są rówe: ɛ k = ɛ k 1 ( (k = 1,..., 1. Pierwiastki z jedyki w akcji Przekształćmy wzór a pierwiastek w k stopia z liczby z = r(cosφ + isiφ, gdzie φ > 0 jest argumetem główym liczby z: w k = ( r cos φ + 2kπ = ( r cos φ + i si φ + i si φ + 2kπ ( cos 2kπ 2kπ + i si = ( r ( φ + 2kπ ( φ + i si + 2kπ = cos = w 0 ɛ k = w 0 ɛ k 1 Widać, że gdy zamy pierwiastek główy stopia liczby z, to pozostałe pierwiastki możemy otrzymać jako iloczyy w 0 i kolejych pierwiastków stopia z liczby 1. Tak więc mamy w 1 = w 0 ɛ 1, w 2 = w 0 ɛ 2 1 = w 1 ɛ 0 i tak dalej. Moża udowodić, że do wyprodukowaia wszystkich pierwiastków liczby z jako iloczyów jedego z jej pierwiastków przez koleje potęgi pierwiastka główego z liczby 1 moża użyć któregokolwiek pierwiastka w k liczby z (a iekoieczie pierwiastka główego z tej liczby. Mówi o tym poiższe twierdzeie. Twierdzeie 2. Załóżmy, że liczba z 1 jest jedym z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z. Wówczas pozostałe pierwiastki stopia z liczby z są rówe: lub rówoważie: z 2 = z 1 ɛ 1, z = z 2 ɛ 1,..., z = z 1 ɛ 1 ( z 2 = z 1 ɛ 1, z = z 1 ɛ 2 1,..., z = z 1 ɛ 1 1 (5 gdzie ɛ 1 jest pierwiastkiem główym stopia z liczby 1, ɛ 1 = cos 2π + i si 2π.

6 Przykład 5. Jedym z pierwiastków czwartego stopia z liczby z = (2+i jest oczywiście liczba w 1 = 2 + i, będąca podstawą potęgi powyżej. Pozostałe pierwiastki wyzaczamy astępująco. 1. Wyzaczamy pierwiastek główy stopia z liczby 1: ɛ 1 = cos 2π + i si 2π = i. 2. Stosujemy wzór ( i otrzymujemy: w 2 = w 1 ɛ 1 = (2 + ii = 1 + 2i w = w 2 ɛ 1 = ( 1 + 2i i = 2 i w = w ɛ 1 = ( 2 i i = 1 2i Przykład 6. Rozwiązać rówaie z = ( i 8. Zauważmy, że asze rówaie możemy zapisać jako: z = [(1 2i 2] Poieważ (1 2i 2 = i (sprawdź to sam, możąc liczbę 1 2i przez siebie, więc rówaie przyjmuje postać: z = ( i Widać z iego, że mamy zaleźć wszystkie pierwiastki stopia z liczby ( i. Jedym z tych pierwiastków jest oczywiście liczba w 1 = i. Pozostałe pierwiastki zajdziemy w podoby sposób, jak w poprzedim przykładzie, wykorzystując pierwiastek główy czwartego stopia z liczby 1, a więc ɛ 1 = i z liczby 1: w 2 = w 1 ɛ 1 = ( ii = i w = w 2 ɛ 1 = ( i i = + i w = w ɛ 1 = ( + i i = + i Przykład 7. Rozwiązać rówaie z = (2 i. Rozwiązaia aszego rówaia to pierwiastki stopia z liczby (2 i. Jedym z tych pierwiastków jest oczywiście liczba z 1 = 2 i. Wyzaczymy pozostałe pierwiastki, korzystając z Twierdzeia 2. Pierwiastki stopia z liczby 1 są rówe:

7 ɛ 0 = 1 ɛ 1 = cos 2π + i si 2π = i ɛ 2 = cos π + i si π = i Wyzaczymy teraz pozostałe rozwiązaia aszego rówaia (a więc pozostałe pierwiastki stopia z liczby (2 i a podstawie Twierdzeia 2. Stosujemy wzór (: ( z 2 = z 1 ɛ 1 = (2 i i = 1 + ( i Widzimy w tym momecie, że jeśli będziemy wyzaczać postać algebraiczą pierwiastka z a podstawie wzoru (, to czeka as dość kłopotliwe możeie: [ ( 1 z = z 2 ɛ 1 = i 2 + ] ( i Użyjmy więc wzoru (5: z = z 1 ɛ 2 1 = z 1 ɛ 2 = (2 i ( i = 1 ( i 2 Ostatie dwa przykłady pokazują, że w pewych sytuacjach wygodie jest stosować wzór (, a w iych lepiej wykorzystać wzór (5. Poieważ pamiętaie wzorów jest kłopotliwe, dobrze jest do całego zagadieia podejść w astępujący sposób. Możymy zay pierwiastek z 1 z liczby z przez odpowiedi pierwiastek główy z liczby 1 i oceiamy, w jaki sposób wygodiej będzie wyzaczać koleje pierwiastki: możąc otrzymay wyik poowie przez pierwiastek główy ɛ 1 z 1, czy też możąc z 1 przez pierwiastek ɛ k z liczby 1. Ćwiczeie Rozwiąż rówaia: (a z = (2 + i, (b z 6 = ( 1 + 2i 12, P.Kajetaowicz