Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Transkrypt

1 Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek, sta kota wzrósł z 000 zł do zł. Oblicz p. Zadaie. (6 pkt Zazacz w układzie współrzędch zbiór rozwiązań rówaia log = log Zadaie. ( pkt Środek mas układu dwóch puktów materialch A, B o masach rówch odpowiedio m, m to taki pukt S, że m SA + m SB = 0. Korzstając z powższej defiicji wzacz współrzęde środka mas układu dwóch puktów materialch A (,, B ( 7, o masach odpowiedio rówch i. Zadaie. (5 pkt Wraz pierwsz i iloraz ciągu geometrczego ( Zbadaj, dla jakich wartości parametru k ciąg ( jest ciągiem artmetczm. a są odpowiedio rówe i k. b o wrazie ogólm b log a log a = + Zadaie 5. (5 pkt W ieskończom ciągu geometrczm suma wrazów o umerach ieparzstch jest rówa 6, zaś suma wrazów o umerach parzstch jest rówa. Wzacz te ciąg. Zadaie 6. (7 pkt Boki trójkąta zawarte są w prostch o rówaiach: = 0, = 0, + = 0. Wzacz rówaie okręgu opisaego a tm trójkącie.

2 Zadaie 7. (5 pkt Liczb, są pierwiastkami rówaia 8 + k = 0. Naszkicuj wkres fukcji + k a (. Zadaie 8. ( 6 pkt Daa jest fukcja f określoa wzorem f ( = przjmuje tlko wartości dodatie, postępując według podaej istrukcji: oblicz pochodą fukcji f ; wzacz miejsce zerowe pochodej fukcji f ; zbadaj zak pochodej fukcji f ; wzacz ekstremum fukcji f i określ jego rodzaj; wzacz ajmiejszą wartość fukcji f ; sformułuj odpowiedź.. Uzasadij, że fukcja f Zadaie 9. ( pkt Prostopadłościa ABCDEFGH ma wsokość rówą 0, a jego podstawa jest kwadratem o boku długości. Oblicz pole przekroju tego prostopadłościau płaszczzą KLM wiedząc, że AK =, BL = DM =. H G E F M. L K D C A B Zadaie 0. (6 pkt Udowodij, że fukcja f określoa wzorem f ( = log jest fukcją parzstą. + Zadaie. ( pkt W pewej miejscowości we wrześiu bło 80% di pogodch i 0% di deszczowch. a Oblicz prawdopodobieństwo, że spośród trzech losowo wbrach di wrześia wszstkie di bł deszczowe. b Oblicz prawdopodobieństwo, że spośród trzech losowo wbrach di wrześia przajmiej jede bł diem pogodm.

3 Zadaie. (5 pkt Zajdź rówaie stczej do krzwej o rówaiu Wzacz współrzęde puktów wspólch tej stczej z daą krzwą. Zadaie. ( pkt Przecztaj twierdzeia. Twierdzeie. Jeżeli dae są trz ciągi ( a, ( b, ( c, N \ { 0} = w pukcie o współrzędch (, takie, że lim a = lim b = g oraz istieje takie 0, że dla wszstkich > 0 spełioa jest + ierówość + a c b, to lim = g. c Twierdzeie. Dla każdego > 0 a graica ciągu ( Korzstając z podach twierdzeń możem obliczć sposób: a, N \ { 0 } + 7 < <, jest rówa. lim w astępując. Na podstawie twierdzeia. graica 7 < < 7 + lim 7 otrzmujem, że lim = 7. + Postępując w opisa wżej sposób, oblicz jest rówa 7. Wkorzstując twierdzeie. + lim Zadaie. ( 6 pkt W trójkąt prostokąt ABC o przprostokątch długości AC = i AB = wpisa został prostokąt AFDE w taki sposób, że dwa boki prostokąta zawarte są w przprostokątch trójkąta, a wierzchołek E leż a przeciwprostokątej trójkąta (patrz rsuek. Udowodij, że ajwiększe pole, jakie może mieć taki prostokąt, jest rówe. C D E A F B

4 Numer zadaia Schemat puktowaia zadań Etap rozwiązaia zadaia Liczba puktów p p Zapisaie rówaia: p. 000 ( + ( + = Zapisaie rówaia w postaci: p + 98 p 50 = 0 Obliczeie pierwiastków rówaia: p =, p = 0 Sformułowaie odpowiedzi: p = % Zapisaie waruków określającch dziedzię rówaia: > 0 > 0 log log Zapisaie rówaia p. w postaci: = log log Zapisaie rówaia w postaci alteratw rówań: log = log lub log = log Zapisaie alteratw rówań: = lub = Zazaczeie zbioru rozwiązań rówaia w układzie współrzędch. Jeśli ie został zazaczoe pukt o współrzędch ( 0,0 i (, przzajem pukt., to Zapisaie współrzędch wektorów SA i SB : SA = [ S, S ] SB = [ 7, ], gdzie S (, jest środkiem mas układu i S S S S dwóch puktów materialch. Wkorzstaie defiicji środka mas i zapisaie odpowiediego, + 7, = 0,0 rówaia: [ S S ] [ S S ] [ ] Zapisaie ostatiego rówaia w postaci: [ 5 5 S,0 5S ] = [ 0,0] Wzaczeie współrzędch środka mas układu puktów: (, Zapisaie wzoru a wraz ogól ciągu ( Zapisaie wzoru a wraz ogól ciągu ( S a : = ( k b : = ( log ( k a b Wzaczeie tch wartości parametru k, dla którch istieją wraz k,, + b : ( ( Wzaczeie różic dwóch kolejch wrazów ciągu ( ciągu ( b + k ( b = log Sformułowaie odpowiedzi: ciąg ( k (, (, + b : b jest ciągiem artmetczm dla

5 5 a Zapisaie sum wrazów ciągu o umerach ieparzstch: = 6 q a q Zapisaie sum wrazów ciągu o umerach parzstch: = q Wzaczeie ilorazu ciągu: 6 7 Sprawdzeie waruku zbieżości szeregu geometrczego: = <. Wzaczeie pierwszego wrazu ciągu: Wzaczeie współrzędch wierzchołków trójkąta: ( 0,, (,, ( 8, 6 Wzaczeie rówaia smetralej boku trójkąta rówoległego do osi O: = Wzaczeie rówaia smetralej boku trójkąta ierówoległego do osi O: p. = + 0 (Za wzaczeie współrzędch środka odpowiediego boku lub współczika kierukowego smetralej przzajem pukt Wzaczeie współrzędch środka okręgu opisaego a trójkącie:,8 ( Obliczeie długości promieia okręgu opisaego a trójkącie: 0 Zapisaie rówia okręgu opisaego a trójkącie: ( + ( 8 = 0 Wzaczeie wartości k, dla którch istieją pierwiastki rówaia 8 + k = 0 : k 5, 5 Podaie dziedzi fukcji k 5, 5 \ {, } Zapisaie wzoru fukcji: + k a ( : k a 8 k 8 Naszkicowaie wkresu fukcji k a ( + i zazaczeie a wkresie puktów ie ależącch do wkresu ' Obliczeie pochodej fukcji f: f ( = + 7, R Wzaczeie miejsca zerowego pochodej fukcji f : Zbadaie zaku pochodej fukcji f: f ( > 0 dla (,+ ; f ( < 0 dla (, Wzaczeie ekstremum fukcji f i określeie jego rodzaju: fukcja f osiąga w pukcie miimum rówe Wzaczeie ajmiejszej wartości fukcji f: Sformułowaie odpowiedzi: p. ajmiejsza wartość fukcji f jest rówa, więc wszstkie wartości fukcji f są dodatie

6 9 0 Obliczeie długości odcika ML: Obliczeie długości odcika KL: 5 Obliczeie długości przekątej rombu, którego trzema wierzchołkami są pukt K, L i M, wchodzącej z puktu K: Obliczeie pola przekroju: 8 6 Podaie dziedzi fukcji f: D = (, Zapisaie, że dziedzia fukcji f jest zbiorem smetrczm względem 0 lub zapisaie waruku: D D + Zapisaie wartości fukcji f dla argumetu : f ( = log Wkorzstaie własości logartmów: f ( = log + Zapisaie waruku f ( = f ( dla (, Sformułowaie odpowiedzi: fukcja f jest fukcją parzstą Obliczeie liczb di deszczowch i liczb di pogodch: 6 i Obliczeie liczb wszstkich zdarzeń elemetarch: p. 060 lub arsowaie drzewa z zazaczeiem a gałęziach odpowiedich prawdopodobieństw Obliczeie liczb zdarzeń sprzjającch oraz obliczeie prawdopodobieństwa, że spośród trzech losowo wbrach di wrześia wszstkie di bł deszczowe: 0; lub obliczeie 0 odpowiediego prawdopodobieństwa z drzewa Obliczeie prawdopodobieństwa, że spośród trzech losowo wbrach 0 di wrześia przajmiej jede bł diem pogodm: 0 Obliczeie współczika kierukowego stczej: Zapisaie rówaia stczej: = = Zapisaie odpowiediego układu rówań: = (Pukt przzajem także za zapisaie rówaia: = Rozwiązaie odpowiediego rówaia: = lub =,, 8 Podaie współrzędch puktów wspólch: (, ( Zapisaie ierówości: 0 < < 0 Zapisaie ierówości: 0 < < 0 Obliczeie graic: lim 0 = 0, lim 0 = Obliczeie graic: lim = 0 + EF FB Wkorzstaie podobieństwa p. trójkątów ABC i EFB: = AC AB Wzaczeie zależości międz długościami boków prostokąta: p. = Zapisaie pola prostokąta w zależości od długości jedego z jego boków: p. P( = 0, Wzaczeie dziedzi fukcji P: (

7 Wzaczeie współrzędch wierzchołka paraboli o rówaiu = : (, Sformułowaie odpowiedzi: p. ramioa paraboli o rówaiu = są skierowae do dołu, więc dla argumetu fukcja P osiąga ajwiększą wartość rówą Za prawidłowe rozwiązaie każdego z zadań ią metodą (zgodą z poleceiem od przedstawioej w schemacie przzajem maksmalą liczbę puktów.