Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
|
|
- Irena Kot
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)! ( k 1)!, co po wstawieiu do rówaia daego w zadaiu prowadzi do! k k! ( k)!! (k +1)! ( k 1)!. To z kolei daje kolejo rówoważe postaci tego rówaia: k k! ( k 1)! ( k) 1 k! (k +1) ( k 1)!, k ( k) 1 (k +1), k (k +1) k, k (k +1)+k, k 2 +2k. Zatem rówaie dae w treści zadaia jest rówoważe rówaiu ( ). Stąd wyika, że rozwiązaiem tego rówaia jest każda para (k, ), gdzie k jest dowolą liczbą aturalą oraz k 2 +2k. 13. Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatiej zachodzi ierówość < 2 (+1) 2 (2+1). Przeprowadzimy dowód idukcyjy. 1 Dla 1 lewa stroa dowodzoej ierowości ma wartość 1, a prawa 12/ 6/5. Zatem daa w zadaiu ierówość przyjmuje postać 1 < 6/5, jest więc prawdziwa. 2 Niech teraz będzie taką liczbą aturalą, że < 2 (+1) 2 (2+1). Wykażemy, że wówczas (+1) < (+1)2 (+2) 2 (2+3) ( ). ( ) Wychodząc od lewej stroy ierówości ( ) i korzystając z założeia idukcyjego otrzymujemy L (+1) < 2 (+1) 2 (2+1) +(+1) Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3
2 (+1)2 ( 2 (2+1)+ (+1) 2) (+1)2 ( ) (+1)2 ( ). Z kolei prawą stroę ierówości ( ) możemy zapisać jako (+1)2 Stąd otrzymujemy P (+1)2 (+2) 2 (2+3) (+1)2 (+2) 2 (2+3) ( 2 ++ ) (2+3) (+1)2 ( ) (+1)2 ( ). L < (+1)2 ( ) < (+1)2 ( ) P, co kończy dowód drugiego kroku idukcyjego. 3 Na mocy zasady idukcji matematyczej daa w zadaiu ierówość została udowodioa dla każdej liczby aturalej. 1. W każdym z zadań udziel czterech iezależych odpowiedzi TAK/NIE O zdaiu T () wiadomo, że dla każdej liczby aturalej prawdziwe są implikacje T () T (+3) oraz T () T (+). Czy stąd wyika, że prawdziwa jest implikacja a) T (0) T (2) NIE b) T (200) T (205) NIE c) T (300) T (307) TAK d) T (00) T () TAK 1.2. O zdaiu T () wiadomo, że prawdziwe jest T (1), a poadto dla każdej liczby aturalej prawdziwe są implikacje T () T (+3) oraz T () T (+0). Czy stąd wyika, że prawdziwe jest a) T (50) NIE b) T (0) TAK c) T (150) NIE d) T (20) TAK 1.3. Czy podaa liczba jest wymiera a) (2 2 ) TAK b) (3 11 ) NIE c) ( 13 ) TAK d) (5 29 ) NIE 1.. ( ) Czy dla dowolej liczby aturalej > prawdziwa jest ( rówość ) a) TAK b) (+1) NIE ( ) c) ( 1)( 2) NIE 3 3 ( ) d) ( 1)( 2)( 3) TAK 2 Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3
3 ( ) ( ) ( ) Czy rówość + 2 jest prawdziwa dla k k +1 k a), k 3 TAK b) 20, k 7 NIE c) 30, k NIE d) 0, k 13 TAK ( ) ( ) ( ) Czy rówość + 3 jest prawdziwa dla k k +1 k a) 0, k NIE b) 81, k 20 NIE c) 122, k 30 TAK d) 163, k 0 NIE 15. Przy każdej z dziewięciu poiższych implikacji w miejscu kropek postaw jedą z liter P, F, N: P - jest Prawdą (tz. implikacja musi być prawdziwa) F - jest Fałszem (tz. implikacja musi być fałszywa) N - implikacja może być prawdziwa lub fałszywa (tz. Nie wiadomo, czasem bywa prawdziwa, a czasem fałszywa) O zdaiu T () wiadomo, że dla każdej liczby aturalej implikacja T (2 ) T (3 ) jest fałszywa. Co stąd wyika o implikacji: a) T (3) T () P b) T () T (5) N c) T (7) T (8) P d) T (8) T (9) F e) T (8) T (16) P f) T (9) T () P g) T (9) T (27) P h) T (12) T (18) N i) T (25) T (27) N 16. Dowieść, że liczba log jest iewymiera. Przeprowadzimy dowód ie wprost. Załóżmy, że liczba log jest wymiera i iech m/ będzie jej przedstawieiem w postaci ilorazu liczb aturalych (zauważmy, że jest to liczba dodatia). Wówczas otrzymujemy kolejo log m 60 m/ m 360. Rzozkładając obie stroy powyższej rówości a iloczyy potęg liczb pierwszych otrzymujemy 2 2m 3 m 5 m Z twierdzeia o jedozaczości rozkładu a czyiki pierwsze wyika, że wykładiki przy odpowiedich potęgach liczb pierwszych po obu stroach rówości są rówe, co prowadzi do astępującego układu rówań: 2m 3 m 2 m Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3
4 Jedak powyższy układ rówań ie ma rozwiązań w liczbach dodatich m,, gdyż wówczas mielibyśmy m 2 > m. Doszliśmy więc do sprzeczości z założeiem, że liczba log jest wymiera. Otrzymaa sprzeczość dowodzi, że liczba log jest iewymiera. 17. Dobrać odpowiedie liczby wymiere dodatie C oraz D i udowodić, że dla dowolej liczby całkowitej dodatiej zachodzą ierówości C D. Liczby C i D muszą spełiać ierówość D 8C. W wersji trudiejszej liczby C i D spełiają ierówość D C. W wersji ajtrudiejszej liczby C i D spełiają ierówość D 2C. Przeprowadzamy szacowaie od góry: D. Przeprowadzamy szacowaie od dołu: C, co daje zależość D 8C wystarczającą do rozwiązaia ajłatwiejszej wersji zadaia. Subteliejsze szacowaia wykorzystują ierówości < 0 oraz zamiast odpowiedio oraz i wyglądają astępująco: ( ) D, ( ) C. To daje zależość D C wystarczającą do rozwiązaia wersji trudiejszej. Moża też zauważyć, że < , skąd < 1 D. Zatem rozwiązaie wersji trudiejszej moża uzyskać także przy użyciu szacowań z C 1/3 oraz D 1. Przedstawioe wyżej szacowaia z C 1/2 oraz D 1 składają się a rozwiązaie wersji ajtrudiejszej. Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3
5 18. Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatiej zachodzi ierówość ( ) 2 (2+7) > +1. Zamierzamy przeprowadzić dowód idukcyjy. 1 (w tej chwili wydaje am się, że jest to pierwszy krok idukcyjy) Dla 1 mamy ( ) 2 (2+7) oraz , a zatem daa w zadaiu ierówość przyjmuje postać 18 > 16, jest więc prawdziwa. 2 Niech teraz będzie taką liczbą aturalą, że ( ) 2 (2+7) > +1. Chcemy wykazać, że ( ) 2+2 (2+9) > Wychodząc od lewej stroy powyższej ierówości otrzymujemy ( ) 2+2 (2+9) (2+9)(2+2)! (2+9)(2)!(2+1)(2+2) +1 (+1)!(+1)!!(+1)!(+1) ( ) 2 (2+7) (2+9)(2+1)(2+2) ( ) 2 (2+7) 2(2+9)(2+1) (2+7)(+1) 2 (2+7)(+1) > o ile udowodimy, że > +1 2(2+9)(2+1) (2+7)(+1) +1 +2, 2(2+9)(2+1) (2+7)(+1). Powyższa ierówość jest rówoważa kolejym ierówościom 2(2+9)(2+1) (2+7)(+1), (2+9)(2+1) 2(2+7)(+1), ( ), , 2 5, 5/2. Wobec tego, że liczba jest całkowita, powyższa ierówość jest rówoważa ierówości 3. Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3
6 Drugi krok idukcyjy został więc przeprowadzoy tylko dla 3. Dla kompletości dowodu ależy sprawdzić daą w treści zadaia ierówość dla 2 oraz dla 3. Sprawdzeie dla 3 okazuje się przejmować rolę pierwszego kroku idukcyjego, a sprawdzeie dla 2 weryfikuje dowodzoą ierówość w przypadku, który dotąd ie został sprawdzoy, ai też ie wyika z dowodu idukcyjego. Dla 2 otrzymujemy 11 ( ) > (to okazuje się być pierwszym krokiem idukcyjym) Dla 3 otrzymujemy ( ) > Na mocy zasady idukcji matematyczej daa w zadaiu ierówość została udowodioa dla każdej liczby aturalej 3, a poadto wykoaliśmy bezpośredie sprawdzeie dla 1 oraz dla 2. Uwaga: Sprawdzeie dla 3 ie wydaje się wymagać wiele pracy, jedak brak świadomości koieczości wykoaia tego sprawdzeia jest bardzo poważym błędem. 19. Dobrać odpowiedie liczby wymiere dodatie g oraz C i udowodić, że dla dowolej liczby całkowitej dodatiej zachodzą ierówości g C < + 3 < g + C. Nierówości dae w treści zadaia moża przepisać w postaci + 3 g < C. ( ) Sposób I Korzystając dwukrotie ze wzoru a różicę kwadratów, przepisujemy lewą stroę ierówości ( ) w postaci iezawierającej różicy wyrażeń zbliżoej wielkości: + 3 g + 3 (+g) + 3 (+g) g + 3 (+g) ( g ) ( + 3 +(+g) 2 ) + 3 g 3 6g 2 2 g 3 g ( g ) ( + 3 +(+g) 2 ) (1 g) 3 6g 2 2 g 3 g ( g ) ( + 3 +(+g) 2 ). Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3
7 W licziku ostatiego wyrażeia domiującym składikiem wydaje się być (1 g) 3. Aby wyrażeie to miało możliwie mały rząd wielkości, dobieramy g tak, aby te składik był rówy zeru, czyli przyjmujemy g 1/. Przy tej wartości g (której ie podstawiamy od razu do wzoru, aby uikąć iepotrzebych rachuków a ułamkach szacowaych późiej przez zero) wykoujemy szacowaie od góry: 6g 2 2 g 3 g ( g ) ( 6g 2 2 +g 3 +g ) ( + 3 +(+g) g ) ( ) < + 3 +(+g) 2 < 6g 2 2 +g 3 2 +g 2 ( ) ( ) (6g2 +g 3 +g ) 2 6g2 +g 3 +g C +0+(+0) , co kończy rozwiązaie zadaia z C 6g2 +g 3 +g Końcówkę oszacowań moża też wykoać w oparciu o zależości g 1, czyli g 3 g 2 oraz g 2 < 1, czyli g < g 2. Otrzymamy wówczas 6g 2 +g 3 +g < 6g2 +g 2 +g 2 8g /8, co zakończy rozwiązaie zadaia z C 1/8. Sposób II Zamiast korzystać dwukrotie ze wzoru a różicę kwadratów, moża skorzystać ze wzoru a różicę czwartych potęg w postaci a b a b a 3 +a 2 b+ab 2 +b. 3 Wówczas lewą stroę ierówości ( ) moża przepisać jako (+g) g ( ) 3 ) + +(+g) ( (+g) (+g) g 3 6g 2 2 g 3 g ( + 3 ) 3 +(+g) ( + 3 ) 2 +(+g) (+g) 3 (1 g) 3 6g 2 2 g 3 g ( + 3 ) 3 +(+g) ( + 3 ) 2 +(+g) (+g) 3. W licziku ostatiego wyrażeia domiującym składikiem wydaje się być (1 g) 3. Aby wyrażeie to miało możliwie mały rząd wielkości, dobieramy g tak, aby te składik był rówy zeru, czyli przyjmujemy g 1/. Przy tej wartości g (której ie podstawiamy od razu do wzoru, aby uikąć iepotrzebych rachuków a ułamkach szacowaych późiej przez zero) wykoujemy szacowaie od góry: 6g 2 2 g 3 g ( + 3 ) 3 +(+g) ( + 3 ) 2 +(+g) (+g) 3 6g 2 2 +g 3 +g ( + 3 ) 3 +(+g) ( + 3 ) 2 +(+g) (+g) 3 < Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3
8 < 6g 2 2 +g 3 2 +g 2 ( +0 ) 3 +(+0) ( +0 ) 2 +(+0)2 +0+(+0) 3 (6g2 +g 3 +g ) 2 6g2 +g 3 +g. 3 Dalsza część rozwiązaia przebiega tak samo jak w sposobie I. Sposób III (dość karkołomy rachukowo i ie polecay, ale chodzi o pokazaie, że tak też moża) Stosujemy wzory skrócoego możeia do środkowej stroy ierówości daej w treści zadaia: ( ) 3 ) + + ( Zwracamy uwagę, że dla dużych składiki 3 występujące pod pierwiastkami w miaowiku ostatiego wyrażeia mają iewielki wpływ a jego wartość i zgadujemy, że g 1/. Wobec tego g ( ) 3 ) + + ( ( ( ) 3 3 ) ( ) ( ( ) 3 ) + + ( ) ( ) 3 ) + ( ( ( ) 3 ) + + ( ) Korzystając z tożsamości 3a 3 b 3 ab 2 a 2 b (a b) ( 3a 2 +2ab+b 2) oraz z przytoczoego w sposobie I wzoru a różicę czwartych potęg kotyuujemy przekształcaie, a astępie szacujemy od góry: 33 ( ) 3 ) + ( ( ( ) 3 ) + + ( ) ( ( ) ) ( ( ) 3 ) + + ( ) ( ) + 3 ( ( ) 3 ) + + ( ) 2 < Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3
9 3 ( ) +3 < ( ( +0 ) 3 + ( +0 ) 2 +2 ) ( ) ( 3 ) /6, co kończy rozwiązaie zadaia z C 9/6. Wykorzystaie oszacowaia + 3 < < 81/16 3/2 pozwoliłoby uzyskać C 1/8. Uwagi: Liczba g jest wyzaczoa jedozaczie. Każde rozwiązaie z g 1/ jest błęde. Nietrudo prześledzić powyższe rozwiązaie i stwierdzić, że w istocie zachodzą ierówości 1 C < + 3 < 1, czyli składik C/ po prawej stroie daych w treści zadaia ierówości moża pomiąć, dowodząc tym samym ierówości mociejszej W każdym z czterech poiższych zadań wpisz w miejscu kropek dwie liczby występujące w ciągu 0, 1, 2, 5,, 0, 5,, 20, 50, 0, 200, 500, 00, 2000, 5000, 000, 20000, 50000, 0000, , , a kolejych miejscach tak, aby powstały prawdziwe ierówości < < < < < ( 5)! < < Wskazać liczbę aturalą k, dla której graica < k istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Dzieląc liczik i miaowik daego wyrażeia przez 5/2 otrzymujemy k k / /2 1/2 15/2 5 Miaowik ostatiego wyrażeia dąży do 7 przy, atomiast liczik ma graicę skończoą dodatią dla k 15 i graica liczika jest wtedy rówa 2. Odpowiedź: Przy k 15 graica jest rówa 2/7. Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3
10 Uwaga: Liczba k 15 jest jedyą liczbą spełiającą waruki zadaia. Jedak zgodie z poleceiem wystarczyło wskazać k, bez koieczości uzasadieia, że takie k jest tylko jedo Wskazać liczbę aturalą k, dla której graica istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Korzystając ze wzoru a różicę kwadratów przepisujemy występujące pod zakiem graicy wyrażeie w postaci iezawierającej w licziku różicy wyrażeń zbliżoej wielkości, a astępie dziey liczik i miaowik przez 9 : k k k ( ) 9+ 9 k 2 ( ). Dla k 2 otrzymujemy Odpowiedź: Przy k 2 graica jest rówa 9/2. Uwaga: Liczba k 2 jest jedyą liczbą spełiającą waruki zadaia. Jedak zgodie z poleceiem wystarczyło wskazać k, bez koieczości uzasadieia, że takie k jest tylko jedo Ciąg (a ) spełia waruek ε 1 N N a 1 ε. Czy stąd wyika, że ciąg (a ) jest zbieży NIE ciąg (a ) jest rozbieży NIE ciąg (a ) jest ograiczoy TAK 196. wszystkie wyrazy ciągu (a ) są dodatie NIE wszystkie wyrazy ciągu (a ) są ieujeme NIE od pewego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (a ) są dodatie NIE od pewego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (a ) są ieujeme TAK w ciągu (a ) występuje ieskończeie wiele wyrazów dodatich NIE w ciągu (a ) występuje ieskończeie wiele wyrazów ieujemych TAK 196. w ciągu (a ) występuje co ajmiej jede wyraz dodati NIE w ciągu (a ) występuje co ajmiej jede wyraz ieujemy TAK a > 0 NIE a 0 NIE Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3
11 196.1 N N a > 0 NIE N N a 0 TAK N N a > 0 NIE N N a 0 TAK a > 0 NIE a 0 TAK ( ) 7 5 ) ( ( ) ( 1) R ( ) 1 2 ( ) 2 1 ( ) ( 3 + ) ( ) 2 1 ( ) Lista (odpowiedzi i rozwiązaia) Stroy 2-3 2
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Opowieści o indukcji
Obóz Naukowy Olimpiady Matematyczej Gimazjalistów Liga zadaiowa 0/03 Materiały dodatkowe 30 listopada 0 Opowieści o idukcji Wzoreczki w kropeczki I silia Liczbę! defiiujemy jako iloczy liczb aturalych
Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Analiza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.
O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13
35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),
201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.
5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Funkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Parametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
pitagorejskie, równanie Pella i jedno zadanie z XVI Olimpiady Matematycznej
pitagorejskie, rówaie Pella i jedo zadaie z XVI Olimpiady Matematyczej Wszyscy, którzy mieli do czyieia ze szkoła poadpodstawowa słyszeli iewatpliwie określeie twierdzeie Pitagorasa To twierdzeie było
MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz puktowaia
Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO
Wrocław, 2 grudia 203 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia 2. INDUKCJA MATEMATYCZNA 2.. Wprowadzeie 2.2. Lista zadań
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Rozmieszczenie liczb pierwszych
Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ
ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia
Geometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadaia Wydaie dwudzieste piąte uzupełioe GiS Oficya Wydawicza GiS Wrocław 07 Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika
Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadaia Wydaie dwudzieste szóste zmieioe Oficya Wydawicza GiS Wrocław 08 Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika
CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty
MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Analiza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Techikum Nr 2 im. ge. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekoomiczych w Kaliszu Wymagaia edukacyje iezbęde do uzyskaia poszczególych śródroczych i roczych oce klasyfikacyjych z obowiązkowych zajęć
Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
lim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Podstawowe cechy podzielności liczb.
Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się
Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach
Rówaia liiowe rzędu drugiego stałyh współzyikah Rówaiem różizkowym zwyzajym liiowym drugiego rzędu azywamy rówaie postai p( t) y q( t) y r( t), (1) gdzie p( t), q( t), r( t ) są daymi fukjami Rówaie to,
Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych
O kilku zastosowaiach grup i pierściei grupowych Czesław BAGIŃSKI, Edmud R. PUCZYŁOWSKI, Białystok Warszawa Nierzadko zdarza się, że rozwiązaie elemetarie brzmiącego zadaia, wymaga iestadardowych pomysłów.
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
KURS MATURA PODSTAWOWA
KURS MATURA PODSTAWOWA LEKCJA 5 Ciągi ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa 1 Część 1: TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie 1 Piąty wyraz ciągu liczbowego o wzorze a a) 5 b)
1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem